Si l'on avait ces trois équations
K=zx' — €ty\ K' = x"—ay" et R" = x"» ~ ar '%
et que* R et R' fussent des nombres premiers quelconques, et R" = RR', on pourrait aussi par leur moyen résoudre le problème.
(lar les équations x^ — ay^ = R et a?"^ — ay"^ = RR' donneront ces deux-ci :
( L) R^ R' r= ( XX" ± ayy" )' - a ( xy" ±r^ )',
(M) H(j"^— H'j') = (xj"-f-7x")(x/" — jx'^);
donc, à cause que R est premier, il faudra, en vertu de Féqualion fiM), que Tune ou Taulre des quantités arK"-f-ja?", irv" — ja?" soit divisible par R: donc, faisant
l'équalion fL) deviendra
K^ K' = ( XX" dz ayy^" f — aq' R%
d'où Ton voit que j:*.r" :!: o^X" sera aussi nécessairement divisible par R, de sorte qu'en faisant xx" ±l ayy" =^ pR, on aura, en divisant par R*,
W zzzp^- aq\ cl il ne s'ajifira plus que de combiner cette équation avec Téquation
W=zx" — ar'\
suivant la méthode du n^ 6.
, On pourrait traiter de la même manière les cas où Ton aurait
r - ay' = II. r = - ay'' = R', x''^ - ay"' = H" el x^' - ay'*'-' = RR' R' ,
R, R'. R" étant des nombres premiers, el ainsi des autres.
12. Il est bon de remarquer encore que si les nombres R, dans les differ«Mites équations du n" 4, étaient de signes différents, pourvu qu'ils fussiMit d'ailleurs égaux entre eux, les méthodes des numéros précédents réussiraient de même; il n'y aurait d'autre différence dans les résultats sinon qu'au lieu d'arriver toujours a une équation de cette forme : 1 —a--ay^, on arriverait quelquefois k une équation de cette autre l'orm«» : —\ = x^— av^ : mais alors il n'y aurait qu'à élever celte dernière
équation au carré, et l'on aurait (n^ 5)
13. Au reste, si Ton avait R=±i2ouR=:±:4» une seule équation suffirait pour résoudre le problème.
Soit: i*'
on aura, en prenant les carrés,
4r=(jr'-haj»)'— ^nx^x^;
mais ax^ = a?^ zp 2; donc 4 = 4 (^*h^ 0^~"4<w?*r^, et, divisant par 4»
2« Soit
±^=iX^— ay"^, on aura, en carrant,
i6 = ( j:* -f- ay"^ )* — 4 «^^^' ;
mais a/^ = ic^ip4; donc, en substituant cette valeur et divisant toute l'équation par 4. on aura
Cette équation étant multipliée par l'équation ±t\^=x^ — ay^, on aura fn** 5), en prenant le signe -f-,
±i6=r [(jr^zjZ!?.)^ -\-axy'^'^-~ a\^x^z^i)y -+- ^\r]', c'est-à-dire
mais ay'^^^x^ zp [\\ donc, en substituant et divisant par 4* <>n aura
Or, puisque a est premier à R, et que R est ici un nombre pair, a sera nécessairement impair; donc l'équation ^ = x^ — ay^ ne pourra subsister à moins que a? et j ne soient tous deux pairs ou impairs: mais ils n<*
peuvent être tous deux pairs, parce qu'ils sont supposés premiers l'un à l'autre; donc ils seront nécessairement tous deux impairs; donc x sera impair, et par conséquent a?^ qi i et a?^ :+: 3 seront tous deux pairs; donc, faisant x^t^\ = 2q et ^^zp 3 = 2/>, et divisant l'équation précédente par 4» on aura celle-ci :
àzi=(xpY—a{xqY;
donc, lorsque R = 4» on aura
x = {xpf—a{xqY, et, lorsque R = — 4. on aura
d'où, en prenant.les carrés, il viendra
^^- I ^(x^p^ -^ ^X^g^y— a(ixypqY'
14. Nous avons supposé jusqu'ici que les nombres a et R étaient premiers l'un à l'autre; voyons maintenant comment il faudra s'y prendre lorsque ces nombres auront un diviseur commun.
