Soit posé ff^ = o, on aura les deux équations

4#ii/ .^sw

sin -^ =r o el A cos I 7./IÏ

siny—

02 KECHERCHES SUK LA NATURE

qui détermineront les points où chacun des polygones simples pouiTa couper son propre axe. Il est visible que la première aura lieu toutes les

fois que -^ sera égal à zéro ou k un nombre entier quelconque; soit

donc k un tel nombre, on aura

s u , km

-^ = ff el u= — 9 m ' s

laquelle valeur de /x satisfera toujours, quel que soit le temps /. Soit ^= I, on aura

IX ou km z= o, m, 2/11, ... ;

d'où il s'ensuit que le polygone ne pourra rencontrer l'axe AB que dans ses deux extrémités A et B; il sera donc tout au-dessus ou au-dessous de lui, comme on \o\i Jig. 7, p. 91.

Soit j = 2, on aura

km m

u ou — ==10, — » /lî,...;

le polygone coupera donc l'axe au milieu C, et il aura par conséquent une moitié au-dessus et l'autre au-dessous, comme dans layf^. 8.

Fig. 8.

Soit y = 3, on aura

km m im

a ou — :rrO, —, — t /II,..

et le polygone rencontrera Taxe deux fois et le divisera en trois parties

égales; il aura donc une figure semblable à celle qu'on voit fig. 9, et

ainsi de suite. D'où l'on conclura que les polygones auront toujoui*s autant de ventres d'égale longueur qu'il y a d'unités dans le nombre s.

30. Présentement, si l'on s'attache k la seconde équation, on trouvera en la réduisant

, V A sm 7 — sm 2/ v^sm 7 — =r — ^-

y/B^^v(sm^J Posons, pour abréger,

A sm 7 —

on en tirera

, ,- . *ny . ^ . ^ arcsinZ

oJylesxwj — = arcsmZ el / =

m ,- . 5ïïj