Supposons à présent
^^[P^q'far^[p-q'sra)\
2 sja si l'on développe ces expressions suivant les dernières formules du n^ Ifi,
on verra que y* est toujours divisible par y', et que a? — />' ou a? — i l'est aussi, suivant que n est pair ou impair; or ^' est toujours divisible par /w (numéro précédent), donc y' sera toujours divisible par /w, et x —p ou j?— I le sera aussi, suivant que n sera impair ou pair, quel que soit d'ailleurs le nombre /i, pourvu qu'il soit plus grand que l'unité. Or, soit ni un nombre premier quelconque, et désignons par r le reste
delà division de a ^ par m' (reste qui sera nécessairement ou o, ou bien =ti), si l'on fait dans les formules précédentes n = m' — r\ on prouvera, comme dans le numéro précédent, que y sera toujours divisible par m\ et que x— p' onx— \ le sera aussi, suivant que r' sera ou ne sera pas nul; mais, lorsque r' est nul, n est impair, et lorsque r est dti, n est pair; donc y wsera toujours divisible par mm\ et x—p ou x — i le sera aussi, suivant que r' sera ou ne sera pas nul.
De plus, lorsque r' est nul, a est divisible par m'; et, si l'on développe l'expression de p du numéro^ précédent, suivant les dernières formules du n® 16, on verra que/? — /i ou/?'— i sera divisible par a, suivant que m — r sera impair ou pair, c'est-à-dire suivant que r sera ou ne sera pas nul; d'où, et du numéro précédent, il s'ensuit que si, r' étant nul, r l'est aussi, p —p sera divisible par /wm', et, si r n'est pas nul, p — i sera divisible par /?2m\
D'où je conclus : i° que y sera toujours divisible par /w/w'; 2** que, si les deux restes r et r' sont nuls à la fois, x — p sera divisible par /nm', et que s'ils ne sont pas tous les deux nuls, alors x— i sera divisible par mm .
Or
x±.yyja={p±.(ifaT'-'' el p ±(i s[a^[p±qsaT ' \
donc, faisant, pour abréger, f/w — rj f/w' — r j = M, on aura
xàzy^Ja
[p-^qsi''
âf-^(p-
ip + q)i'>
où l'on remarquera que M sera toujours pair lorsque r et r' ne seront pas nuls à la fois, et qu'au contraire M sera pair lorsque r = o et /^ = o.
On pourra poursuivre ces opérations et ces raisonnements aussi loin qu'on voudra.
21 . Donc, en général, étant donné un nombre quelconque N impair, dont les facteurs premiers soient m, m', m",..., si l'on nomme r, r, r",...
les restes des divisions de a ^ par m, de a ^ par m', de a ^ par w*', et ainsi de suite, et qu'on fasse
le» expressions suivantes :
satisferont d'abord à l'équation x^ — ay^ = i ; et de plus elles seront telles, que y sera toujours divisible par N, et que x—p ou a?— - 1 le sera aussi, suivant que M sera impair ou pair.
Les mêmes choses auront lieu aussi en faisant
n étant un nombre quelconque entier positif, comme il est facile de le voir par ce que nous avons enseigné dans les numéros précédents. Je dis de plus que, si l'on fait
M=:2*/i(/ii — r)(m' — r'){/n''— r")...,
5 étant un nombre entier positif quelconque, la quantité y sera divisible par 2*N, et la quantité a? — i le sera aussi.
Pour démontrer cette proposition, il suffit de faire voir que y eix— i seront toujours divisibles par 2'. Or, si Ton fait, pour abréger, M==2*R, on aura
Qu'on suppose : i*"
pf±:q' ylaz=i{p±qyJaY , on aura
x±x^a:=- {p' ±g' ^a)'; d'où
X ^=z p'^ -^ aq*^ et Xr^^P'ç'f mais on a aussi
p''--aq"=i;
doue
X — i = 2ap' g'.
Donc yeix— i seront divisibles par 2^'. Supposons : 2°
on aura
p'±q'y^â={p''±q"sf^)\ d'où
ainsi q' sera divisible par 2^"; de même, en faisant p*'±q'^fa={p±qfaf~''',
on trouvera que q" sera divisible par 2^"', et ainsi de suite.
Donc, si 5 = I , j et a: — I seront divisibles par 2 ; si ^ = 2, / et ;r — i seront divisibles par 2.2, si ^=3, ces quantités seront divisibles par 2.2.2,...; donc, en général, yeix—i seront toujours divisibles par 2',
Par le moyen de ces théorèmes on peut résoudre le cas du n*" 14; car quel que soit le nombre donné, il est clair qu'on pourra toujours le réduire à cette forme : 2'N, N étant impair; par conséquent, en connais-
santdeux nombres/? et 9 qui satisfassent à l'équation 1 =zp^^fq^^ on pourra toujours en trouver deux autres, et même une infinité tels que x et V qui y satisfassent aussi, et dont l'un y soit multiple d'un nombre quelconque donné; au reste, ces théorèmes nous seront encore fort utiles dans la suite.
