Si ell(»s contenaient des termes de la forme
.dr* .drdz .dz^ ., Jr* ., dy^dz
on les ferait disparaître par des procédés semblables a ceux que nous avons suivis dans le n® 49. Il en serait de même de tous les termes qui
contiendraient des produits de ^ et ^ de dimensions paires; mais s'il
se trouvait des produits de dimensions impaires de ces mêmes quantités, alors on ferait chacune d'elles égale à une nouvelle variable, et on achèverait le reste comme dans le n® 50.
56. Enfin, si Ton avait des équations du troisième ordre et au delà, on les réduirait toujours au second par la méthode du n^ 51.
De V intégration de l'équation
(Sj ^ + K^7 + /(MvcosH/ + N^\inHA =T,
danJi laquelle T est une fonction quelconque de t.
57. Je remarque d'abord que si T était égal à zéro, l'équation serait dans le cas du n^ 55, car il n'y aurait qu'à faire cosH^ = z, ce qui donnerait
. wï \ dz d^z __
sinH/ = — 77:77 el -7- -4-H'2 = o.
U dt dt^
Or, puisque l'indéterminée y n'y passe pas le premier degré, il est clair ^ qu'on pourra faire disparaître le terme tout connu T par la méthode du n^ 1 .En effet, si l'on multiplie l'équation proposée par zdt, et qu'on pratique les autres opérations que prescrit cette méthode, on aura les deux équations suivantes :
(Pz, dv
\s}z -+- / ( M cosll/ — -t: z — NsmH/-y- =0^
élz-Y—- Crzdt di^ ^Tt^J ^^'^''
dont la première est réductible au cas du n° 55, et dont l'autre étant intégrée donnera j= / — i Tzrf/.
Au reste, ces sortes d'équations peuvent encore s'intégrer par une méthode particulière et fort simple que je vais exposer. Je fais
y sin H ^ = V, y %\XiiYii — V,
ce qui me donne
at at ai at
dr . „ di' „ rfr . „, df^ „
-f- smH/ = -Ti — Hm, -f- sm2H/==--7- — 2H1', .,
dt dt dt dt
et ensuite
Cela posé, j'aurai d'abord, au lieu de l'équation (S), celle-ci :
De plus, la même équation (S) étant multipliée successivement par cosHr et par sinH/ donnera
^ cosH / -f- Ky cosH ^ -4-1 T M j ( - -f- - cos2Hn -f- - N ^ sin 2 H M
d^y dV
= TcosH/
et
^sinU/ + K\KsinH/ + /[ ^M.r sinall/ -H N^ (i - ^cosaHAl = TsinH/, •
c'est-à-dire, en faisant les substitutions ci-dessus,
, , d'il „dU ,„, „„ .(M /M ^,„\ N dV-\ ^ „
iH- „c/tt ,,,, „,,,. .r/M xttt\ j/ N dc^ 1 rr. . „
__,H^-f-(K-H=)f.^.[^--NH)^--^J=TsmH/.
Si Ton voulait n'avoir égard, dans la valeur de y, qu'aux quantités de Tordre de «, on négligerait dans les valeurs de u et de U, et par conséquent aussi dans les équations (2) et (3), tous les termes affectés de /, moyennant quoi ces équations ne contiendraient plus que les trois variables y, u et U, de sorte qu'avec l'équation [i) elles suffiraient pour résoudre le problème; mais si l'on veut pousser l'approximation jusqu'aux quantités de l'ordre de i^, comme nous l'avons fait dans les problèmes précédents, alors on conservera tous les termes des équations (2) et (3), et on multipliera de nouveau l'équation fS) par COS2H/ et par sin2H/; ce qui donnera, après les substitutions, deux équations en v et en V, dans lesquelles on pourra négliger les termes affectés de 1, parce que les quantités s^ et Ksont déjà elles-mêmes multipliées par 1 dans les équations (2) et (3); ainsi l'on aura
(4) ^ ^4H^ + (K'-4lP)i'-Tros2H/,
(5) ^4H^+(K»-4H')^=Tsin2H/,
et l'intégration de l'équation proposée sera réduite à celle de cinq équations (i), f 2), (3), f/J) et (5), lesquelles sont, comme on voit, dans le cas du n« 29.
Ayant donc multiplié la première de ces équations par X^V/, la seconde par (xe^^dt, la troisième par Oïie^^dt, la quatrième par ve^'dt, et
la rinquième par ^é'^dt, on les ajoutera ensemble, et on en prendra l'intégrale en taisant disparaître de dessous le signe / les différences des variables y, m, U,..,-, après quoi on chassera les expressions intégrales j ye^^dt, l ue^'dt, l Ue^^dt,..., en égalant à zéro leurs coefficients, ce qui donnera
(p--+- K^)X -h /(—a JlLpj =o,
/(M-NH)X-f-(p'-hK»~H')a-f-2HaTVp = o,
- /N Ip — 2tH|ULp -f- (p^ -f- K^ - H'jOTt = o,
/ ( ^ - nh) |u H- ^ an p -h ( p' -h K» - 4 H' ) V -h 4 H «X, p = o, !]!l ^p -f. / ^^ nh\ m, - 4Hvp -f- (p» -f- K» - 4H») <7^ = o.
