Z = 2MA-A
donc, puisque A > o et < ^i on aura aussi Z > o et < -^j^; on aura de
même
2' = M'^ - aN'» = 2M' A' - A'%
et par conséquent
Z'>o et <^,
et l'on prouvera de la même manière que
r=zM"'~aW>o et <^"
Mais les fractions ^t ^y n^'* '' forment une suite décroissante et convergente vers yja\ donc les nombres Z, Z', Z",..., qui résultent de la substitution de M, M', M",..., à la place de x, et de N, N', N",..., à la place de y dans la formule x^ — oy*, et qui sont par conséquent tous
entiers, seront aussi nécessairement tous positifs et moindres que ^ • Or ces nombres Z, Z', Z",..., sont en nombre infini, parce que le nombre des fractions ^^^ ^^ j^'-' est infini; donc, puisqu'il n'v a qu'un
nombre fini de nombres entiers positifs, et moindre qu'un nombre donné, il faudra nécessairement qu'une infinité de ces nombres Z, Z', Z",..., soient égaux entre eux.
Ainsi l'on aura par ce moyen une infinité de nombres différents à substituer au lieu de a? et de y dans la formule x^ — ay^, de manière qu'elle
ait toujours une même valeur positive, et moindre que ^ •
Si au lieu de substituer à la place de a? et de j les nombres M, M', M",..., et N,N', N",..., on y substituait les nombres m, m', m",..., et /i, /i',/i",..., et qu'on nommât 2,2', z",..., les valeurs résultantes de x^ — ay^, on aurait
z =: m^ — an-, ou, en mettant l— | à la place de a,
d'où l'on voit que z sera négatif, et qu'à cause de 5 < - on aura
On trouvera de même
et par conséquent
z' <o et — 2' < — - -¥■ I ,
et ainsi de suite ^ l'infini.
D'où l'on conclura, comme ci-dessus, qu'il y a nécessairement une infinité de ces nombres m, m' m",..., et n, n\ /i",..., qui, étant substitués à la place de a; et de j dans la formule x'^ — a/*, la rendront égale à un
même nombre entier négatif, et compris entre zéro et 1 .
4. Nous dénoterons en général par x,x\ x",x"\,.., et par J, j, j", j'%..., tous les nombres qui étant substitués dans la formule x^ — ay^ la rendent égale à un même nombre quelconque entier positif ou négatif,
que nous, appellerons R; en sorte que l'on ait les équations
jpî — ay'^ = R, x'' — ax" =R, x"' — ay"^ = R,
dont le nombre sera infini.
5. Lemme. — Le produit de ces deux quantités x^ — ay^ et ar"^ — ay'^ est (xar' ±ayy'Y — a{xy' ±Lyx'Y; car
( X* — ay^ ) (^" — «r") = x'^x'^ -t- a^y'^f — ay'^x*' — ax'y" = x^x'^±2(zxx'yy'^ -h a^y^y^ — ax^y'^ -+- 7.axyx' y — ay^x'' = (xx' ±ayy'Y—a(xy'±yx'Y,
D'où l'on voit que le produit de deux quantités de cette forme x^—ay^, a étant une quantité donnée, est toujours aussi de la même forme, el qu'ainsi le produit d'autant des quantités de cette forme qu'on voudra sera encore de la même forme.
Donc on aura
(x^ — ay^'Y = {x* -h ay^Y — a(2xyY, { X' — ay^Y = (^' -I- 3axy^Y — a(3xy -h ay* Y,
et ainsi des autres.
6. Supposons d'abord que R et a soient premiers entre eux, et multipliant ensemble deux quelconques des équations du n'* 4, on aura (Lemmej
( A ) R' = (xx'± ayy' Y — a( ^r' ±r^' Y-
De plus, les mêmes équations donneront celle-ci :
savoir, a cause de x^y'^ — y^x'^ = { xy' -{- viJo' ) (ocy' — yx')^
(B) \{(y^^y^)^^j,y' ^y^')(xy' -yx').
