Soit en général l'équation
On fera ^ — 5;, et l'on aura
^ -h K r -+- K'J8 H- L ■+- 1 (Mj* -\- Wyz -h W z')
i'(Nx* -^ N' r*2 -h NV^» -h N'^z») -h ... =2: o.
dr
On différentiera cette équation, et Ton y substituera ensuite -r— au lieu
d^ y* dy* d^ y dz
de -^^ z au lieu de ^» et -^^ au lieu de ^» ou plutôt sa valeur en y
et z; de cette manière on aura une nouvelle équation en z de la forme suivante
-j— -^ ky-k- k' z -h l-\- i(niy^-\-m' yz ■+- m" z^)
-h /' ( ny^ -h n' y^z -\- n"yz^ 4- n!" z^) -f- . . . = o.
Toute la ditliculté se réduira donc à intégrer ces deux équations: sur quoi voyez ci-après le n"* 52.
51 . Si l'équation proposée était du quatrième ordre, on la réduirait à
d^Y deux du second, en faisant ~- — s = o, et substituant ensuite z au lieu
j d'^r dz ,. j 'rf"r ^ d^z ,. j d'y
Mais si la proposée était du troisième ordre, alors il faudrait la réduire d'abord au quatrième par la diflerentiation, et ensuite à deux du
d^Y" second par la supposition de -t~ — z = o, et ainsi du reste.
De l'intégration des équ/ttions I j^VF-hGv-hHz^-i'Kj^-f-Ljz-hMs».
52. Nous commencerons par chercher la valeur des quantités -^i ^
et ' 1 qui entrent dans les différentielles secondes de y*, z*, y^,.. .;
or, comme nous nous proposons seulement de pousser Tapproximation jusqu'aux quantités de l'ordre de i*, il suffira d'avoir égard, dans les valeurs dont il s'agit, aux termes de l'ordre de i, parce que les quantités y^, z^, yz^... sont déjà elles-mêmes multipliées par /dans les équations proposées.
Je multiplie d'abord l'équation f L j par 2rfv, et j'en prends l'intégrale; j'ai, en négligeant les termes affectés de i*,
1^' ^ A -^ 2Fj-+- Gj^-h 2H C zdy -h / ( -^ jr* H- 2L I r^ rfj -I- 2 M | z^ dr\ = o. ' Je multiplie de même l'équation (Mj par arfset j'ai, après l'intégration, -^7 H- B -4- 2/2 -^'^g \ ydz -+- hz^-^ i iik I r'rfz -h zi l yzdz -h -3-^*) =0,
ou bien, en mettant yz — l zdy slu lieu de / ydz, y^z — 2 f yzdy au lieu de l y^dz, et -yz^ — - l z^dy làix lieu de / yz dz,
dz^ r
l J77 -h B -f- 2/z -h 2g'r>3 -^ hz^— 2g j z dy
(0) ^nt r r \
I -h I l^ky^z -h (r^^-i — 5- 2^ — 4** / rzrfr— / / -2*^7) =0.
Enfin, multipliant l'équation (L) par dz et Téquation (M) parrf^, les ajoutant ensemble et intégrant, on aura
[ -^~ -hC-h/j-i-Fz-i-^j»-hGrz-h -z» -h (A — G) fzâfr (P) > H-iT-.r'*-hKr»z-h~/z^-f- y^»
f . H-(/— aK) I xzdr-h (m j jz^dr]=o.
Pour déterminer les constantes A, B, G, on supposera que, quand
dy dz C C
/ = o, on ait 7 = 7, z = 5, ^ =6, ^ =y;, / zdy=Y, j yzdy = A et
I z^dy= A, et Ton aura
A=:- £2— 2Fy — Gy*— 2Hr — ï ^^/H- 2LA 4- aMAj,
B =r — y;2— ^.fd — 2g-yô — /i(5*-f- ag-f
- / (^Ay^a -+- /yô^-h ^d»- 4A'A- /aV
C = - £73 - /y - F 6 - ^ y' - G yd - - a» - ( A - G ) r
-i[^y^-hKy^a-h^yô»-+- jâ»-f-(/~2K)A-h (m-^) aI- Cela posé, je fais
J' =r W, J2 = «., ^^ = Wj. j Zdx= ttj,
j rz(Ir = v,, I z^dx=vr,, r f zdx=v^, z l zd^^v; j'aurai, au lieu des équations IL) et fM), ces deux-ci :
(i) —^ -^F-^-G>'-f-Hz-f-/(Ktt-f-Lii.-i-MM.)-^''(Ni'-i-Pi',-f-Qfv-i-Ri'3) = o,
(2) -j^ -+-/^- gT"*" ^^ -f- /(A"« H- /m. -4-mw,)-h iMni^-f-zit', -^-gi', -f- ri'.i) = o.