De cette manière on aura l'équation intégrale
\'.dr du ^ du dv ^ ^^df ( . 'N\
-h (- jUip - 2H31V ) M -f- (l NX -h 2H|UL - OrLp)£/
^ /- i|ion-vp-4Hx]v-+- ^f|î|ULH-4Hv- Ji:^p\f']e^'
/ T(X-h|uicosH^ -hOîlsinH/-^ vcos2H/-h Ji:>sin2H0^^'rf^ Soit p^ = — R^, de sorte que p =Rx/— i, et
et l'on aura premièrement
K2 ^ K* 4- / W' ^ a 4- ^ Ra a\ = o,
M - NH -f^ (- K^ -f^ K»- H>)a - 2HRVV> = o,
- N - 2Ha -4- (~ R> -4- K> - H>).V, = o,
590 SOLUTION DE DIFFÉRENTS PftOBLEMES
d'où Ton tire
( ^ M ^ NH ) ( B - à -r- 4 H I -h > N HR ^ ^ (R^-K='--4U^^ -i^HMR^ ""
^ N ( H ^^ - K -^ -^ 4 H %' R "^ -^ 4 ( ^ M - N H ) H R âF-^h='-h4H^)^- i6U^R; ""■
(-M-NHjfR - k -k4H ]-h2\UR^ ^*^ "^ fR^-K=-^4HM='-i6H^R^ *
-N(R^- K^-f-4H=)-u4 (1m- NH) H
et ensuite
j ^" -K i a ^ H- t (N -^ 2Ha -4- R^t )t H- i^j3 ^ -^ /^ (I a -f- 4H !3 -4- ^^
— j ( I r,v\ r -h /(a-h 2HA.)tt — /-l. -^
^ ,^ ^^ A ^ p ^ 4 H ^) i^ - ''ift> ^1 R v^ { ^^'^~' = JT[i -4-/acosHr-hi^pcos2H/
AsinHr-+-i^if^6iii2H/)Rv^--ije'^'^~'i/r;
ou, divisant par e^^^-\ et changeant les exponentielles imaginaires en
sinus et cosinus, du
dt dt
I (N H- 2Ha H- R^i>)6' -f- 1»(3 ^ -*" '' (7 « "^ 4Hpr-h R'i»i>) l
-h /' (^.V -f- p -h 4H1IÎ,) f - i^lfe ^ 1 ï^ v'^
r^oosR^ / T[(i H-/acosH/-hi»|3cos2H/)cosR/
— /(<i>sinH/-4- /iH>sin2lI/)RsinR/]^/ -KsinR/ / T[(i -h iacosH/-h/'j3cos2H0sinR/
H- i(^sinH/-Mifesin2H/)RcosRl]£// — sinR/ / T[(i -f- /acosH/-h/'(3cos2H/)cosR^
— /(AosinH/H- iill)Sin2H/)RsinR/]c/^v~ -h cosR/ / T[{i H- /acosH^ H- /'^cosaHOsinR/
H- /("l>sinH/ -h ii»l,sin2H^)RcosR^]rf/v'-^.
. Donc, si Ton remet pour a, L\ ^ et F leurs valeurs, et qu'on compare les imaginaires avec les imaginaires, et les réelles avec les réelles, on
aura
r , !i!f .i, H /(a H H-l.)cosH/ -+- i' ( i-.i, -h ;3 -4- 2Hirt,\ C0S2H/ j^)
/(-l.sinH7 -f- /ui)Sin2Hr)-^
iR/ rTr(n-/acosH/-hi»(3cos2H0^^^^
— /(-i smH/-h/Dl,sin2H/)sinRMrf/
R/ \l\(i -f-/acosH/H-i^(3cosH0^'
-l>sinU/ + iiil»sin2H/)cosR/ \dt.
cos
-^1 (N -^-Ha-^R' jUjsinH/— ( — a n- 2H;â -h R'i«,) sin2H/ Ij
= rosR/ / T (I -nacosH/ ^ i-.3cos2H/)cosR/
— /( i sinU/ — i\)l,sin2H/)RsinR/]rf/
— sinR/ / Ti(i -h/acosH/-4-/^;3cos2H^)sinR/
— /C-t sinU/ — /t)l>sin2H/)HcosR/ <//,
«Ifiix équations à l'aide desquelles on éliminera -^•
De l'intégration des équations 1 ^ ^ K^r -+- / (Mr'cosH/ -^ N ^sinH/) =T,
fU, ^^K'V -^i(M'rrosH/-N'^sinH/)=T.