Or : I" soit R un nombre premier quelconque; il faudra, en vertu de l'équation (Bj, que ary'-hyx' ou ar' — y^' soit divisible par R; soit donc
et Téquation (A) deviendra
' R» = (xa7'±:ar7' )' — «?' lis
d'où Ton voit que (xx' ±: ayy']^ est divisible par R*, et que par conséquent xx'±ayy est divisible par R; donc faisant xx' ±. ayy' =^ pti^ et divisant ensuite toute l'équation par R^, on aura
I = /?' — aq^.
7. 2" Soit R = AB, A et B étant des nombres première, il faudra, en vertu de l'équation (B), que xr'-hyx' ou ocy' ---yx' soit divisible par R ou bien que Tune de ces deux quantités soit divisible par A et l'autre par B.
Le premier cas rentre évidemment dans celui du numéro précédent, et donne par conséquent le même résultat.
Dans le second cas on aura
xydtrx' = qB, q n'étant point divisible par A, et l'équation (AJ deviendra A'B^ = ( xx' ± ayy' y - aq'h' ;
de sorte que xx' ± ayy' sera aussi divisible par B: donc faisant
xx^ ±ayy^ =pB,
et divisant toute l'équation par B^, on aura (C) PL'—p'-aq'.
Or, comme q n'est pas divisible par A, et que a ne l'est pas non plus
D'UN PROBLÈME D'ARITHMÉTIQUE. 67î)
par hypothèse, p ne le sera pas, de sorte que A, /> et ^ seront premiers entre eux.
Qu'on prenne maintenant une autre quelconque des équations du n** 4, comme R = x"^ — ay"^, et qu'on la combine avec l'équation R = a?* — oy*, en opérant sur ces deux équations comme nous venons de faire sur les équations R = a?* — ay^ et R = x'^ — ay'^ ; on aura des résultats analogues aux précédents, dont on tirera par conséquent des conclusions semblables. Ainsi il faudra que l'une ou l'autre de ces quantités ocy" -\-yx'\ xy" — yx" soit divisible par R, ce qui se réduit au cas du n*^6; ou bien que l'une le soit par A, l'autre par B. Donc, faisant dans ce dernier cas
xy"±.yx" =:7'B, et ensyiie
on parviendra de même à l'équation
dans laquelle A,/>' et q[ seront aussi premiers entre eux. Or les deux équations (C) et (D) donneront ces deux-ci :
(E) k^ = [pp:^aqq^r-a{pq^±qp')\
( F ) •^'(q''-r) = ipq'-^gp')( pq' -qp'Y
Ainsi, à cause que A est un nombre premier, il faudra, en vertu de l'équation (F), que l'une ou l'autre des ({xx^nûié^ pq' -\- qp\ pq' -- qp' soit divisible par A^, ou bien que l'une et l'autre soient divisibles en ménie temps par A; mais alors il faudrait aussi que leur somme !ipq' fût divf* sible par A, ce qui ne peut être, k cause que ni p, ni q' n'est divisible par A, à moins que A ne soit égal à 2.
Supposons d'abord que A soit différent de 2, et l'on aura nécessairement
pq'dtqp' =sk\
ce <|ui réduit l'équation (E) à celle-ci :
k* = (pp' ±aqq' y — as'A\
par laquelle on voit que pp' ±.aqq' doit aussi être divisible par A^; de manière qu'on aura
pp'dtaqq' = r\^;
el par conséquent, en divisant toute l'équation par A\
I = r^ — flw^
Si A était égal à 2, alors, comme q et q' sont premiers k A, ils seraient tous deux impairs; par conséquent leurs carrés seraient chacun un multiple de 8 augmenté d'une unité; de sorte que la différence de ces carrés serait nécessairement un multiple de 8; on aurait donc
q'' — q' = Sm,
el l'équation f Fj deviendrait, à cause êe A = 2,
3îx//7 =r ipq' -f- qp'){pq' — qp' );
ainsi il faudrait nécessairement que l'une ou l'autre des quantités pq -^ qp\ p<i — qp' fût divisible par 4» c'est-à-dire par A^, comme dans le cas précédent.