Appliquons maintenant les méthodes précédentes à quelques exemples.
Exemples.
22. Exemple I. — Soit proposé de trouver deux nombres x et y tels, que x^ — ï3r^ = i.
Je commence par extraire la racine carrée de i3 en fractions décimales, et je trouve, en poussant l'approximation jusqu'à neuf caractères, ce qu'on fera aisément à l'aide des grandes Tables de logarithmes d'Ulacq ;
je trouve, dis-je, \/i3 == 3,6o5 5iq5o = — - — 2-- ^ j ' ^ i^ 10 000000
Je divise le numérateur de cette fraction pardon dénominateur, ensuite le dénominateur par le reste, et ainsi de suite, comme si je voulais trouver la plus grande commune mesure entre le numérateur et le dénominateur, et ces différentes divisions me donnent ces quotients : 3, i , i , 1 , 1,6, I, I, I, 1,6, ï, I,..., à l'aide desquels je forme, en commençant
par -» les fractions suivantes :
où l'on voit que le numérateur de chaque fraction est égal à la somme du numérateur de la fraction précédente multiplié par le nombre qui est au-dessus (ces nombres ne sont autre chose que les quotients dont il s'agit écrits de suite, et suivant l'ordre dans lequel on les a trouvés), et du numérateur de la fraction qui est avant celle-ci; et il en est de même des dénominateurs, ce qui s'accorde avec ce que l'on a dit dans le n*^ 1.
Je substitue maintenant les numérateurs de ces différentes fractions à la place de x^ et les dénominateurs correspondants à la place de j dans la formule x^ — aj* = R, j'ai
Je remarque ici deux valeurs de x et de v, savoir : a:; = 4, j = i et a:' = 256, y' = 71, lesquelles donnent également R = 3, qui est un nombre premier; ainsi je puis faire usage de la méthode du n^ 6.
J'aurai donc
rt = 1 3, R = 3, X — ^, ;r = I > x' ^=: 5t56, j' z= 7 1 ;
donc xy -hyx' = 54o qui est divisible par 3; de sorte que j'aurai d'abord
q = -^ = 180; ensuite a?^' -h ayy' = 1947» qui est aussi divisible par 3:
d'où je tire p = -^^ = 649; ainsi les nombres cherchés seront x = 6^c)
.et j= ï8o; en effet, le carré de 649 est 421 201, et celui de 180 est 32400, lequel étant multiplié par i3 donne 421200; de sorte qu'on aura
(649)2— l3(lBo)^:-- I.
On aurait pu trouver d'abord ces mêmes valeurs de x et de y à l'aide
de la supposition qui donne R = — 4» et qui est par conséquent dans le
. cas de la méthode du n** 11. En effet, puisque x=^ et r= i, on aura,
en prenant le signe inférieur,
a:p = iSt yq = 5 el (xpY-^ a(yqY^^ 649, zxypq = 180.
Au reste, en continuant la série des fractions -» -»•••» on trouvera
celle-ci : -S-, -4^>'-> d'où l'on aura- 109 100
d'où l'on voit que les nombres 649 et 180 sont les plus petits qui satisfassent à l'équation proposée x^ — \3y^ = i (n** 18); de sorte qu'en sub-^ stituant ces nombres à la place de peiq dans les formules du n^ 16 ou 17, on trouvera toutes les autres valeurs possibles de x et de y; ainsi désignant ces valeurs par x, x'\ x'\ . . . , et par y, y\ y'\ . . . , on aura
x' r= 842401, y^ zz: 253640,
et l'on pourra être assuré qu'il n'y a pas d'autres nombres plus petits que ceux-ci qui résolvent le problème (n*^ 17). ^
23. Exemple II. — Soit proposé de trouver deux nombres x et y qui satisfassent à V équation a?^ — 19/^ = i .
La racine carrée de 19 se trouve parles grandes Tables de logarithmes : 4,35889494» en sorte qu'on a v^ï9 = ^^ -9^21. d'où l'on tire, par l'opé-
ration indiquée dans TExemple précédent, les quotients 4> 2, i, 3, i, 2, 8, 2, I, 3, 1, 2,..., lesquels fournissent ces fractions :
I 4 9 i^ 4^ 6' ^7^ • 012 3 II 14 39
dont les numérateurs étant substitués pour x et les dénominateurs pour / dans Téquation x^ — 19 j^ = R, on aura
