II

d'où Ton voit que 170 et 39 sont les plus petits nombres qui satisfassent à l'équation proposée, et par le moyen de ceux-ci on pourra trouver tous les autres nombres possibles qui résolvent la question.

24. Exemple III. — On demande- deux nombres x et y qui satisfassent à cette équation a?^ — 109 j^ = i .

Je trouve d'abord \/Toq = \o^l\[\o^oG5 = —^ ; d'où je tire les

^ ^ ^^ lOGOOGOO ^

quotients suivants : 10, 2, 3, i, 2, 4» i» 6, 6, 2,..., a l'aide desquels je forme ces fractions :

I 10 21 73 94 261 ii38 1399 9532 01 2 7 g 23 Ï09 134 9'3

dont les nimiérateurs étant substitués pour x et les dénomiirateurs

pour y dans l'équation x* — \oo^y* = R, j'aurai

ii38

Ici il faudrait pousser la série assez loin pour trouver les valeurs de x et de y qui donnent R = i ; ainsi il vaudra mieux se servir des méthodes des n*^ 6 et suiv.

Pour cela j'observe- qu'il y a deux suppositions, dont Tune donne R = 3, et l'autre R = — 3; de sorte qu'à cause que 3 est un nombre premier, on pourra faire usage de la méthode des n*^* 6 et 12.

J'aurai donc

a = 109, Rr^3, j: = i399, ^r=:i34, ^^' = 9532, 7' = 91 3;

xy' H- yx' = 2554575,

qui, étant divisible par 3, j'aurai d'abord

ensuite

xx' H- ayy' = 26670546,

qui, étant aussi divisé par 3, donnera

Or, comme dans les équations x^ — ay^ = R et x'^ — ay'^ = — R, la

quantité R a des signes différents, le produit de ces deux équations sera, en prenant le signe -h ,

(xx' -hajy'Y^ a(xy' -^y'x'Y = — R*;

de sorte qu'en divisant par A^ on aura

d'où l'on voit que les valeurs trouvées dep eiq ne satisfont pas k l'équation proposée; mais en prenant le carré de l'équation/?* — ay* = — i, on aura

de sorte que les valeurs de a? et de j qui résolvent le problème sont

x=:p^-hag^ el y=i^pq,

savoir

:r = 1 58 070 67 1 936 249 el y' = i5 i4o4^445^ 'oo,

et ces valeurs sont en même temps les plus petites qui satisfassent a l'équation x^ — 109^^ = i, comme on peut facilement s'en convaincre

en poussant la série des fractions -> —»•••» jusqu'à ce que Ton en

trouve une qui soit formée de ces mêmes nombres, et en calculant toutes les valeurs de la formule x^ — ay^ qui répondent a ces mêmes fractions. Ces exemples sont suffisants pour faire connaître l'usage et l'esprit de nos méthodes; nous ajouterons seulement quelques remarques qui pourront mériter l'attention des Géomètres.

Remarques.

25. Remarque I. — En examinant les valeurs de R des deux premiers Exemples, on voit que dans le premier les mêmes nombres se trouvent successivement avec les signes -+- et —, au lieu que dans le second, les nombres qui ont le signe -h sont tous différents de ceux qui ont le signe — .

Pour trouver la raison de cette diflFérence, supposons en générai

X»— aj» — R, el j:'*— aj'^=i — R,

ce qui est le cas de TExemple 1, et Ton aura

x^— ay^=^ — x'^—ay'^y savoir j:'-i- jr" = a( r'-l- j'*)»

d'où Ton voit que x^ -h x'^ doit être divisible par a. OV, on sait que la somme de deux carrés n'est divisible que par les nombres qui sont aussi la somme de deux carrés; donc, pour que les deux équations dont il s'agit aient lieu en même temps, il faut nécessairement que le nombre donné a soit la somme de deux carrés ; c'est ce qui a lieu dans I'Exemple I, où a = i3 = 9 -j- 4» au lieu que dans I'Exemple II a = 19, qui n'est point la somme de deux carrés. Ainsi, toutes les fois que a ne sera point la somme de deux carrés, ce qui arrive, comme on sait, lorsque quelqu'un des facteurs premiers de a est de cette forme [\m -+- 3, on pourra être assuré qu'aucun nombre ne pourra être en même temps de la forme x^ — ay^^ et de celle-ci ay'^ — x'^, quels que puissent être a? et y, x'

et y.

