vA z'dy 4- j/. jj rf^^- 4- v', ^f^^rj

r -f- '>" z -h / ([i.'y -f- fjt", r^ -4- |UL^, z^ -h fx'j / zrfr j

d'où Ton tirera par approximation les valeurs de y et de z.

Il est évident que pour que les valeurs de j et de z ne contiennent que des sinus et des cosinus, il faut que les racines de l'équation (R) soient toutes deux réelles et négatives; par conséquent il faut que l'on ait

1° (G -^ A -^ iccY > 4 [GA - Eg-hi{ah ~ ^g)],

a'' G-+- A -f- /a>o, GAHg"-f- /(aA -- j3g^)>o.

Si ces trois conditions n'ont point lieu k la fois, alors les valeurs de v et de z contiendront des exponentielles réelles, et par conséquent la solution ne sera bonne que tant que t ne sera pas fort grande.

On pourrait ajouter que les expressions de y et de z renfermeraient l'angle /, si les deux valeurs de p^ étaient égales; car alors, supposant p" = p -h co, et regardant oo comme une quantité évanouissante, on trouver.ait que la seconde des deux équations ci-dessus se réduirait à celle-ci

dp'^^'\dp'^ ^ dp' -^^ ^ dp'' ^ dp' J ''^^)

./dv' , rfi/', dv', , rfv, , dv', r j

^'\d^'r'^wy''^dt^r^w"^wi^'^^

dv\ r , . dv, r . dv', r. \ de-

dans laquelle la quantité -j-, contient nécessairement des termes multipliés par l'angle /. Mais comme l'équation f R j n'est qu'approchée, quand il arriverait que

( G -f- A -h la)^ == 4 [GA — Hg' -h I (aA — Pg-)], ce qui est la condition des racines égales, on n'en pourrait conclure

autre chose, sinon que les deux valeurs de p^ seraient égales aux quantités de Tordre de i^ près, et que par conséquent il faudrait pousser l'approximation jusqu'aux quantités de ce même ordre. Ce ne serait qu'après avoir poussé l'approximation fort loin et avoir reconnu que les valeurs de p sont toujours égales, qu'on pourrait à la rigueur faire usage (le l'équation que nous venons de donner.

53. On voit aisément que la méthode précédente est générale pour tel nomhre d'équations qu'on, voudra, pourvu que ces équations soient analogues aux équations (L) et (M), c'est-a-dire que les produits de deux dimensions soient affectés de /, ceux de trois soient affectés de /^, et ainsi de suite.

Cette méthode serait surtout utile pour déterminer aussi près qu'on voudrait le mouvement d'un système quelconque de corps qui agiraient les uns sur les autres, et qui ne feraient que de très-petites oscillations autour de leurs points d'équilihre. Car nommant iy, iz,..,, les espaces parcourus par ces corps dans leurs oscillations, on trouverait des équations de la forme de celle dont je viens de parler; au reste nous avons déjà donné (n*^ 30) la solution générale de ce problème pour le cas des oscillations infiniment petites.

54. Si les équations proposées contenaient des termes de la forme

/ I zdx, 1^ j yzdy\ i^ j z^dy, /»r / zdy\ i^z j zdy,

l'intégration n'aurait aucune difficulté de plus; il faudrait seulement avoir attention de changer les expressions ^

f dx j zdr el J dz j zdy

(jui se trouveraient dans les équations (Nj, (Oj, (Pj en leurs équivalentes

r \ zdx— \ yzdx et z \ zdy— i z^dy.