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pour le nùwmumy et < o pour le maximum. Soit multipliée cette expression par A, qui est positif dans le premier cas et négatif dans le second, et on aura

2 ABDE - ACD» - A'E^ - AB'F 4- A'CF > o,

soit pour le maximum, soit pour le minimum, savoir (CA - B>)(FA - D>)>(EA - BD)».

On suivra le même procédé pour un plus grand nombre de variables.

14. Cette méthode, étant générale pour quelque nombre de variables que ce soit, ne sera pas bornée aux seules fonctions algébriques, mais pourra encore s'étendre avec succès aux maximum et minimum qui sont d'un genre plus élevé et qui appartiennent à des formules intégrales indéfinies. Je me réserve de traiter ce sujet, que je crois d'ailleurs entièrement nouveau, dans un ouvrage particulier que je prépare sur cette matière, et dans lequel, après avoir exposé la méthode générale et analytique pour résoudre tous les problèmes touchant ces sortes de maximum ou minimum, j'en déduirai, par le principe de la moindre quantité d'action, toute la mécanique des corps soit solides, soit fluides.

15. Je finirai ce Mémoire par quelques exemples des plus simples qui éclaircissent la théorie qu'on vient d'établir. Soient tant de corps qu'on voudra parfaitement élastiques et rangés en ligne droite sans se toucher; supposons que le premier vienne choquer le second avec une vitesse donnée c, le second avec la vitesse acquise du premier choque le troisième, et ainsi de suite; les masses du premier et du dernier étant données, on demande celles des corps intermédiaires, afin que le dernier reçoive la plus grande vitesse possible. Soit a la masse du premier, et b celle du dernier; soient ensuite t, w, a?, j,... les masses intermédiaires inconnues; par les lois du choc on trouvera la vitesse communiquée par

le premier corps a au second / égale à -> celle que donne celui-ci au

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géométrique, dont les deux extrêmes sont les données a et b. Pour juger à présent du maximum ou minimum, soit fait d'abord, pour abréger,

on aura

p = a(au — r),

donc

dp=:{au — t*) da-h a(adu— itdt),

dq = (tx ^ u^)d^ -h ^{xdt-h tdx — ludu),

dr^^(uy— x^)dy -h y (ydx -h udy — ixdx ),

Or, comme les termes a, /, u. x, y,... doivent être en progression continue, si l'on nomme i : m la raison constante d'un antécédent quelconque à son conséquent, on trouve

de plus

lesquelles valeurs substituées dans les expressions précédentes les réduiront à

dp = aa{du — imdt).

j { j. ^rf" dx\

dq = aa [dt 1 )

^ \ m rn* I

j (du idx dr\

m nr

m fir

ui vui: i>a' U ♦*! i»r**iiii**? lit'u qu*- A est iH*jprs«tjf, H qot- par r«*iiî**iin»*fit rf-!iipii#*- <r

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S'il 11 > ^ qm tleiu loadbMs inUrnuédiaires i et if, il suffi! d*aTofar égard à i< f»r«^iiji«;f'» ù^ (>-b totà4iiion^; b\\ y en a trois, il favt «core considérer la

Mrx'^juQ*-: ^*ii \ f^u ^v^jt pluMeur» autres, il faudrait avoir recours à autant û* v«iudihuiit ijuJl V a de varisililes. Au reste, dans ce problème, on les u\ni\*^v:t. ïoiiWt i^UA^Uért, ^ï on veut bien prendre la peine de pousser plus loij î^ «^il'-ul : ci*r fc/yrte qu*on peut franchement assurer que, lorsque les «lii&s»^.'^ iiil*^riu«iîdJ^JrHj, quel que soit leur nombre, sont telles qu'elles foriii*fiji un»- pf t»jp ebMOii géométrique entre les deux extrêmes données, la \ileE»h^ qu^ v^:'*jïX la dernière par leur moyen est toujours la plus grande pObbiiii«-. ^^ pf^^eme a été traité par M. Huyghens, le premier, et depuis p^if i#eau<AiU^ ^'^jutre« Géomètres; mais sans avoir aucunement égard aux uuuveUe^ a^u-nuiifiation.H, que nous avons cependant trouvées nécessaires pour > a>î5ur>-» <ie Texistence du maximum ou minimum.

16. Soit l'équation générale pour les surfaces de second ordre

z\ :=: ax^ H- 2 bxjr H- çjr^ — ex -^fxi

qu'on se propose de trouver le point où l'ordonnée z est la plus grande ou la plus petite; on aura, en diiîérentiant,

^zdz=iaxdx -i- ^bydx -^ ibxdx-^ icydy ^ edx — fdy^ ce qui fournit d'abord les deux équations suivantes

cy-^bx

d'où l'on tire

i(ac — b^)

eb —fa

^~^ i(ac — b^)

Différentions de nouveau la différentielle trouvée, et on aura, puisque dz = o,

izd^z = iadx^-¥- ^bdxdy-^ ^cdy^

où les quantités a?, y ne se trouvent plus. Or, afin que l'ordonnée z soit un vrai maximum ou minimum, il faut que a et c soient toutes deux négatives dans le premier cas, et toutes deux positives dans le second; de plus, il faut encore que ca> 6^, car sans cela les valeurs trouvées pour les ordonnées a? et j ne donneraient jamais ni un maximum, ni un minimum; en effet, toutes les fois que ca n'est pas plus grand que 6^ le célèbre M. Euler a démontré par une autre voie, dans l'Appendice à l'/zitroduction à l'Arudyse des infiniment petits, que la surface proposée s'étend à l'infini et qu'elle a une asymptote conique. Il parait donc clairement que la méthode pour déterminer les maximum et minimum,

^ KEiHEKJKb^ Siii i.a ii£Tfl< DU Ift. Mv^KMlir ET msmÊÊit

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SUR L'INTÉGRATION