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T. * . îî . 151 -^ "» — M*.»r

des quantités indéterminées D. Pour faire cette opération plus aisément, commençons par multiplier la suite qui forme le premier membre de

l'équation rapportée par 2C0S;^', en développant chaque produit particulier, et en ordonnant les termes, il viendra

D,sm h (D, -h D,)sm h (D* -h Dj)sin h. . .

-h D,„, sm h Dm-i sm —

Ensuite, si Ton multiplie la même série par 2cos^? et qu'on retranche ce dernier produit de l'autre, on parviendra à l'équation

(D,-2D,cosi^^sin^ + (D,-2D,cosi^ + D,\sin^ \ 2m/ 2m \ 2m / 2m

+ (d.~2D3Cos^ + D,V-^^'^ + (-2D..cos^^D«,^

On aura donc

D, — 2D, cos — = o, 2m

D3 — 2D, cos-^- — h D, = o, 2m

D, — 2D3COS— -4-Dj= o, 2m

— 2D«, cos -^ -h D«^j = o , 2m

d'où Ton doit tirer les valeurs des quantités D. II est visible au premier aspect que les quantités D constituent une

sm-

. (m — i)Xcj -. . \ts L . Agi sm ' h D«., sm — = -— - sm — •

m RE(.IIERt:HES SUR LA NATURE

|M<«»|ti'<>qcMi>n rptMirrrnio. «Uns Uquoilo, em commençant par le bas. il est

r^f on doiim

Oi.t^ -oj «aitHtitiK ;iii iifMi Ht- /7 fU i' i(^ Tiu«.nii^ Ht* r^ijimùnii {)iTif^ il e!i refiuUfr:.. fui' lit' pTniMMli TMmililuliti- tt wiUii riirn'''j&,

. Sllr

*/— r» ^ lier'

d'où

. nuis

sin— ^ —

sm-^ — 9. m

et posant pour plus de commodité m — n = s,

. {m — s)uw5 w sm -' —

' 21'^ . UCT '

sm ■ — 2 m

mais

sin

' ini \2 2m/ 2m

où le signe -h doit être pris toutes les fois que fjt. est un nombre impair, et le signe — quand jut. est pair; on aura donc enfin

. sais . sm-^ —

2*" ' . axs

sm-'—

et telle est la valeur générale de D, d'où dépend la résolution des équations du n° 23.

26. Reprenons maintenant l'équation du n** 24, et substituant dans son second membre les valeurs trouvées des quantités D,on la réduira d'abord à

D, sm -i h Dj sm -^— -h Ds sm -^— -h ... -h D«.-. sm ^ ^^—

S.sm^ hS,sm-^---hSssm-^— -h...-hh,„, sm^^ ^^— .

„ , . uiw im im 7. m 2 m

2'"-'sm-

A l'égard du premier membre, on remarquera (25) que

D, sm h D, sm h D3 sm h ... -h D«, sm ^ —

, sm —

cos cos -i—

Donc, si Ton Huppom; X = jx, on aura

I), sin ^ — f- 1), sin -i- — h D, sm -^-~ -h ... -h D,^, sin —

ros ^- vos ^-—

mttivH piiiiSqui* jtji (vsl un nombre entier, on a sin— = o, donc le dernier

mrmbiv de Téquation se réduit à 7^;;-, x -• Pour en trouver la vraie va-

bnu\ soi( supposé X variable, et différentiant à part le numérateur et le dénominateur de la formule générale

sm — a

Xm am

ros cos -s —

on iixHixvr^

m ros —

— sm —

or a éteint xin nt>nibfv onlier. cos » — i\st égïil à ir^ i , le signe supérieur repoTïd à u puir^ l^nft^ritHir à ui im|>âir: on «ura donc

1>. sm -^ — -*- 1»: $«n -' — -4- |>, sm -^ — -^ . , . -t- D»-, sin —

yn4 im im JtJ».

sm-« —

«t ainsi lequftîion pm^detïlr Aexieiwlm

jfîL . L

^•^ sm -^ — ?"^^ *a»i •^---

I vtm ^m MU aMt J

d'où l'on tire

"^ f^ m\ 2/7? 2 m im amj

Voilà donc quelle doit être l'expression générale des y qui dénotent les espaces parcourus par chacun des corps dans un temps quelconque /.

27. Pour connaître plus clairement la nature de l'équation trouvée, on y substituera les valeurs des quantités S,, S^, S,,... du n^ 23, ce qui donnera finalement la formule

2 ^ . acT / , /- . w \

r„ = — P, sm - — cos \it\le sm 7 — -^ t^ m 9.m \ ^ ^mj

H — Pjsm -^-— cos (2/ v^esm-;— m 2/w \ ^mj

H — P3 sm -^-- cos 2 / v^ sm 7— m 2m \ ^ 4''v

H — P«, sm '-^-- cos 2/ ve sm ^^ — ; '—

Qi sin — sin ( 2 / v'e sin 7 — ) I 2/w \ ^ 4''^/

Q. 2any . / , - . 2Gy\ ,. sm -*-- sm 2 / V ^ sm -, — I 2/yi \ ^ 4^/

^ . 3aGj . / ^ ,- . 3cy \ Qa Sin -i — sm 2 / Je sm -7— I 2/w \ ^ ^m

Q«, sin' '-^ — sm 2/i/esur — -, — —

m ve . (/w — i)ct

quantités P,, P^, P,,... et Q,, Q^, Q3,... dépendent de la première *• 12

REOREUrRES SI» LA NATURE

«^i^t^imn i\o% corps o\ àe l^«r< pirf*miifTe^ viij«w*es, selon les suppositions 4^ n* tt

IK loffi» o\pr^r«4!OT) /ir ^ /^Ti ÙTfTSi awBiCTt relie de «,, qui exprime b

%^t<>*«io n\'ov l»<)i»elle r^^sa^^wv- \^ «a furrooro; car puisque «« = -^ • on •«**Mr!< <|ir^ rliffér^m^e-^ "*m»tww 4#vimee «i faisant / variable, et on

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ET LA PROPAGATION DU SON. 9i

qu'on pourra faire passer par les extrémités de toutes ces ordonnées sera la figure de la corde tendue et chargée à chaque angle d'un poids M, et il

sera en même temps le lieu géométrique des excursions des corps élastiques M, disposés dans la même ligne droite AB, selon ce qu'on a démontré dans les Chapitres précédents.

Il est d'abord évident que la formule qui donne la valeur de v^ est composée d'une suite de formules telles que

. S\XXS . / /- , 5IÏJ \

, sm-^ — sm î/v^smT— I

\ sm-^-— cos 2/ v^sm-r— -+- B ^^ -■—' t