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-V- X tftwiint des principes de M. N^-«i«4i.
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tement pour la solution du problème. Ces données étant développées se réduisent aux suivantes :
i^ Que les mouvements de toutes les particules soient exprimés par le même lieu géométrique, d'où il suit qu'ils doivent être tous d'une même nature;
2"^ Que ces particules se communiquent le mouvement dans des temps égaux, en sorte qu'elles viennent toutes à passer successivement par les mêmes degrés de mouvement.
Il est constant qu'on ne peut admettre aucune de ces suppositions, si on n'a auparavant démontré qu'elles sont des conséquences nécessaires des conditions données du problème. Or tant s'en faut que dans notre cas la chose soit ainsi, qu'au contraire ce sont ces mêmes conditions qui détruisent entièrement celles qui dépendent de l'action mutuelle que les parties exercent en vertu de leurs forces répulsives. Pour développer cette difficulté dans toute son étendue, ainsi que l'importance de la matière et l'autorité du grand homme, dont les égarements mêmes nous sont instructifs, semblent l'exiger, je vais donner l'analyse pure et exacte du problème dont il s'agit, telle que peuvent la fournir les premiers principes de Mécanique.
6. Soient, selon les premières suppositions de M. Newton {fig. i, p. 48), E, F, G,... des points physiques qui composent le milieu élastique lorsqu'il est en repos; soient ensuite parvenus ces mêmes points en c, 9, 7, de sorte qu'ils restent néanmoins dans la même ligne droite BC; qu'on dénote les espaces rectilignes parcourus Es, Fç» et G7 par j, , j^» Ja. et supposant que la première distance EF, FG entre ces points soit égale à r, on aura
or la force d'élasticité naturelle qui agit entre les points E, F, Gest exprimée par — ; — -, comme il est démontré dans la Prop. XLIX ci-dessus, où M dénote le poids de chaque particule, et A e$t la hauteur d*une colonne
homogène du mèmc' fluide, dont la pesanteur éf^^Ae le ressort naturel dtNparticules: dont, lorsque les points E, F. G viennent à être tnnsfKirtf^ en i. c. 7. celte force d'élasticité se changera en
pour les points = et ç;. et en
ptMii les points :. et 7, et ainsi de suite; par eouséquenl la differeuet ilf ces deux forces donnent la tbrce motrice de la particule intermédiaire :-.
iaquelir S(* trouvera tîffale à AM ( ) • c'est-indiTt
^ ^ W- -»- y. — 1- ;--^ 1- — Vi
e^«lle ;i
AM y-^r-y
Mai.s. comnir les particules sont supposées devoir faire des «xcDFBiQD^ assez j>etite^. les difierences -t^. — ^ , et 1-3 — r^ des espaees pareounif s'évanouiront auprès de la quantité r, d*où il résulte fWiiir ia feree m**iriee de la particule F
qui esi cellf qui fait parcourir res])aee %•• D^ 1^* même maaiîcre«ii tniitvera pour les autres particules des expressions des forées metriees iMtlxs^ beinblabie.s i-. cellt^ci: d'où, si Ton nomme / le terafis eoouli' éefBÎè 1* couiuienceuieui du mouvement de la particule £« et si Fou iait^ renee> ùf cousiauleb, ou oiitiendra par les principes dk* isi l'equaiioii suivante qui contient leë lois du monveoMit ëe ki yai'iif ii'3F>
où h est l'espace qu'un corps pesant parcourt librement en tombant durant le temps T; de même on aura pour la particule suivante G l'équation
et ainsi des autres.
En général, si l'indice de j exprime toujours la place que tient la particule qui parcourt l'espace y, en comptant depuis la première F, on trouvera pour le mouvement de la particule, dont le quantième du rang est w, l'équation générale
Os é(|uations, comme il est aisé de le voir, sont en même nombre (|ue les particules mobiles dont on cherche les mouvements; c'est pourquoi, le problème étant déjà absolument déterminé par leur moyen, on est obligé de s'en tenir là, de sorte que toute condition étrangère (ju'on voudra introduire ne peut pas manquer de rendre la solution insutllisante el même fautive. Mais pour connaître distinctement quelle atteinte doiv<'nt porter à l'Analyse ci-dessus expliquée les hypothèses particulières (jue M. Newton a imaginées, pour faciliter peut-être le problème, qui de sa propre nature est très-compliqué, nous allons réduire c(»s hypoth('s(»s en formules.
