QUI CONTIENT LA THÉORIE DES SUITES RÉCURRENTES

(MisceiUmea Tauri/iensia , t. i, 1759.)

où X et Z expriment des fonctions quelconques de la variable x; Ton sait que pour intégrer cette équation il suffit de faire

r = uz, re qui donne

lidz -^ zdu-h uz \dx = ZrfjT,

où \\m peut faire évanouir deux termes par une valeur convenable de u ou de r. Supposons donc

zdu H- iizXd!x = o.

et divisant par z^ on aura

et par conséquent

^ = -Xrfr et lu = -Ç\dx.

savoir

^ SIR LIMEGRATIO^

ou e est If Domfare d(»Dt If logarithiDe hyperboIiqiM* «fit i . Pur (kc^ sippttsitioTi lîi propcww* <levM*ndrsi

tidi -^ Tdx, «•p qui donnf

» — ttX —

^/Xiix

2. El iibsenanl le- prcn<*dé de c^tle métlicHle, od T^rra ûsement qu'elle d(nt pouvoir {i*sippliquer eucore ave<' suc^cës aiux tt|iMitk*iis differentiellef qui ont la même forme que Isi précédente, ipioîque le^ différences 8<»ienl supposées finies. Soit donc Téquation

dont Ici difierentielle dy- sc»it finie, et les siulres quimliles M et X soient

des fonctions d'une autre variable quelconque x. Suppos^oos en premier

iieu

et Ton aura dans ce c^is

dy ^ udz ^' zdu ^' dudZn

et l'equatioij se changera en

udi ^ zdu ^ dudz -^- Miix =: X.

Qu'on pose c(»uane ci-dessus les deux termes

zdu — Mmz = o,

et oii aufi»

savoir

pour résoudre cette équation dans notre cas oii la différentielle du n'est pas infiniment petite, qu'on suppose w = e*, et Ton aura

u -h du=^ p'"^' et du = e*{e''' — i ); d'où

^=:e^'-i = ^M et e^=i-M, u

et prenant les logarithmes,

rf/=r/(l -M),

et ensuite intégrant,

mais on sait que la somme des logarithmes de plusieurs nombres est égale au logarithme du produit de tous ces nombres; donc, si Ton exprime généralement par ® (i — Mj le produit continuel de toutes les quantités contenues dans la formule i — M, on aura

/=/Gy(l~M),

et par conséquent

Par l'évanouissement de ces deux termes l'équation devient

udz -h dudz ^^, d'où l'on tire

aZ = -j-y

u -h du et, en intégrant,

J li-hdii

Mais ayant déjà trouvé w = o (i — Mj, si l'on exprime par M» le terme consécutif à M, on ajura

W -h c/w r^ CT ( I — M, ),

«■ i»;i' •'niiKf'nil**!! * . iMiisdii' - :^i-

tt: iiif'i *M ;iii»ilUili i —Ml* IIU».;:^;!!!!!! uii* 'OltSUinW aUflritliaiH