Soit 5 le plus grand diviseur commun de a et de R, en sorte que a = 56 et R = 5T, é et T étant premiers entre eux, et l'équation
R = :c^ — ay^
deviendra
BTz=ix^—Bbx'
(ce que nous disons de cette équation doit s'appliquer en général à toutes les équations du n''4); d'où l'on voit qu'il faut nécessairement que le carré x'^ soit divisible par 0.
Supposons: i*' que 6 ne soit ni carré, ni multiple d'un carré, il est évident que la racine x devra être elle-même divisible par 6; de sorte qu'en faisant x = Ou, et divisant toute l'équation par 6, on aura
Qu'on élève cette équation au carré, et Ton aura
T» = Q^u* — ibQu^x^ -^ *'r* = {0u^-¥- br^Y — 06 (2mj)% savoir
équation dans laquelle a et T^ seront premiers entre eux.
Or, dans l'équation R = ^^ — aj^, R est nécessairement premier à^; autrement a;^ serait divisible par la plus grande commune mesure de ces deux quantités, et par conséquente; et 7 ne seraient plus premiers entre eux, contre l'hypothèse; donc T et 5 seront aussi premiers à j; donc, dans l'équation T — ôu^ — by^, T et m seront aussi premiers entre eux; autrement il faudrait que by^ fût divisible par leur plus grande commune mesure, ce qui ne se peut à cause que b et j sont tous les deux premiers a T; donc, puisque T est premier à w et à j,- il est clair que T* sera nécessairement premier à uy\ donc, dans l'équation
T* = ( 0 M» -I- 6j» )2 — a ( 2 uy )\
6u^-hby^ et uy seront premiers entre eux; car, s'ils ne l'étaient pas, il faudrait que T fût divisible par leur commune mesure; ainsi T et uy ne seraient plus premiers l'un à l'autre.
Donc, si T est un nombre impair, on prendra, au lieu de l'équation K=x^-^ay^, celle-ci :
T^ = (0 u^ -h by'Y — a{'iuy)\
dans laquelle T* et a seront premiers entre eux, aussi bien que Ou^ •+- by^ ei2uy.
Et, si T est un nombre pair, alors ôu^-hby^ sera aussi pair, et l'on aura l'équation
/ T\ ' • 6u^ -\- by^ dans laquelle ( — ) et a seront premiers entre eux, comme aussi =^
eluy.
2^ Supposons maintenant que 0 ait un facteur carré w^, en sorte que
ô =tar*y, 7 n'étant ni carré ni multiple d'un carré; en ce cas Téqualion R = ir* — a/* deviendra
d'où Ton voit que le carré x^ sera nécessairement divisible par w^y, el que par conséquent sa racine x le sera par ryy; ainsi, faisant x = tsyu^ on aura, après avoir divisé par w^y,
Donc, si y= I, c'est-à-dire si 6 est carré, on aura l'équation '
dans laquelle T et 6 seront premiers entre eux, aussi bien que u et y\ de sorte qu'à l'aide de cette équation et des autres semblables, on parviendra, par les méthodes de§ n^* 6 et suivants, à une équation de cette
forme :
a i=:p^^bq^ ou bien i=/>' -g^
Si y n'est pas égal à 1 , on élèvera l'équation T = ya- — by^ au carré,
el l'on aura
P — (y M»V by^Y — yb( 9.uy)\
et l'on prouvera, comme ci-dessus, que y h sera premier à P, et que yw^ 4- hy^ et uy seront premiers entre eux.
De sorte que, si T est impair, on aura, au lieu de l'équation R = ^^— av*, celle-ci:
T'=:(yu^^by^y—yb('?.uy)\
oii T* et yb seront premiers entre eux aussi bien que yu^-h by'^ el luy. Et, si T est pair, on aura l'équation
— I et yè seront premiers entre eux aussi bien que — et uy.
Donc, par le moyen de ces équations et des autres semblables, on parviendra aussi à une équation de cette forme: i =^ p^ — ybq^, c'est-à-dire.