8. 3"* Soit R = ABC, A, B, C étant des nombres premiers, il faudra donc, en vertu de l'équation (B), que l'une ou l'autre des quantités xy' -^ yx\ a;j' — r^' soit divisible par R, ce qui rentre dans le cas du n** 6; ou bien que l'une soit divisible par A, et l'autre par BC. Soit donc
et l'équation ( Aj deviendra
K'h^O = ( xx'±iayy' y — aq'B'O:
de sorte qu'il faudra aussi que xx'zLayy soit divisible par BC; donc.
faisant
xx'±axr' = pl^C,
et divisant toute Téquation par B^C^, on aura
A* = /?' — aqK
Si Ton combine de même Téquation K = x^ — ay^ avec l'équation ^ = x"^—ay''^ (n*" 4), et que ni Tune ni l'autre des quantités 07^"-+- j^r", xy" —yx" ne soit divisible par R, on parviendra, par la même méthode, a une équation de cette forme :
k'' = p^ — aq'\
k étant l'un des facteurs de R. Donc, si ^ = A, on aura deux équations qu'on traitera comme on a fait ci-dessus pour les équations (C) el (D). Si ^ = B, on combinera les équations R = a?'^ — ay'^ et R = x"^ — ay"^, et si cette combinaison ne donne pas le cas du n^ 6, elle donnera nécessairement une équation de cette forme :
k étant l'un des trois facteurs de R.
Donc, si ^'= A ou A'=B, on aura deux équations analogues aux équations (C) et (D); mais, si ^' = C, il faudra prendre une quatrième équation telle que R = ^'"* — ay'"^, et la combiner avec quelqu'une des précédentes pour avoir ou le cas du n** 6, ou au moins une nouvelle équation de cette forme :
k"^ = p"'^ — aq"
,,Wi
k' étant égal à A ou a B ou à C; ainsi, quel que soit k'\ on aura nécessairement deux équations analogues aux équations fCj et (Dj, par lesquelles on pourra résoudre le problème (n^ 7;.
En général il est évident, par tout ce que nous avons démontré jusqu'ici, qu'en multipliant ensemble deux quelconques des équations du n® 4, on aura nécessairement ou une équation de cette forme : i =/?'— ay^ comme dans le n*' 6, ou au moins une équation de cette autre forme: I. 86
k^ =p^ — aq^, k étant Tun des trois facteurs de R. Donc, si Ton prend quatre des équations du n*^ 4, et qu'on en fornae quatre produits différents, on parviendra nécessairement à 4'équation
ou au moinvS à deux équations de la forme
h^ — p"— aq\ k' — p'' — aq'\
qu'on traitera ensuite comme on a fait plus haut pour les équations (Cj
et(D).
9. 4*^ Soit R = ABCD, A, B, C, D étant des nombres premiers, il faudra, en vertu de l'équation (B), que Tune ou l'autre des quantités xy' -\-yx\ xy'.—yx' soit divisible par R; ou que l'une soit divisible seulement parBCD, et l'autre par A; ou enfin que l'une le soit seulement par QD, et l'autre par AB, ce qui donne trois cas différents.
Dans le premier cas on aura d'abord, comme dans le n" 6,
I = p* — aq"^.
Dans le second cas on aura, comme dans le n*^ 7, en mettant BCD au lieu de B,
A' = 1?^ — aq^.
Dans le (Toisiëme cas on fera
xf ±yx' = qCD,
et l'équation (A) deviendra
A'B^OD» = (xx'dzayy; Y — aq'OD' ;
de sorte qu'on aura aussi
xx' ± ayy' = pCD;
et par conséquent, en divisant toute l'équation par C^D^
\^B' = p*—aq\
Qu'on prenne donc cinq des équations du n*^ 4, et qu'on les multiplie ensemble deux à deux pour avoir sept produits différents (on pourrait à la vérité en avoir dix, mais il suffit ici d'en considérer sept), on aura nécessairement par ce moyen ou une équation de cette forme :
laquelle résout le problème; ou au moins deux équations de cette forme :
k'^^p^— aq\ Pi' — p" — aq'^
(A étant l'un quelconque des facteurs de Rj, et le problème se résoudra comme dans le n" 7; ou enfin deux équations de la forme
\}W:^p*—aq\ .^'h'=,p"— aq''
(A et B étant deux quelconques des quatre facteurs de R;; et, dans ce dernier cas, on prouvera aisément que les quatre quantités p, q, p el q' seront premières a A et B.
