f-2fxj-h3vj»)^~ ^^— XL-2^Hj/ = }.g
Et il ne s'agira plus que de tirer les valeurs de X, jui, v des équations (I) ; or, si l'on fait X = ly, jui = i^d, v = i^£, et qu'on divise la première équa- L 72
lion par i, la seconde par i^, la troisième par i^, on aura
hyK^H-6ïdLH-b/'eH = o,
3c sine .. / ,.,r, <- • » h yM -h 4dK' -h i5/6L =■■ o,
-î — hyN -h — dM -h96K='=:o,
d'où Ton tire, en négligeant ce qu'on doit négliger, 2csin6 6/L^ 6/*H
^ csin6 / 3 M 91 LM 3fLM^\ i5iL
rt»K» \4«"^ 2K'"^ 8«K< "^ 4K«"/ 4K' ^'
csinb ( J ^ __ 5M 5M»\ ^"^ a^K^ V 9fl^"^9K^ i8flK» ?-7KV'
Donc si l'on fait, pour abréger,
S— lyL — ?./^oH,
on aura
dr (K) îi> ^-S^ -+- iyg—iiy H- 2/^7 -f- ^''^/');57'
Or j est déjà connu en /, donc on connaîtra aussi cp en /.
Il est k remarquer que St-\-iyg représente l'angle du mouvemenl moyen; de sorte que si l'on nomme cet angle 5, et qu'on substitue dans
les équations (H) et (Kj ~ ^^^ au lieu de /, on aura les formules qui
feront trouver le lieu vrai du corps, son lieu moyen étant donné.
Il est visible que les absides de l'orbite se trouveront aux points où dy=^o; or, si l'on différentie l'équation (U) et qu'on fasse ensuite rf^ = o, on aura
— RF sinR/ -f- G cosR/ = o, c'est-à-dire
Soil h le plus petit angle qui répond à la tangente :^^j et Ton aura
R ^ = A -h JUITT,
n dénotant l'angle de i8o degrés, et fx un nombre quelconque entier: maintenant l'équation (K) donnera, lorsque dy = o,
donc, mettant au lieu de / sa valeur — ït^— ' <*ïi ^"'*î^ pour les lieux des absides
(roii Ton voit que la distance d'une abside à l'autre sera égale à Tangle ^n, et que par conséquent le mouvement des absides sera de
( R ~ ' ) ^^'* degrés à chaque révolution.
48. Si l'on veut connaître la figure de l'orbite décrite par les corps, il faudra éliminer / des équations (H) et(K) pour avoir une équation entre r et 'f; mais il sera beaucoup plus simple de substituer d'abord
dans l'équation -j^ — ^^-r^ -^ Ar= o, au lieu de rf/, sa valeur ^ ^^.^ ce qui donnera, en faisant ^ = ^ et prenant rfç. constant,
et d'intégrer ensuite cette dernière équation par la méthode du n" 46. Hn eH'et, puisque r est à peu près égale à a, par hypothèse, .v sera à
peu près égale à -? et par conséquent on pourra supposer
re (jui, en faisant
*'a'/'sin'A
el
--ri L, i-r- = K\ --r- = M, -!Lr-'-=N,...,
donnera
-^ -h K» j 4- H -+- îMy' -H i'Nj» -h . . . = o,
dont l'intégrale sera (n^ 46)
j-f-iar'-H i'(3j*=: — hFcosRcp -h ^ sinRcp.
Ainsi Ton aura / en y ; il faudra seulement observer que la quantité g n'exprimera plus ici la valeur de ^lorsque / = o, mais celle de h-» c'ëst-à-dire -r-j-f de sorte qu'on aura
ig= — col A.
Le coefficient R donnera la distance d'une abside à l'autre de ^^-^ et
l'on verra, après en avoir fait le calcul, que cette valeur s.'accorde avec celle que nous avons trouvée ci-dessus.
Soit
on aura
donc
a c*sm*6
r"-==m(m-hi) - .— ^,
a 'c'sm'h
on aura donc
, ■ ,1 =iL,
a c'sin'ft
Plot-' -^, c^sïn'b
m(m-hi)(m-h 2) Atf""^' __ ^ 2.3 c^sin'6 "" '
A fl"*"' I
donc, puisque , . ,. = iL, on aura
■ ^ c*sin'6 a
kcr-^ ue
N = ^"^±ill^-^?- (, - .-aL),. . . ;
faisant donc ces substitutions dans la valeur de R* du n** 46, et rejetant tous les termes qui contiendraient des puissances de 1 plus hautes que la seconde, on aura
R'=:i -h m(i — iah)-\- zm{m H- i)aL
