.M4-N(2A-?.A'±A) M4-NA

d'où; en faisant

M-f-N(A-2A^) M-f-NA^ P~ 4A'(A-Â') 8A'{m-A*')'

on aura

A l'égard des autres coefficients, savoir : X', fx, ^ïïL, v et K»', ils seront tous égaux à zéro, comme nous l'avons vu dans le numéro précédent.

61. On fera maintenant ces différentes substitutions dans l'équation

intégrale (X) du n" 58, et l'on aura, en rejetant les termes de l'ordre de i\

{dt '^ /^h'{m-k')\dt '^ dt ^ V

A du' dii' ^(dv dy , \

^ r N'(M + NA')-| , —

r(M + NA')m . „ .1 , , —

-4- 1 [pT (cosaH^ -»- sin2H/ v^^ j

-hT'facosH/-4-.l.sinH/v/^)j | e-(*-^'")'V~r//.

Supposons que cette intégrale soit prise de telle manière qu'elle soit nulle lorsque ^ = o, et qu'alors on ait

et par conséquent

et (n"58;

il est clair qu'il faudra ajouter au second membre de l'équation précé-

DE CALCUL INTÉGKAL. 601

dente, la quantité

r'est-k-dire, à cause de H = A — A',

+ [m-(A-2/l')P]/v'=TJ-

62. Pour rendre le talcul plus simple, nous négligerons d'abord les termes de l'ordre de i; moyennant quoi l'équation (e) deviendra, en mettant A — A' au lieu de H, et e'*-A'^'>P^ au lieu de cosH/ + sinHfv — >.

(dy M + NA' Vdu' ,, .,^,.J

A'^-- WT^> [^ (A-.A')«'J.j^--7).-.-->.V- M + NA' , r,- M 4-NA' „,1 ,-

Si l'on multiplie cette équation par e(*+"»^'V^, qu'ensuite, après avoir réduit les exponentielles imaginaires en sinus et cosinus, on compare la partie imaginaire du premier membre à la partie imaginaire du second, I. 76

el qu'on fasse, pour abréger,

B= s\n[{h'him)t] JT oos[(A -him)t]dt

- cos[{h'him)t] I T sin[(A -hi/w)^]rf/, b = sin[(h-him)t] j T cos[(h' -h im)t]dt

— cos[{h'him)t] I T sin[(A'-+- /m)/]rf/, on aura l'équation suivante

laquelle, en mettant successivement m, et ma à la place de m, et dénotant par ôt et Sa, ^j et ^2 'es valeurs correspondantes de 0 et de 3^, en

Fournira deux autres, dont la seconde étant multipliée par -r-, :*

et ensuite retranchée de la* première aussi multipliée par , ' • — y

r m, — A' ^ M-hNA' ^,1 f,, ...

= / •+■ -/-r, ; / ^os [ ( A -h /m, ^]

^- > - - x/?-*- -/TTr; \S sm[ A -h inu)t\

. f -^ TT-i : r C0S[ A -h £m, f]

M-hiNA

A -f /mï)/.'

A (m. — /??,)*' ^hk'[m nii — /»

ïf(nh ~ m. ) "" li(mx — nu ) ' 4 A'*' ( '''• "~ ''^^ )

nu- /.' ^^___ ^»i,-/'1^0 ..y,t^V.(^.-^.)-

63. Il Faudrait maintenant Faire un calcul semblable pour trouver la valeur de y', en employant les autres formules du n" 59; mais sans entrer

dans un nouveau détail à cet égard, il suffira de considérer que les équations proposées (Tj et (U), dans lesquelles H = A — A', sont telles que Tune se change en l'autre, en marquant seulement d'un tfait les lettres 7, K, M, N, A, T, et effaçant celui des lettres y\ K', M', N', h\ T ; d'où il s'ensuit que pour avoir l'expression de y' il ne faudra que mettre dans relie de y. f\ g\ h\ k\W .^\r au lieu de /, ^, A, *, M, N, T, et t^ice versa.

A l'égard des valeurs de m, on remanjuera qu'en négligeant le terme /A, elles seront les mêmes pour les deux cas, puisque les quantités M, N, h, k et }\\W yh\ k entrent de la même manière dans l'équation id) du n^ 60.