Or, les équations
A^^B^ = p^ — aq' el A'B^ n^ p'' — aq"
donnent ces deux-ci :
(G) \*b* — {pp'±:aqq'y- a(pq'±qp')\
(H) ^'B^q'^-,q^) = {pq'-hqp')(pq'- qp').
Et il faudra, en vertu de l'équation (H), que Tune ou l'autre des quantités/^^r'-j-^r^^^'—çr^' soit divisible par A^B^, ou que l'une le soit seulement par A ou par B, et l'autre par AB^ ou par A^B, ou que l'une el l'autre le soient par AB; ou enfin que Tune le soit seulement par A^, el l'autre par B^; ce qui donne, comme l'on voit, quatre cas différents. Dans* le premier cas on fera
pq'±:qp' — s\'B\
et l'équation (H) deviendra
\* B* - ( pp' dz aqq' )' — as' A* B* ;
donc on aura aussi
pp'±aqq' = r\^B\
et, divisant toute Téquation par A*B*, on aura
I = r* — as^,
A l'égard du second cas, il est clair que si les deux quantités/^çr'-f-^^', pg' — qp' étaient divisibles en même temps par A ou par B, il faudrait que leur somme 2pq' le fut aussi, ce qui ne peut être (à cause que pet q' sont premiers à A et B), à moins que Ton n'ait A = 2 ou B = 2; mais alors q et q' seraient nécessairement impairs, ce qui donnerait q"^—q^^=^Tn\ de sorte que Téquation (H) deviendrait (en supposant B = 2)
3?.mA» = {pql -f- qp ) (pq' -- qp' K
donc, puisque Tune des deux quantités pq' -h qp\pq' — qp est supposée divisible seulement par B, il faudra que l'autre le soit par 16 A^, et par conséquent aussi par A^B^, ce qui se réduit au premier cas.
Le troisième cas ne peut point avoir lieu du tout, à cause que la somme des quantités pq' -h qp\ pq' — qp' n'étant point divisible par AB, il est impossible que chacune de ces quantités le soit.
Reste le quatrième cas, dans lequel on ^nv^ pq' ±.qp =s^^, s n'étant
point divisible par A; on aura donc, dans ce cas, au lieu de l'équation (Gj,
celle-ci :
A^ B* = (pp'àz aqq' )' — as^W;
par conséquent, on aura aussi
pp'zhaqq' ^= rB';
et, divisant toute Téquation par B\"on aura
\« = r= — as\
et comme se{ a ne sont point divisibles par A, r ne le sera pas non plus, de sorte que r et 5 seront premiers à A.
Ayant Têqualion A* = H— 05^, il faudra encore en avoir une autre
semblable pour pouvoir résoudre le problème. Pour la trouver, on continuera k multiplier ensemble deux k deux les autres équations du n^ 4, et il est facile de voir, par ce* que nous venons de montrer, que si ces combinaisons ne donnent pas quelques-uns des cas qui ont déjà été résolus, elles donneront nécessairement à la (in deux équations de cette
forme :
A^ = r* — as', A* = r" — as'\
A étant l'un des quatre facteurs de R et r, 5, r' et s' étant premiers à A. En effet, puisque le nombre des équations du n** 4 est infini, et que le nombre des cas qui peuvent arriver est limité, il est évident que le même cas devra arriver une infinité de fois; de sorte que, si Ton ne trouve pas quelques-uns des cas que nous avons déjà résolus, on trouvera nécessairement deux, et même une infinité de cas tels que
.V = r^— éw» et k* = r'' — asf';
mais il suffira d'en avoir deux pour que le problème soit résoluble. On aura donc, par le moyen des deux équations dont il s'agit,
(1) \' = {rr' ±:ass' Y -- a(rs! ±sr' )\
(K) A*(s" -- s') = (rs' -¥- sr' )(rs' - sr' ).