dt'
Maintenant oq a :
„ d^u __ d^r dy^
' dP ^^^~di^ '^^W'
donc 2JX (L) -h 2 (N) donnera, en négligeant les termes de l'ordre de i,
-— -+- 2AH-6Fj-h4Gj*-»- 2H/Z H-4H I zdy
-f- « (— â— J^'-^ 2Lx^z -h 2Mjz'H-4L I jzdfj -h4M / ^'rfj) =^et, en faisant les substitutions précédentes,
I-j-^ -haA-hôF^r 4-4GM-h2HM, -f-4HM8 -+- 1 ( -"ô-"^-<- 2Lv, -h 2Mi'2-4- 4Li'4 H- 4Mi'il =0.
p rf^tt, d^x d^^ dydz
^ HF'-^'dF'^^'dF'^^'îiF'''
donc z X (LjH-j X (MjH- 2(P) donnera
-T-^ -h 2C-h3/j-f-3Fz-h2g^M-h(3G-hA)w,-h2Htt,-h2(A — G)ii,
-h il ^i' -4-(3K -f- /)i'. + (2L -4- m)i/,4- ^i'3
donc 2z X (M) -h 2 (0) donnera
S— 7-p -h 2B -f-6/i -f-bg'M, -h 4Amï— 4g'"!«
donc z. X (L) -h (P) donnera
—j--- -f-C -♦- fr-h 7.¥z -h 2||-j- 2Gm, h «a -4 (A — G)a,
donc 3r^ X (Lj -+-67 X (Nj donnera, en rejetant les termes afleetés de I, à cause que la variable v est déjà elle*-ménie multipliée par i ^ dans les équations fi) et (2),
d'^v 17). -j- -h6\r -f- i5Fii H-g^Gi' -h SHi', -h i2Hi',i = <).
donc 2V':; x ( L; -hy'^ - (M^ H- 2z x (Nj -h 4/ x f P^ donnera, en négligeant par la même raison que ri-devant les termes de Tordre de» i,
\ . - -f-4Cr H- 2Az 4- 5/// -h ioFm, -+- 3i,'r
(b) j ut-
f -h ( 8G H- A ) ç', -h 4Ht', -f- 4 ( A — G ) t', -^- 4Hi': = o.
.. </^t', ., d'y d^z dz' , dydz
' dt' dt- ^ dp . " dP dp
donc r.^ x f Lj -f- lyz x fMj -+- 2 v x (0) -h 4- < (P) donnera
!-T^ -+- 2Br -^ ii^z -h lo/w, -i- 5Fm, -^ 8i>^t', 4- (5G -+- 4A) t^, -f 3H r, - ^gv, -4- 4 ( A — G ) i', = o.
^ -dF=^"dP^^'dp'^ donc 3^^ X (M; 4-G5 x fO) donnera
( 10 ) -~^' 4- 6B2 -4- i5/Mj -f- l5^'l', -h gUvi — l2gV, z= o.
580 SOLUTION DE DIFFÉRENTà PROBLÈMES
„ thv, d^ dr' dydz '.) -4P — r« ^p ^' dP^y df- '
flonr yz y< 'h) ->- z x 'Sj-hy x P^ donnerai '"' J 3H
o rf'f; , d*r drdz
"' -dF = ' di-^^"-^-^
clone z* X Lj -h 2z x ^P^ donnera
fl?) -y— -h ^CZ -f- 2/11, -h ZVUr-^ gV, -h SGVa-h ^Hi'a -^ 2 ( A — G ) V- =1 O.
donc (jz -+- i zrf^j X ^L; -h 2z x 'N) -h v x (V) donnera I ^-4-Cr-h2A2-h/«-K6Fii,-KFii,
donc z^ X ^Lj -h ^M) x j zdy -h'iz >c (?) donnera l -^ -h 3Cz -h 3/tt, -^ 4F//, -hfu,