64. Ayant trouvé les premières valeurs de y et de y\ si l'on veut avoir une plus grande précision et tenir compte aussi des quantités de l'ordre de /, on nommera ces valeurs y et y\ et on désignera de même par u', U', V et V les valeurs correspondantes des quantités 1//, C\ v et I; ensuite on supposera

r ==: y -h !>*, W = u' -h iu'\ U' = U' -h iL'\

et l'on fera ces substitutioHs dans l'équation (e) du n^ 61, en négligeant les termes de l'ordre de i^\ après quoi on effacera tous les termes qui ne seront point affectés de î, parce que ces termes se détruiront d'euxmêmes, en vertu de l'équation (/j, et l'on divisera les autres pari. De cette manière on aura

(dy" M-+-NA' (du'* ,. A<^/,.\

r, , Mh-NA' (dV* ,. ,,^ , V 1 — d\x' ^rfv (^ „ (M-^NA')m , A ,„

-^^-dr^^di^[^^^^^''\h(m-l'r''''r

/N-(M-f-NA-) /Hm\v

- [Sh^im^k') -^-(*-4U)|3jV

^r.rfU' . rfV^/ N'(M + N*')\

-h I fpTfcos2H^-+-sin2H//^)

On traitera cette équation comme on a fait ci-devant l'équation (/j, et supposant, pour abréger,

o= s'in[{h-^im)i] Tt cos[( 7. h' — h -h im)t]di

— cos[(A'-+-im)/] Tt sin[(2A'-A-hJm)^]rf^

/== sin[(A-h/m)/] JT cos[(h' -^ im)t]di

— cos [( A -h im)f] rrsin[(A'-h/m)/]rf/,

4^= sin[(A-i-/m)^] rT'cos[(2A - A' -h /m)/]^/^

— cos[(A-i-/m)^] JT sin[(2A — A'-f-iw)/]r//,

et (le plus

N^(M-f-NA^)

o = TÂ77 ïTT +na — 2H-I,

4 « ( m — fr )

iV(M-(-N/i') ,. .„,^,

on trouvera

wn' — le' \~

' "rfT "^ ^' dt "^ ''^ y -^ oa" ^- e. V

^i^ >î2» Çm Ça»--- étant les valeurs de yj, Ç,... qui répondent à m, et/n^.

Si Ton voulait encore pousser la précision plus loin, il faudrait alors reprendre les calculs du n*^ 58, et y avoir égard aux quantités de l'ordre de P que nous y avons négligées.

65. Soit T = AP, A étant une quantité constante, et P une fonction de P telle, que

on aura donc

/ Tcos[(/i -h im)t]dt= A / Pcos[(/i -h im)t]dt, et

/ ^ cos[(h ^ im) t]dt z= — L P 'cos[{ h -h im){]dt

* ^P r/JL ' ^ .^ h -Ji- im ^ , ,. . . ,.T

en intégrant par parties; donc, supposant que l'intégrale

Cpcos[{h

im)i]dt

soit prise de manière qu'elle soit nulle lorsque / = o, et qu'alors on ait

dV

^ = a, on aura

/ P cos[{ h -h im)t]dt ^|(//H-/>w)Psin:(A-h/^f)/j-f- -^ cos[{ h ^ im) t]^ a] ^^^ ^ .^^^ ^y

On trouvera de même, en prenant /5 pour ce que devient P lorsque

I Psin[(A -him)t]dt = \ — (AH-jm)Pros[(A-f-//w)/]-f- ^sin[(A-i-/m)/]-h(A-h/m)P -r — . ' ^ •

De sorte qu'on aura f n*" 62 j

— (A -f- /m)P — asin[(A -h ini)t] — P(A-h/m)cos[(A -h im)/ J-

(A -f- im) Pareillement, si l'on a

T = A'P' el ^-ha'»Fr=o,

dP' et que a', ]S' soient les valeurs de -^ et de P' quand t = o, on trouvera

— a' sin [(A' -h im)t] — (3' (A' -f- im) cos[( A' h- im) /] |.

Donc, si Ton a

T=:AP-hBO-hCR-H...

et

et de même

T'=rA'F-hB'Q -^C'R'-h...

et

et (ju'on fasse

et de plus

(a, r, A' et r' étant les valeurs de 0, -^^ 0' et —^•> lorsque ^ = oj, la Fonnule (g) du n" 62 donnera, en négligeant les termes de Tordre de /,

r = F -h y-rn ; F' cos[ A -f- /m, f ]

f m, — h' ^ M-+-NA' ,^,1 . r/i - X 1

-f- y- :G-4- 7X/77 ^^ sin[ A-f-/m. /]

|A(m,— m,) ^nh'(mx—mi) J . ^