Soit fait, comme dans le numéro précédent

jrosH/ = M, jsinH/ = f , r cos2H/== c^, r sin2H/ = /

et de même

f rosH^ = u\ y' sinH/ = i ', r'cos^U/ .— f', .r'sin2H/ = f'

on aura

dy . „^ rf^ „ dr . ^, dy „

-7- sm H / — —7: H M, -77 sm 2 H / =r -7- — 2 H i*,

dt dt dt dt

d'y ,- d'u „dC u^ rf^r „, ^/=^i' /u^^"^ /u^

d'y . i, , rf't ^du „^. rf^r . u, d'f ,„ f/i'

-^smH/..^,--2H^-H^6, ^s,n2H/ = ^ - 4U ^

et pareillement

al ai at ai

dy' .„. dû' „ . dy' . „, dy „ ^

at al al al

d'r'' „. </'«' „dL' „, , d'x' „. d'i'' ,„dr ,„, , -^cosUt^-^^^H-^^ -E'W, -^cosaH/=-^+4H-;^-4HV.

Ola posé, on aura d'abord, au lieu des équations (T) et (Uj, ces deux-ci :

[(M-HN)«'+N^j=rT.

^ + K'Y H- ' [( M- HN') « - N' ^ 1 - r.

Ensuite les mêmes équations (T) et (U) étant multipliées successivement par cosH/ et par sinH/ donneront (après les substitutions) ces quatre autres équations :

d'u „dU

i .,[^^.(^.„)..|-:] = Xc„sH,,

Entin, multipliant encore l'une et Pautre des équations (1 , et (Uj par

^H J- - k^-iH^ / ^T^incsH^

On ;«ijn rlonr en Uiut dix inconnaes et dix éqaaiioDS, et le pr»>blèiiie ne flf:f94:uâr*t plus que de Tintégnition de ces équations.

Kn ^ijiv;fnt notre méthode on multipliera Téquation i, par/.« Téqu»fion u par > , Téquation 'î par a, Téquation. 4 par;?VL. réqoatioD 5 par;//, IV-qu^ition ^i par .TTw', Téquation 7 parv, Téquation 8 par x-, Téquation fj par >', Téquation 10 par j:;: et, après les avoir ajoutées ens^'nihle, on multipliera la somme par e^^dt^ et on en prendra Tinté*

grale; ce qui donnera, en faisant disparaître de dessous le signe I les

difl'érences des variables j, li, \\ u\..., et égalant ensuite à zéro les coefficients des ti;rmes où ces mêmes variables se trouveront sous le signe.

/N'/'fy - 7.|l;/0 -f- (r? -+- K^-- IP);)rL — o,

' ^' fj/ç. -f- / (^y- -f. N'H ) .m' 4H vp -4- (p^ H- K^- 4H') X = o.

f^ • Ml)//-f-'^^';)rLp-h(p»-hK''-4H')v'-f-4HX'p = o. . ' J^ ;,.p -^ ' (7 - Nil) '>n. - 4Hv'p -f- (p» -4- K'»- 4H') ^' = o.

et

dr ., dr' du ^ du , du!

^,dl' dv ^dV ,dv' ^,dV> ^-dT-^'Tt^'^-dt^'-dï-^'^-di

+ (— ftp— 2H3Tt)M + (— iN'X' + aH/uc- 3îtp)f." (X) { -t-(-;x'p-2H31L')«'+-(iNX4-2Hf*'-31L'p)f/'

+ (^3Tt'-vp-4H>l.j ♦»+ (- -^'fz'4-4Hv-0t,p)r

+ (- ^ Oit - v'p - 4H Ot'W 4- (i-^ pi + 4H v' - .X'p\ F' I «?P'

= / [T(>>4-ptcosH/ 4-31LsinHf 4-vcos2Hf 4-Nsin2H/)

■ +T'(X'+pi'cosH/-t-01t'sinH/+v'cos2H/-+->t'slii9.H0]«^'</'-

59. Qu'on multiplie la quatrième, la sixième, la huitième et la dixième des équations (V) par ±: V— i. et qu'on les ajoute ensuite chacune à sa précédente, on aura, au lieu des dix équations (V^, les six suivantes :

IW N' \

(p» + K'V/ + / (y f^ - ^ ait p) = o,

I [M' + N' ( H Ji p v/^ j] X' + [ K» - ( H ih p v'^n' / J ( pi ± an v/^ j = o, I [M - N (H d:p ^^)j X 4- [K"- (Hdzp v'-T)'] (.u'd=31l'v/"-Tj = o.

/ [M' + N' (aH :hp v'-T)] (pi' di.TIt' y^ITTj

+ 2 [K'- (aH.itpv'^j'J (vrir JCvPTj =o, / [M - N (2H rh p v/^)J (ft ±: 3R V^ITTj

Les deux premières donnent, ou bien

(Y) p. = K'4-i(^,.'-h^0lt'p)

et

Mfx-N3n.p *-~' 9.(p'4-K') '

ou bien et

Dans le premier cas, la troisièine équation deviendra, «n substituant la valeur de )/,

\K'-(U±:p^iy]{fx±DTLy/':^i)

-P[M' + N'(H±:p^3T)jM^^L^^o.

laquelle donnera séparément, à cause de l'ambiguïté du signe, /jl = o et ;)lt = o; de sorte qu'on aura aussi X' = o, v' = o et ;)t,' = o: et l'on aura ensuite, pour la détermination des quantités fx', d\l\ v et ot,,

jy^j )^ K--(H±pv/~i)

1 i> .r / — • M'-+-N'(2Hd=ps/^) / ,..,„, / — .

( 2[K^-(2H±pv/-ir]

d'où Ton voit que les quantités fx' et ^)n.' seront de l'ordre de i, et les quantités v et JC de celui de t^.

Dans le second cas on trouvera d'abord fx' == o, OR' = o, et par conséquent X = o, V = o, et j(, = o; ensuite on aura

K'-(H±pv/-.)' et

arK^-CaHipy^-i)*] d'où l'on tirera fji, .'>1i', v' et 3t.'.

Ayant ainsi les valeurs de tous les coefficients, on achèvera le calcul comme on a fait dans le numéro précédent, et Ton aura, à l'aide des deux valeurs de p^, deux équations finales qui serviront à trouver j et y'.

Il y a cependant un cas qui demande une discussion particulière; c'est celui où le coefficient H serait presque égal a K — KS la différence n'étant que de Tordre de i\ nous allons l'examiner dans les numéros suivants.

Analyse du cas oîi H est presque égal à K — K'.