P 7-^—P'-^ .-.AK -P
le signe supérieur étant pour le cas de m multiple de 4 plus i , et l'inférieur pour celui de m multiple de 4 p'us 3. Ensuite
r' = g(i — i^p^-hiSp*),
et en général
r-^il —P'^ ..3.4 f ..3.456 -P'^-y
où Ton pbservera, à l'égard des signes ambigus, la même règle que ridessus.
Soit : 2® m pair, et Ton aura
x''= I ~Sp^-hSp\
et en général
Ensuite
et en général
r /ii(m»— 4j , m(m»— 4)(m»— 16) , 1
A l'égard de Tambiguïté des signes, on prendra le signe supérieur lorsque m est un multiple de 4> et l'inférieur lorsque m est un multiple de 4 plus 2.
De plus, puisque /i* — aq^ = i , on pourra substituer dans les formules précédentes i -h aq^ au lieu de p^, et l'on aura celles-ci :
I ° Pour le cas de m impair,
x^'^^pix-^^af),
x'' = p(i -\- izaq^ -h i6a^q*).
et en général
Ensuite
et en général
r^mv-^ ,.3 ^g"^ ..3.4.5 ^^
m(in>-i)(m»-9)(m»-25) ,
2** Pour le cas de m pair.
j?'^ = I -h 8a^» -h 8«* jS
et en général
m^ • m'(m--4) , . m' (m* — 4) (''**— ^6) . - ^ = ,+ .ag»+ ;.3.4 "'?^+ ..3 4 5.6 ^«^ .-^
Ensuite
7»^=/i(4ç-4-8aî«), jr'''=p{6q -i-32a^»-i-32a»g*),^
et en général
Ces dernières expressions de a? et de j^ ont Tavantage de n'être composées que de termes tous positifs, ce qui les rend beaucoup plus simples et plus commodes pour le calcul.
17. Nous allons démontrer maintenant que si p et q sont les plus petites valeurs de ;r et j qui satisfassent a l'équation
toutes les autres valeurs possibles de a? et de y seront nécessairement renfermées dans les formules générales des deux numéros précédents. Pour cela nous remarquerons d'abord que si Ton a
et que/i' >p, on aura aussi q' >q\ car retranchant la première équation de la seconde, on a
pfi^pi^ a{q'^— q^) = o, ou bien p'^ ^ p^ ^^ a[q*^ — q^);
donc si p'^ —p^ est positif, il faudra que q'^ — q^ le soit aussi; donc .... Supposons maintenant que /^ et y soient les plus petites valeurs de x et y dans l'équation
et que/i' et q' soient les valeurs de a; et de j^ qui sont immédiatement plus grandes que celles-là, en sorte qu'il n'y ait point de nombres plus petits que p et q\ qu'on puisse prendre pour x et 7, autres que p et q. Cela posé :
Qu'on multiplie ensemble les deux équations
//^ — aq^ = I et //'* — aq'^ = 1 ,
et l'on aura (n®5), en prenant seulement le signe inférieur, (pp' -aqq'y-a(pq' -qp'Y=:i;
d'où l'on voit (\\xe pp' — aqq' sera aussi une des valeurs de x, et pq —qp une des valeurs de y qui satisfont à la même équation
Or je dis que pp' — aqq' est > o et <p . Car i** soit pp — aqq' = z, on
aura
qq' qq"
mais les équations •
/?' — aç^ = I et p'^ — aq*^ = i
donnent
donc
et tirant la racine carrée,
d'où l'on voit que
de sorte que ^ ^-— a sera toujours une quantité positive; par conséquent z sera aussi un nombre positif.
