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satisfaisant, et qui n'est, ce me semble, dans le fond qu'une espèce de pétition de principe {voyez le Chapitre XIX de son Algèbre). Il s'ensuit de là que le problème dont il s'agit n'a pas encore été résolu d'une manière suffisante et qui ne laisse rien a désirer: c'est ce qui m'a déterminé à en faire l'objet de mes recherches, d'autant plus que la solution de ce problème est comme la clef de tous les autres problèmes de ce genre.

1. Soit a le nombre donné non carré, y^ le carré cherché et x^ un autre carré quelconque, la question se réduit à satisfaire a cette équation : ay^ -t- i = oo^, en ne prenant pour x ei y que des nombres entiers; ainsi il s'agit de trouver deux nombres entiers x et y tels que

Qu'on tire la racine carrée de a par approximation, et l'on aura une fraction décimale qu'on pourra changer, par les méthodes connues, en une fraction continue, laquelle ira nécessairement à l'infini, à cause que \a est une quantité irrationnelle par l'hypothèse.

Pour cela il n'y aura qu'à diviser d'abord le numérateur de la fraction trouvée par son dénominateur, ensuite le dénominateur par le reste, et ainsi de suite, en pratiquant la même opération, par laquelle on cherche la plus grande commune mesure de deux nombres, et nommant y, q\ q'\ y",..., les quotients qui résultent de ces différentes divisions, on aura

Or cette fraction continue étant interrompue successivement au premier terme, au second, au troisième, etc., donnera une infinité de frac-

tions particulières que je désignerai par — > ^^ -j-, ï^'-' auxquelles

ajoutant la fraction - on aura cette suite infinie de fractions :

qui seront telles que

m" = ç'^M' -h m', /i^'rz: 5»^N' -+- w',

Ces sortes de fractions ont plusieurs propriétés qui sont connues

depuis longtemps des Géomètres, mais que nous croyons devoir rappeler

ici en peu de mots, parce que nous en ferons un grand usage dans la suite.

I® Les numérateurs

forment une série qui va continuellement en augmentant; et il en est de

même des dénominateurs

2® Les fractions

sont toutes plus petites que la valeur de la fraction continue d'où elles résultent, valeur qui dans notre cas est sja, mais elles s'en approchent toujours de plus en plus. Au contraire, les fractions

sont toutes plus grandes que la même valeur, vers laquelle elles sont aussi constamment convergentes. Et chacune de ces fractions en particulier, soit qu'elle soit plus grande ou plus petite que \Ja, approche davantage de cette quantité que ne fait aucune des fractions précédentes, ni que pourrait faire aucune fraction quelconque dont le dénominateur serait plus petit.

3*^ Si l'on multiplie en croix toutes les fractions voisines, et qu'on L 85

retranche les produits l'un de l'autire, on aura dans toute Tétendue de la

série

— om

Mr

-Nm

Mn'

-Nm'

d'où l'on voit que les nombres m, /i. M, N, m', /i',..., ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que l'unité, et qu'ainsi les fractions dont il s'agit sont toutes réduites à leurs moindres termes.

-î on

2. Cela posé, puisque yfâ < z^ et > —j si l'on fait \fâ = - — ^

aura A > o, et ^ > -j^-, donc ^^^ < ^ ~" ;^ "^ NV' ^ ^^"^^ "^ Mn' — Nm' = i ; donc A < —? et comme n' > N, on aura à plus forte raison ^ < ^ • En supposant de même

' r M' — A' M" — A^ V^= — jjî — = — ^ — '"•'

on prouvera que

à'>o et <^

A'^>o et <^,

Pareillement, à cause de \/a > — et < ^î si l'on fait Ja =

on aura 5>oet-<=T^ — — <s^: donc aussi, à cause de N > /i, n IN n IN n

î < -^ ; et l'on prouvera de la même manière qu'en faisant

on aura

a'>o et <.^,

ô'^>o et <^,,

3. Considérons maintenant la formule a?* — ay*, et substituons successivement dans cette formule les nombres M» M\ M",..., à la place de ,r, et les nombres correspondants N, N', N",..., a la place de j, en nommant Z, Z\ Z'\..., les quantités qui en résultent; nous aurons d*abord

mais a = I — ^j^ — J , donc