Donc il faudra, en vertu de l'équation (K), que l'une ou l'autre des quantités rs' -hsr\ rs' — sr' soit divisible par A*, ou que toutes les deux soient divisibles à la fois par A; mais, dans ce dernier cas, il faudra aussi que leur somme 2rs' soit divisible par A, ce qui oe peut être à moins que A ne soit égal à 2. Or, supposant A = 2, on aura s^ — s^ = 8/w, ce qui réduira l'équation (K) à
2'm = (/-y -f- sr' )(rs' — sr' );
d'où l'on voit que si l'une des quantités rs'-hsr\ n' — sr' est divisible seulement par A, l'autre le sera nécessairement par A*, el par conséquent aussi par A*.
Le cas où rs' -h sr' et rs' — sr seraient toutes deux divisibles par A^ ne saurai! avoir lieu, à cause que leur somme 2rs' ne peut jamais être divi-
sible par A^; de sorte qu'il ne restera que le cas où Tune ou l'autre de ces quafitvlés sera divisible par A^ ; ainsi on aura toujours ^
rs'zhêr' = u\*,
ce qui réduira Téquation (Ij à celle-ci :
A* =z { rr' z±i eus' y — au^ \* ,
par laquelle on voit que rr'±ass' sera aussi divisible par A*. Faisant donc
rr'±as^ = tk\
et divisant toute l'équation par A*, on aura
I = /- — au^.
On voit par là comment il faudrait s'y prendre si le nombre R était composé de cinq nombres premiers, ou d'autant de nombres premiers qu'on voudrait; et on voit en même temps que, pourvu que a et R soient premiers entre eux, on parviendra toujours à une équation de cette forme :
1 1= X' — ay^,
qui contient la solution du problème proposé; la difficulté ne consistera que dans la longueur du calcul, mais on pourra souvent l'abréger par les considérations suivantes.
10. Si le nombre R était une puissance quelconque d'un nombre premier, il ne serait pas nécessaire de le regarder comme le produit d'autant de nombres premiers qu'il y a d'unités dans l'exposant de la puissance donnée.
Car, soit R = A", A étant premier et différent de 2, je dis qu'il faudra, en vertu de l'équation (Bj, que l'une ou l'autre des quantités xy' -{-yx\ xy' —yx' soit divisible par A"; en effet, si l'une de ces quantités était divisible seulement par une puissance de A moindre que A", il faudrait que l'autre fût divisible par le complément de cette puissance; de sorte que les deux quantités dont il s'agit seraient divisibles en même temps
par A; par condéquent leur somme 2xy' le serait aussi; donc, à r^use de A premier et différent de 2, il faudrait que x ou y' fût divisible par A; mais, si x était divisible par A, il faudrait, en vertu de Téquation A" = x^-' ay^, que y le fût aussi, a étant, par hypothèse, premier à A ; ainsi ^ et j ne seraient pas premiers entre eux, ce qui répugne à la nature de ces quantités (n" Ij.
On prouvera de même, par l'équation \" = x^ —ay"^, que j ne saurait être divisible par A. Donc il faudra nécessairement que l*on ait
xy^ di /".r' = q A",
ce qui réduira l'équation (A) à
A*" = ( xx' ± ayj' Y — axf A*",
par laquelle on voit que xx* :ïLayy' sera aussi divisible par A"; ainsi, faisant xx' ±.ayy' ^^pk", et divisant l'équation par A^", on aura sur-lechamp
Si A était égal à 2, alors, puisque y et /' ne sont pas divisibles par A, ils seront nécessairement impairs; de sorte qu'on aurait j'* — 7* = 8m, et Téquation (B) deviendrait
2*+-* m = ( xy' -h yx* ) ( xy^ — rx' ) ;
or, les quantités ooy'-hyx\ ary' — yx'ne peuvent être divisibles en même
temps par 4» parce qu'il faudrait que leur somme 2xy' le fût aussi, et
que, par conséquent, x ou y' fût divisible par 2, ce qui ne se peut. Donc
il faudra nécessairement que l'une de ces quantités soit divisible par
2"-*-*, et par conséquent aussi par A"; donc, etc.
On pourra abréger et simplifier de la même manière l'analyse des cas
où
A, B, C... étant des nombres premiers.
