Soit

m, -f- nh = 2ijl/i el /w, m. ^i A,

en sorte que

a= — T— et v=:"-^ T — :

supposons de plus

• r, (A--A^)F-f-2PF' ihv

(A'-A'')G-f-2PG'

et nous aurons, au lieu dé l'équation (t^), celle-ci :

y iz: Fcos(i -h iyL)htcosivht — F, sin(i -h i ^k) ht sm iv lit -hGsin(i -h i/;ji)/i/cosivA/-l-.G, cos(i H- iyi)/its\nivht.

Soient maintenant

F = i cosa, G = i sina, F, = i, cosa,, G, = i, sin «,, on aura

y z=ôcos[(i -+- i/x)A/ — a]cosivA/ — ô, sin[(i -f- ifj.)/it — a,]sinivA/.

Soient encore

(x, = a-¥-n et â, = (3ô,

on aura

sin[(i -f- i|ut)A/ — a,] = sin[(i -h ifx)A/ — a] cosyj — cos[(i -h iyL)/it — a]sinyî;

donc

y = 5(005 IV A/ -h (3sinyîSinivA/)cos[(i -h i|ui)A/— a]

— d|3coSY}Sin/vA/sin[(i -+- ifj.)ht — a].

Enfin, soit

cosivht H- (3 sin 73 sin/vA/ cos^J^

(3cos73 sinivA/ sin 4^'

c'est-à-dire

, coi îv ht

^ Pcosyj ^ .

et nous aurons

y = ô y (cos/vA/-i-p sinyj sinivA/)^-i-((3cosyî sïn h ht)^ X cos [( i -+- iii) ht-h^^ — aj,

DE t.ALriL 1NTEGR\1. Hi»

MU liieii. f n faisant

V ^ A ces A/ — -i . De même, si Tcm fait

H — n, — 90/1^ il — 91, =- 25-/l,

en snrW que

ensuite

pl de plu>

B,— —À, sine,, C,— /., cos:

rot /y/*/ rot- - -H lant»'.).

■r ^ \^ir

entin

A = /. i/ ^^J- -u - — ^ r<>s2/7A/ -i-ysîn'^sin^/g-A/ et C = t— H— îo/ii

on aura par Téquation j-

z -- A sini /// — 6).

Voilà donc les valeurs de v et de z réduites à la même forme que (*elles du n® 71: d'où il est aisé de conclure que Torliite de Jupiter est unr ellipse, dans laquelle rexcentrieité est /A, le lieu de l'uphelie -i, la tangente de rinriinaison à réclipliijue /A, et le lieu du nœud aseendant i. Il en sera de même de Torbite de Saturne, en marc|nant senlemc*nl les lettres d'un trait.

86. Il faudrait présentement substituer «es \aleur> de \ v{ de / dans les equati<»ns y . /; et '^ du n" HO. pour en déduire le> e\pri*.Nsion> I. Si

des quantités y, z et a?, et par conséquent celles de r, ^ et 9 fn*^72j; mais sans entrer dans ce détail, il suffira de remarquer :

i" Que les quantités fi, v, p et or étant de Tordre de n, comme on le verra ci-après, lés variations des quantités A, A, x et C seront de Tordre (le /n; d'où il s'ensuit que les expressions de j et de s seront à très-peu près les mêmes, c'est-à-dire aux quantités de Tordre de i^n près, que si ces quantités étaient constantes. De sorte que pour avoir le rayon vecteur de l'orbite, ainsi que la tangente de l'inclinaison, pour un instant (|uelconque, il n'y aura qu'a calculer Tun et J'autre par les méthodes ordinaires, d'après les éléments 1 A, iK^XeiC regardés comme constants.

-T- \ la valeur de -^^ en supposant A, A,

-v et C constantes, on aura, abstraction faite du terme nS qu'on doit négliger ici,

parce que, dans l'hypothèse de A et A constantes, les termes tous constants f -ht (A H- 1*0 (-A*-h-A^j doivent être supposés nuls, comme

nous l'avons fait (n** 81); or, dans le cas présent où les quantités A el A sont en partie constantes et en partie variables, on fera simplement

f^/(A-f./r)|^|ô^(i-f.p»)4-ixni-f.y»)J:=o,

dx et on conservera dans la valeur de -^ les termes variables qui entrent

dans A^ et A'*, savoir

d' ( cos2ivht -f- ^sinyj sina/vA/j

l' f ^ cosaiff/if-hysinwsiniio-An»

et

de sorte que Ton aura, en négligeant les quantités de Tordre de ï\

el ensuite

-• /• ( — c*os2/>A/ -*- y siii<*> Mil 2#9/r/ ) •

Pour intégrer v^iVe équation, soit ^x. la valeur de ar, dans la suppoMtion de A, A, ^K e\ € eonstantes, et dénotons par é x la diH'érentielle de X; en faisant ree quantités seules variables, il est elair que la valeur

complète de —r- sera ( ^) -^ — g^'- de inanieiv qu on aura, en iiile-

grant.

'■- fit)-"- ,('■■'■■

et par consequenl

Mai^ coniine les difl'érences des quantités A, A, -^ et C sont d^* rordie

de /n. la quantité \ ù[œ sera aussi du même ordre, et par conséquent

elle pourra être négligée, du moins dans la recherche présente: on aura done simplement

dont

So- r I - 3* . . . , . . . I

«U. par conséquent.

sin:/./o-/i/ y sinot(i-()Nj»./9'/i/ ii U

ou Ton remarquera que ht est l'angle du mouvement moyen, et i{x) Té- (|uation du centre calculée à l'ordinaire, et combinée avec la réduction à l'écliptique.

Or, comme les coefficients ^v et r^ sont extrêmement petits, il est visible (|ue, tant que l'angle ht ne sera pas fort grand, on aura k très-peu

près

s'ïn9.iv/it = 9.ivht, coso.ivht r i,

et

sin '?. i (xJit = 9. 17 ht, cos s>. i o- A/ = i ,

et, par conséquent,

i> = fi -f- 1 i^è^i- ;3^) 4- y in^i - f)] ht -h i(x');

de sorte que le mouvement moyen sera augmenté en raison de

i -\-yi^8'^ (i - f^^) -^'-in-' (i ^f) a r.

Si donc on veut que le terme ht représente le moyen mouvement apparent de la planète, c'est-à-dire celui qui résulte des observations de

sa révolution, il faudra faire simplement f=: (55*-i-/'^j; et l'on

aura pour lors

dx ldx\ 5/A, ri — â', . , , ^ . . . , "I

"1- — 1-7- I H ôM ^(cos2/v/i/ — i) -h psnv/; sm?./ v///

ih V i — y' I

-I XM '—(cos'y.i^ht— i) H-y sino)sin>/o-A/ h

d'où l'on trouvera

<p z= A/ -f- /(:f) -^--j — î^(sin?/vA/ — 9.tvht)^ ^sinr, (cos?./v/// — i)