2® Soit pp' — aqq' = /?' -h m, on aura
q q' . qq"
or
donc
raison
mais q'><i, donc \/« -♦- 4; < \/<* "•" ""^ ^^ à plus forte rai <y/«-t-^ + J; donc
donc ^-^^^ —a sera nécessairement une quantité négative; par con-
séquent u sera aussi négative; donc
pp'-aqq'<p\
Donc il faudra par Thypothese que Ton ait pp' — aqq' =p, e! ronmie
(pp' — aqq'f — a(pq' — qp'Y^i ol p^—aq^—i,
il faudra aussi que Ton ait
ipq' — qp' Y = q\ d'où pq' — qp' =:±q.
Mais
- = \/« + A et ^ = \ a 4- 4; \ q y/ q' ?' V g'
donc, à cause de q'>q, on aura^ >^î donc pq — qp sera positif; dr sorte qu'il faudra supposer
Nous aurons donc ces deux équations :
pp'-aqq' = p et pq'-qp' = q.
d'où Ton tire
, p^-haq^ ^ , ipq
P = —^ -. et q' = , ^^ ,?
'^ p^—aq' ^ p^— aq'
c'est-à-dire, à cause de/?* — aq^ = i ,
p'=p'-^aq\ q' = ipq.
ou bien, ce qui revient au même.
pf^ {p'^q\l(^T'^{p-q\l(^)\
^ [p-^qsfâf-ip-qyjay^ 2 va
d'où Ton voit que les valeurs de p et q' sont contenues dans les formules générales du n^ 15, en y faisant m = 2. Soient ensuite/?" et y" les valeurs de x et de 7 qui sont immédiatement
plus grandes que p' etq'; en sorte qu'entre toutes les valeurs possibles de a? et de 7 dans l'équation a?' — ay' = i, il n'y ait que p et p' qui soient moindres que/i", et y et y' qui soient moindres que q".
Multipliant l'équation p''^ — • oy"* = i par p^ — oy* == i , et prenant dans cette multiplication le signe — (n® 5), on aura
{pp"-aqq"Y-aipq''-qp''y = i,
de sorte que pp" —aqq" sera aussi une des valeurs de a?, et pq[' —qp" une des valeurs de y\ et Ton prouvera ici par une méthode semblable à la précédente qw^ pp" — aqqf > o et <p\ ti ptj^' —qp'>o et <y": d'où il s'ensuit que l'on aura nécessairement
PP*' — (^q'^=p ou =^p' ei pq"^qp"^=^q ou =î'. Or les équations
pp' - aqq'' = P et pq'-qp'^q
donnent, à cause de p'^ — aq^ = i ,
p" =/?' -f- aq^ = /?' et q" = a/;^ = j',
ce qui est contre l'hypothèse; et les équations
pp"-aqq"=p\ pq'-qp'^^q' donnent
p''=pp'^aqq\ q" = pq' -^ qp\
c'est-à-dire, en mettant pour/i' et q' leurs valeurs,
^ {p^qylaT-^ip-qsJaf^ {p^q^ây^ip-q^ây
Ainsi les valeurs de /?" et q" sont encore renfermées dans les formules du numéro cité, en y faisant m = 3.
On prouvera par des raisonnements semblables que les valeurs de 'o: et de y qui sont immédiatement plus grandes que p^' et q'\ et que nous
désignerons par p" et (f^ seront exprimées ainsi :
m^^p-^q W -^ip — q \fâ)\
^ ip-hqs/^Y-ip'-qy/ây
et ainsi des autres à Tinfini ; d'où l'on conclura en général que les valeurs de X et j, dont le quantième sera m à commencer des premières valeurs p et q, seront exprimées de la manière suivante :
^ip-hqs/^T'^ip-q^/^T
comme dans le n® 15.
Ainsi ayant trouvé les premières valeurs p et q^ on sera assuré d'avoir par ces formules toutes les valeurs possibles de a? et de j propres à satisfaire à l'équation x^ — ay^ = i .