Mais on ne peut pas dire réciproquement que lorsque a est la somme de deux carrés tout nombre qui est de la forme de x* — aj* est aussi de la forme de aj'* — x'^; au moins je n'ai pu parvenir jusqu'à présent à m'assurer en général de la vérité de cette proposition, quoique je l'aie d'ailleurs trouvée vraie dans un grand nombre de cas particuliers.

Au reste, il est évident que si — 1 est de la forme de x^ — ay^^ tout nombre positif qui sera de la même forme sera aussi de la forme de ay'^ — x'^ ; car soient

^i=p^ — aq^ ei ^ R = j:^ — aj',

on aura, en multipliant ensemble ces deux équations, et changeant les signes des deux membres,

R r= a [y^p ±xqY — (xp± ayq )^ Or, si l'on trouve dans deux seuls cas particuliers

K = x^— ay^ ei — R = j:'^— aj'%

et que R soit un nombre premier, alors on parviendra toujours à cette

équation

— i = p^ — aq\

comme nous l'avons vu dans I'Exemple III; de sorte qu'on en pourra conclure d'abord que tout nombre qui sera de la forme de x^ — ay^ sera aussi de la forme de aj'^ — a?'^.

26. Remarque IL — Supposons maintenant que l'on ait l'équation

/» — aa» = — I ;

en prenant les carrés, on aura

(t^-hau^y—a{2tu)z=zi,

d'où l'on voit que t^ -¥- au^ est une des valeurs de x qui satisfont à l'équation

et que 2 tu est la valeur correspondante de /; mais nous avons démontré (n*^ 17) que toutes les valeurs de a? et de / qui satisfont a cette équation sont renfermées dans ces formules :

y^ip-^9 \/^r-ip - g v^)" ^

m étant un nombre quelconque positif, et p, q étant les plus petites valeurs qui satisfassent à la même équation x^ — ay^ = i ; donc il faudra que l'on ait

i.^a^^^^p^^if^T'^^p-gy^,

^^^ ^ ip-^gf^r-ip-gfaT^

2v/â équations qui se réduisent à celle-ci :

{t±usja)^z=i{p±qy^af*,

Or je dis d^abord que m ne saurait être un nombre pair; car, soit m^2n, on aura

er, extrayant la racine carrée,

or {p±q y/a)" se réduit à cette forme : p' ±q'>Ja, en faisant (n® 15 )

' ,^ip^qsJ~aT^{p-qfa)\ ,{p + q^ar-{p-qfar.

donc, puisque / et i/ sont, par hypothèse, des nombres positifs, et que p et q' le sont aussi, on aura t=p' Qiu = q'\ mais, k cause àep'^ — aq^=\, on aura aussi p"^ — oy'^ = i ; donc on aurait /^ — au^ = î , ce qui est contradictoire; donc m doit nécessairement être un nombre impair. Soit donc /w = 2 n-h i , et l'on aura

{t±usay={p±q^df'{p±qsja)x

d'où l'on voit que p±q\ja doit être un carré; or, quelle que puisse être la racine carrée de p±q\/a, il est clair, a cause de la quantité irrationnelle y/a, qu'elle ne peut être que de cette forme r±.s\'a, de sorte que l'on aura

p±q \/a={r±s^aY = r^-h€U^±9.n^a;

et, par conséquent,

p = r^ -h as^ et ^ = 2 rs.

Ainsi, à moins que les quantités /i et q ne soient de cette forme, il est impossible que l'équation t^ — au^ = — i ait lieu; or, connaissant les valeurs de ces quantités, il est facile de vérifier si elles sont de la forme dont if s'agit; car, premièrement, il faudra que q soit un nombre pair:

ensuite il est évident que r et 5 ne peuvent être que les facteurs de la moitié de q; de sorte qu'il ne s'agira que de chercher tous ces facteurs, et de les substituer a la place de r et 5 dans l'équation r^ -h as^ =p. Si l'on peut par ce moyen trouver deux valeurs de r el 5, alors, comme

on aura

et faisant

___ {r-hs ^af -h [r — Syjaf*

on aura

d'où

, __ {r-hs^ar— {r—syjaf

t±iu^a — r'±sfyja

Or il est facile de voir que les valeurs de r' et V sont les plus petites lorsque m = i , auquel cas on a r' = r et 5' = 5; donc les plus petites valeurs de £ et de li seront / = r et 1/ = 5; donc r et 5 seront les plus petites valeurs qui satisfassent à l'équation t^ — au^ = — i .

Usage des méthodes précédentes pour la résolution des éqiuitiopis du second degré à deux inconnues, par des nombres entiers.