Ayant donc l'équation à différences finies

y -h Adfr H- hdy -^- ^J\r -^- Drf'.r -^ Ec/*r — X, et posant

dy* = p, d[p ^ q, dq r= r, dr = s,

on parviendra de la même manière k une équation telle que

z — adz = \, oil

z—.y-^(K -ha)pH-(B-h 6)^-<-(C-hc)r-h(D-<-rf)5,

et la quantité a dépendra de cette équation

a' -h Aa* -<- Bû' -h Ca' -<- Da -h E r^ o.

dont les racines ont déjà été supposées a^, a^, a,, «4, a^. Que Ton r(unpare à présent l'équation

2 — adz =z \ avec celle du n^ 2, savoir

dfr-hM7=:N, et on aura

par conséquent re qui donne enfin

M^ --, Nr. --;

:gj(^ ^ ) I consl -f- I — r-— -^ h

■ I .^T*,. ,- |44.ïi; ;*vr*r if»> vîi|piir> a , «^. a,, a^. a.-, i» i*f.i c-i«T

î - t,.. .,.. v:.4..i!T^ "Vît^im^^ im: Z . Z-. Z-- Zj. Zr. ^-i fiiHMiU' : --- — \ — I. 7 — f — r r — • — ; -— !♦— #/ ^

- r; -- %Vé - HZ -^ iz - kz

que nous venons d'examiner; mais, puisque le calcul devient de cette façon trop long, il sera utile de la résoudre directement par les mêmes principes que nous avons employés jusqu'ici. De plus, afin de pouvoir plus aisément* appliquer cette équation aux séries récurrentes, il sera mieux de considérer les termes/,, /a» j^s»--- dans un ordre renversé, savoir que

X, -4- dfn = ri » js -t- dx, = r»,

et ainsi des autres, de sorte que les indices i, 2, 3,... dénotent la distance de chaque terme au dernier j,. Supposons

r^ = Piy et Ton aura 73=/^»;

soit donc de nouveau

pi = gi et p^ = q^\ soit encore

q^ = n et ^, = r, = *,, et l'on aura

substituant ces valeurs dans la proposée, elle deviendra

Xt -H Ap, -h B^, -4- Cr, -4- Di, -4- Es^ = X.

Qu'on réduise à présent les suppositions précédentes en équations, savoir

/?, — jj = o, q,^p^ — o, r, — q^ = o, s, — r, = o,

et après les avoir multipliées par les coefficients indéterminés a, h,c,,,.^ qu'on les ajoute toutes a celle qu'on vient de trouver. Il en résultera la suivante

r»-<-(A-f-a)/i, -f-(B-h 6)^, -4-(C-hc)r, -h(D -hrf)i, ' — axi — bp-t — cq^ — dr^ -<- Esj

Qu'on fasse maintenant que chaque coefficient de la première partie soit

multiple de la même manière de son correspondant dans la seconde,

^ SI R L'INTÉGRATION

m tun'JtHiiitni aux iiHfiiM^ equalioDS qu*0D a trourées 6,* et la quantité . -^«iT. rtut-miiit^t* par Inéquation

ffiT ..' : ^ii0«is«' !•*< nR*iiit*sci,. a», a, I>>ik'. si Ton bit

\ - < y. - B ^ h éf ^ •: — c* r — D — </ j. -= S .

Z — ilZ. — \.

tsi faf il If iiii'iirtfinij ^«ublaNt» il tri*U«f «hi a" 3» A^anem

«r* «''.mst,

' -aaî; »H /- - \./* - = .,i. .)n ia.ni <[h anèmtf «'inq vdleare diffé- -tif,i^ #. :^ iiii« luiiK ''\pnmfr'n*flrf «riHnnitf <'i-4iif;$MiH' par Z, . Zo. Z, — :

<»fll-. . îîlj.^** t\w

•i I arri«*fiiir:î. *fi <-tia»ëuii(- les^ lifCta'tf *//.„.. y,„ . :i la ti»nnuJe

. j.r. f -OUI M*v ••♦Mit^aniifîj' ^u'hi <iijii ilHlenniiittr par la rooip»-

f r '^i ofi^iaiiu [jar «'tf «juJHi 1 •JHiiniiitrH % .. la iommif tf ^rifliée

, ,..>r*^ I *'frj* fiif'^nUKiii. III iiiri ■îiiaiiMiimM

d'où Ton tirera par conséquent les valeurs Z,, Z,, Z,,...« en substituant à la place de a ses valeurs a,, a2, a,

10. De tout ceci l'on peut déduire le théorème général suivant; si l'on a l'équation

Xm -4- A/«-, 4- B/,„. -f- C.r-.-3 -+■ D j«^4 -^- E j^, -4- . . . = X,

où les indices des y dénotent leurs places, que l'on cherche toutes les racines «1, a^, a,, a^,*.. de l'équation

a'-¥-\a*-h Ba* -h Ca> -h Da -h E = o, et l'on aura généralement

et, dans le cas où X est constant,

j « = L ( Fa7 H- G< -f- HaT -h !«: 4- K < 4- . . . )

F?L!^:-i + G^^H^^ + H^^^i + I?i^-'+KÎ'-'--i + ...V

Si X = o, on pourra supprimer la constante L, et l'on aura plus simplement

r«, = Fa"; -f- Ga"; -h H«7 -f- !< -h Ka^ -♦--..,

formule connue pour l'expression du terme général de la suite des j, telle que

Xm -^ A J«, -f- BXm-7 -h C.XV-, -f- D7»4 -4- EXm-i -4- . . . = o,

ce qui n'est autre chose qu'une suite récurrente, dont l'échelle de relation est — A — B — C ~ D — E — ....

1 1 . Voilà donc la théorie des suites récurrentes réduite au calcul différentiel, et établie de cette façon sur des principes directs et naturels, au lieu que jusqu'ici elle n'a été traitée que par des voies tout à fait indirectes. De plus, les recherches qu'on a faites sur cette matière ont toujours été bornées au cas de X = o, et personne, que je sache, n'a jamais entrepris d'examiner généralement les autres cas, où X est constant ou même variable, ce qui peut néanmoins être de la dernière importance pour la résolution de plusieurs problèmes qui conduisent à de telles équations, dont la doctrine des hasards est principalement remplie, comme je me propose de le faire voir une autre fois en appliquant à cette espèce de calcul la théorie que je viens d'expliquer.

RECHEHCHëS

KLH

LA MTllRE ET LA PR(»J»AGATIOi\ lUi S(IN.

RECHERCHES

[Misrellanen Taurmrnsia , t.' \ . 1759.