18. Je dis maintenant que tous les nombres x et y qui satisfont à l'équation
x^ — ay^ = I
se trouvent nécessairement parmi les nombres M, M', M",..., et N, N'
M M' M^"^ N",..., qui forment les fractions ^^ ^» n^'*"' convergentes vers la
racine de a, mais toujours plus grandes que cette racine (n^ 1 ) ; c'est-k* dire que chacun des nombres x est nécessairement égal à quelqu'un des termes de la série M, M', M",..., et que le nombre correspondant y est égal au terme correspondant de la série N, N', N",..., en sorte que la
fraction - sera toujours une de celles dont nous venons de parler.
Pour pouvoir démontrer cette proposition, je commencerai par prouver que si y est égal à un terme quelconque de la série N, N', N"
X sera nécessairement égal au terme correspondant de la série M, M',
M",.... Car soit 7 = N (on fera le même raisonnement pour tous lés autres termes de la série N, N', N",..., et de sa correspondante M, M', M",...j, en sorte que l'on ait x^ — aN^ = i ; si M n'est pas =0?, il sera nécessairement > a?, à cause que la quantité M^ — aN^ est toujours > o (n^ 2) ; ainsi l'on aura
Mx M m X m
savoir, à cause de M/i — Nm = i (n^ 1),
I ^ j?/i — Nm ,. -. ^
ir^^> — ï7 9 ou bien x/i — Nm<Ci;
Nn N/i
mais, par l'équation x^ — aW = i , on a ^ = i/a -f- ^? et par consé-
quent ^ > ya; et par le n^ 1 on a — < v/a; donc ît > — » donc ïs- > — '
donc
J7W — N/ii>>o,
ce qui est contradictoire.
Supposons maintenant que y ne soit égal a aucun des termes de la série o, N, N', N",...; comme cette série commence par zéro et s'étend à l'infini (n*' 1), il est clair que le nombre y se* trouvera nécessairement entre deux quelconques des termes voisins de la même série; supposons donc que ce soit entre N et N' (le raisonnement sera le même pour tous les autres termes), en sorte que l'on ait j > N et j< N'; je
considère les trois fractions consécutives j^i —j^ x^r» dont les numéra-
teurs M, m'. M' vont en augmentant aussi bien que les dénominateurs N, n , N', et qui sont de plus convergentes vers la valeur de \/â, mais de façon que la première et la troisième sont plus grandes que cette valeur, et la seconde en est plus petite (n^ 1) , et je vais démontrer d'abord que y doit nécessairement être >/i'. Car, puisqu'on a a?* — ay^ = i, on aura
— — a = A:; mais M^ — àW = R, R étant > o par le n*" 2; donc aussi
^ — a = j^^ donc, comme j > N, et que R = ou > i , on aura nécessai-
I R rement — < i^» et par conséquent
donc — approchera plus* de a que ^? l'une et l'autre de ces deux quantités étant d'ailleucs plus grandes que a, a cause de x^ — ay^ > o et M* — aW > o; donc aussi — approchera plus de yja que j^; mais yfâ
se trouve entre ,57 et — (n®2); donc — se trouvera aussi entre ît et ^; donc on aura
donc on aura :
I" Mj — Na:>o;
2» -^ <tc^» savoir Mr--Na:<4:
donc, puisque My—Nx est d'ailleurs un nombre entier, il faudra nécessairement que l'on ait
^ > I , et par conséquent j > n' .