7. Pour cela nous connnencerons par remarquer que si / est le temps écoulé depuis le commencement du mouvement de la particule E, il faudra, en vertu de la seconde hypothèse, qu'il se soit écoulé un temps / -+- dt, afin que la particule suivante F ait pu se mouvoir durant un temps /; il faudra aussi un temps / -h 2di pour un mouvement semblable de la particule suivante G, et ainsi pour les autres; d'où il s'ensuit que, puisque toutes les -particules sont supposées suivre les mêmes lois par rhypothèse première, Tespace parcouru par le point F, durant le temps l.
^» iiKf;iiKii<;iiEs HUk la nature
iM^i'ii l'^iil u roii|)tt4*i> purroiirii pr lu particule G pendant le temps t -h di, i»l i|iM> l'oaipui'c purcoiirii par h» point E pendant le temps t sera le même i|Ut» Ttiiiparo ptirroiiru par la parlinile G dans le temps / -h adt; or v«, 1^1 Vé o\\mmou\ Ion i»Hpan»K parcourus par les particules E, F, G,..., ili4n«i lf> itif^Hio lotnpN /: on aura d(»nc
} , r» ^ «/>% . .>', = yy -+- arfr» -^- dy^;
k\\AU\U^k\ik\\\ M r«Mi Milishiuo CCS valeurs de v, et de v, dans Texpression ^, -^s^ ^ Vo IV(|ualion qui oontiont le mouvement de la particule F
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entière, on aura {fig. a, p. 4^)
Ô = PHSAP et rf/ = KI; par conséquent, =^ = ^^ par la PTx>p. XLIX, savoir :
d'où l'on tire
dt = ^ et dv = ^ = -^.
,.J^Sl^ et e = I^,
qui se réduit à la même expression que nous avons déjà trouvée pour la mesure du temps dans la Prop. XLIX.
En effet, ayant supposé (4) que la force motrice dans l'échelle PHSAP
Qw Mil
est simplement ^ — M, on doit de même ici exprimer les forces
HK
motrices des particules par , '^? ou bien supposer ^ = i •
Tout ce que nous venons de démontrer suffit assez, ce uié semble, pour faire connaître a fond l'insuffisance et la fausseté de la méthode de M. Newton. Nous allons donc chercher une autre voie qui nous mène à une solution du problème dont il s'agit, fondée sur des principes sûrs et incontestables.
8. Pour envisager d'abord la question sous le point de vue le plus simple et le plus général qu'il soit possible, je regarde avec M. Newton les fluides élastiques comme des amas de corpuscules qui se fuient mutuellement selon les lois connues de l'élasticité. Imaginons donc une suite de corps qui aient tous la même masse, et qui soient rangés sur une même ligne droite, à distances égales les uns des autres; supposons de plus que ces corps se repoussent mutuellement par des forces élastiques qui suivent la raison inverse des distances; et, pour contenir l'action continuelle de ces forces de répulsion qui tendent sans cesse à écarter les corps les uns des autres, qu'on considère les deux extrêmes comme fixes I. 8
et immobiles, en sorte que, quelque mouvement qu'oo excile dans lear système, il demeure toujours renfermé entre les deux limites données. Maintenant, soit le noml)re des corps mobiles égal à m — i, leur masse égale à M, la force du ressort naturel égale à E; en conservant les autres suppositions ci-dessus 6;, on trouvera que les mouvements de tout le système seront contenus dans les équations suivantes :
~dF~Wp' r
Ces équations seront au nombre de m— i, savoir en Biênie nombre que les corps mobiles, et de plus toutes semblables, eiciepté la première et la dernière, dans lesquelles les quantités v© et Vi^qui représenteraient selon Tordre établi les espaces parcourus par le première! demio* corps. doivent être, à cause de Timmobilité de ces corps, supposées ^ales à zéro; la dernière de ces équations se trouvera donc
rf'r*-. 2EA — 2r», -f-r»-ï
dn ~ MT» r
C'est en intégrant toutes ces équations, et en tirant des valeurs pour cbaque inconnue r,, r^, Vj,..., exprimées par la même variable i, que !*on parviendra à déterminer les mouvements de tous les corps qui composent le système proposé; mais avant que d'entrer dans ces recherches, il est nécessaire de traiter des causes qui peuvent produire de tels ébranlements dans les parties intimes des fluides élastiques. Nous nous bornerons ici aux cordes vibrantes, dont les mouvements sont plus connus» et qui, peut-être, sont les seuls de cette espèce qui ne se refusent pas à TanaUse.
Et LA PROPAGATION DU SON.