D UN PHOBLÈME D'ARITHMÉTIQUE. 693
à cause de a = ybzs'^, de cette forme-ci :
Or, connaissant deux valeurs quelconques de p eiq qui satisfassent à l'équation i =/?^—/y^,/ étant quelconque, il est toujours possible de trouver par leur moyen deux autres valeurs dep et g qui satisfassent à la même équation, et qui soient telles que la valeur de g soit multiple d'un nombre quelconque donné, comme nous le verrons plus bas (n^ 21 ji donc on pourra toujours déterminer p et g, de manière que g soit divisible par w; de sorte qu'on aura
'■-{iï'
comme le problème le demande.
15. Nous avons donc démontré, avec toute la rigueur et la généralité possibles, qu'un nombre quelconque entier et non carré a étant donné, il est toujours possible de trouver deux nombres x et y tels, que I = a?^ — a/*-, et nous avons en même temps donné les moyens de trouver ces mêmes nombres. .
Or, comme le carré, le cube, et en général toute puissance d'une quantité de cette forme x^ — ay- est toujours aussi de la même forme fn"* 5), il s^ensuit qu'en éhRvant l'équation i^x^ — ay^ à une puissance quelconque, on aura une infinité d'autres équations semblables, de sorte qu'ayant trouvé par les méthodes précédentes, ou par quelque autre méthode que ce soit, une seule solution du problème, on pourra par son moyen en trouver d'autres a l'infini. ^
Pour renfermer toutes ces solutions dans une formule générale, supposons que p elg soient les valeurs trouvées de x et de v, en sorte que l'on ait I z=p^^ag^; en élevant les deux membres de cette équation à. une puissance quelconque m, on aura
équation qu'il s'agit de réduire à la forme de celle-ci :
i =z a:^ — ayK
Pour cela je remarque que
p' —ag' = {p-^qs/â)(p — q s/a),
de sorte que l'on aura
iP' — aq')r=(p-^q sjaf[p — q va]"
Or
/ r , ,- mim — i )
\p -¥- q s/a)'"=^p^ -h nijf-^q ^ja n ^^ fT-^q^a
-^ ^ p^'q^a yja
donc, si l'on fait
m(m — i) . , mim — i)(m — i)(m — Z) , , , X — p^ '\ fr-^q^a-{ ^ ^^ ^ A -p^-*q'a'^. .
/n(/w — i)(/n—- 2) , . m(in— i)...(/n — 4) . . , r - mp^^q + -^ ^ 1 jr-^q^a -;- ^ j^^;^ ^ r 'V'^'
•oïï aura
[p^qsfâr^x -{-x^a;
et, prenant le radical v^a en — , on aura de même
ip — q sJaY — x — xyja', donc
(p^— aq^)r = {x — xylo.) {x —y^a) =x^— ay^;
de sorte que l'on aura en général
x^ — ay^ = 1 ,
en prenant pour m un nombre quelconque entier et positif. Au reste, les équations
[p -^ qyfâr = x -^ y^ia et {p — q y/a}'" = x — y ^a
D'UN PROBLÈME D'AHITHMÉTIQUE. 695
donneront
^^ ip-^g\/^T-(p-g\/'^r^
expressions qui reviennent au même que les précédentes, mais qui ont l'avantage d'être sous une forme finie; ainsi, prenant successivement pour /7i tous les nombres naturels, on aura une infinité de solutions du problème proposé.
16. Les dernières expressions de x et de y font voir que ces quantités forment deux suites récurrentes, dont l'échelle de relation est ip, — [p^ — aq^], ou bien fà cause de/i^, — 0^^ = i) 2/?, — i; de sorte qu'en dénotant para?', x'\ x\.,. et 7', y", 7'",... les valeurs de a? et de 7 qui répondent a m = i, 2, 3,..., on aura les séries suivantes:
et en général, lorsque l'exposant est m,
m (m — 3 ) , , m (m — â)lni — 5 ) X = tt-'p^ — mi'^'-^p^-^ H ^ TT-'^pr-' ^ ^ ' ^r-'p"'- •
m(m-5)(m-6)(m-7} et de même
f ^gy
et en général, lorsque l'exposant est /w,
. ^m-ij^x __(„,__ 2 ) ^m-^j^ ^ Ç ^ n^ — 4 ^ 2" *//"-*
On peut mettre encore les expressions générales de x et de j sous une autre forme beaucoup plus simple; mais il faut pour cela distinguer les cas où m est pair ou impair.
Soit : i^ m impair, on aura
x'' ^= 5p — lop^ -h i6/;\
et en général