Soit donc y>n' et < N'; puisque l'on a, par l'équation x^ — ay^ = i ,
et par le n® f
on aura nécessairement
de plus, on a par le même numéro
j^ > V^a, et par con L 89
j^ > V^a, et par conséquent ^ r > ^5
or
X m' xri — riri ^, M' r ri ~ rri ^^ N'
ri ~ N'n'
donc, à cause de j'< N', on aura
or je dis que xn! — ym! doit nécessairement être égal à i ; en effet,
puisque — — — > o, on aura d'abord
xn' — y m' > o ;
donc
xn* — jrtn! = i , ou r=: 2, ou > 2 ;
mais si xn' ^ym' = ou > 2, on aura pour lors
et comme \'a se trouve entre^ et — n** ly, elle se trouvera aussi nécessairement entre — et —y mais beaucoup plus près de — que de ^»
parce que n^ ^ n^ ^'^ ^^"^ ^ ^^ trouvera aussi entre — et -779
mais plus près de -77 que de ~; donc on aura
savoir, à cause de x^ — ay^ = i ,
I ^ an" - m" . . ,, ,, ^ /i"
p> ^, » ou bM^n an'-m''<~',
n'^ mais j > n\ donc — < i ; et à plus tbrte raison a/i'^ — m'^ < i ; ce qui
ne peut être, à cause que m^—ari^ est toujours néce^airement un
D'UN PROBLÈME DABITHMÉTIQUE. 707
nombre entier négatif (n" 2), &l par conséquent an'^-^m'^ un nombre entier positif. Donc il faudra nécessairement que Ton ait
On aura donc xn'—yni!= i , et comme on a aussi (n® 1) M'n'— N'/w = i ,
on aura
savoir
ya^x ni!
donc, prenant un nombre quelconque entier z, on aura
M' - X = m'2, N' ~ j = n'z, el de là
x:=^\\'^m'z et 7=:N' — n'z;
donc, substituant ces valeurs dans l'équation x^ — aj' = i , on aura
orM'^ — aN'* est un nombre positif, m'^ — an'^ est un nombre négatif fn" 2;, et je dis que M'm'^aN'/i' est un nombre négatif; en effet, comme
rr- > Vrt et -7 < >Ja, on aura
— ^V^ûH-r et —z=:yla-y,
ely sera > T, à cause que ^ doit approcher plus de \a que —7 (n** Ij; donc
Donc, si Ton fait
M'^ -^ aN" ==: A, M' m' ^ aN' n' = — B, m'» on'» = — C,
A, B, C exprimeront des nombres positifs, et Ton aura
Soit, en général, A -+- 282 — Cz^ = u, en sorte que
en regardant z comme une quantité variable qui commence par zéro, et qui augmente à Tinfini, on aura d'abord, lorsque 2 = 0, m = A; ensuite u augmentera jusqu'à ce que B = G2; après quoi u diminuera continuellement jusqu'à devenir infini négatif. Donc, si l'on donne à z une valeur quelconque Z, telle que la valeur correspondante de u soit positive et égale à U, il est clair que toutes les autres valeurs de z, comprises entre o et Z, donneront pour u des valeurs positives et plus grandes que la plus petite des deux quantités A et U, qui répondent sl z = q eik z = Z. Or nous avons trouvé
x = M' — m' z el x=z^' — n' z;
donc : i^ comme j < N', on aura z>o; 2*^ on a, par le n** 1,
M' = qrm'-hM el N' = 9-^/1' -h N, donc
x = {q'^ -— z)m' -hM el jn=(ç*'— z)-i-N;
donc, puisque j > N, il faudra que z <q'"; ainsi les limites de z seront o et q'\ c'est-à-dire que z sera comprise entre o et q'"; mais, en faisant 2 = o, on a
et, en faisant z' = q\ on a a? = M, j = N, et par conséquent
M "- x^ — ay'^ z=: M» — aN*;
donc, en donnant à z des valeurs intermédiaires, les valeurs correspondantes de w, savoir de x^ — ay^^ seront toutes plus grandes que la plus petite de ces deux quantités M^— aN^ et M'* — aN'^; mais l'une et l'autre
je dis (jue, $i m est un nombre premier, x —p ei y — qa ^ seront toujours divisibles par m.
En efl'et, si l'on développe ces expressions, on aura, à cause que m est impair,
m{m — i) w(m— i)(/w — 2)(/ri — 3) ^..
ni(m — i)(m — 2). . .2. . .
)• = m//"-' ^ H î^ '-^ ff'-^q^a -h . . .
/Il ( m — I )( m — 2 ) ... 3 , , "~r— —r-
^ 1 lï» • * m(/w— I) /w(m — i) (m^— 2)
Or les coetncients m, — ^ — — -» -' —-^^ s--, jusqu a
m(w — i)(m — 2). . . 2 , . . * j- • -Il 1
— ^^ ~ sont nécessairement divisibles par m, lorsque m
est premier, parce que ce nombre multiplie, comme l'on voit, tous les numérateurs, et ne multiplie aucun des dénominateurs, de sorte qu'il est impossible qu'il s'en aille par la division de chaque numérateur par son dénominateur; division qui doit d'ailleurs se faire toujours exactement, à cause que les coetBcients dont il s'agit sont, comme on sait, des nombres entiers. Donc tous les termes de la valeur de x, à l'exception du premier yy", seront nécessairement divisibles par /w, et tous ceux
de la valeur de r, à l'exception du dernier q^a "^ , le seront aussi: donc
X — p'," et V — q"^a * seront divisibles par m.
Maintenant on sait que, lorsque m est premier, p'^'—p est toujours divisible par/w, quel que soit />, pourvu que ce soit un nombre entier; donc* a?--/>sera aussi divisible par m; de même, q"^ — q étant divisible
par w, q'^a ^ — qa ^ le sera aussi: donc r — ya '^ sera divisible par m.
D'UN PROBLÈME D'ARITHMÉTIQUE. 7li
Donc : i" si a est divisible par /w, x^p et / le seront aussi; ^ ^ a n'est point divisible par m, comme a'^ — a est nécessairement divisible par m, il faudra que a'"~* — i le soit aussi; donc, k cause que m est premier, il faudra que l'un ou l'autre des facteurs de a'""* — i , savoir
a ^ -h 1 et a ^ — i , soit divisible par m.
Soit d'abord a ^ -+- 1 divisible par m, et ya ^ -hq le sera aussi; donc à? — /? et j -f- 9 seront divisibles par m,
Soit ensuite a ^ — i divisible par m, qa ^ — ^ le sera aussi; donc X ^p ei y--q seront divisibles par m.
Or, en multipliant ensemble les deux équations
ï =p^— aq^ et \ = x^ — ay•^ on a celle-ci :
dans laquelle
x' =px:±iaqx ^^ y =^przhqx;
ou bien, en substituant pour ;r ety leur» valeurs,
(p '±q)/â}{p -h q slaf^{pzf:q^a){p - g s/âf
vv = (f ±gVg) ip-^q v^r -jpi^q v^g) jp-q m^T ^
savoir, à cause de p^ — ay* = i ,
.ip-^qs/â}'^''^ip-q^ar **- — î
Donc, en premier lieu, si a "" -h i est divisible par m, en sorte que x^peXy-^q le soient aowi, et qu'on prenne, Ains les expressions de
x' et de y\ le signe supérieur, on aura
x' =px -h aqXf x' = PX "•" ?^»
ou bien
a:'={x-^p)p-ha{x-^q)g-hp' — ag' el / = (x — p)g -h{x '^q)p;
donc, a cause dep^ — aq^ = i , a?' — i et j' seront aussi divisibles par m.
En second lieu, si a ^ — i est divisible par m, en sorte que x —j) et j— ^ le soient aussi, et qu'on prenne, dans les expressions de x' et dey', le signe inférieur, on aura
x'=zpx — aqx, f = PX — ?^»
ou bien
x' = {x — p)p — a(x-g)g-^P^ — aq' el f = (x — g)p — (^ ^ p)g'^
d'où il s'ensuit que a?' — i et y' seront encore divisibles par m.
Donc, en général, si r est le reste de la division de a ^ par m (reste qui ne peut être que o ou ih i), et qu'on fasse
^, ^ {p-hq sJ^T^'-ip - q ^)'^ ^ 2 y a
les nombres/?' et^' seront d'abord tels que /i'* — a^'*= i; et de plus q' sera toujours divisible par m, et p —p ou /?'— i le sera aussi, suivant que r sera ou ne «sera pas nul.
