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ce qui s'accorde avec le n^ LVI des Recherches précédentes, et avec ce que M. Newton a trouvé par une méthode différente [Prop. XLIX, Liv. II des Principes),

Au reste, il est clair qu'à cause de l'ambiguïté des signes de la valeur

de «, la formule rp (t — ax) renfermera réellement les deux formules 9[/— -^J et 9(/H--^)9en posant, pour abréger, c au Heu de ^^-î

donc, en prenant deux fonctions différentes. Tune pour le signe -^ et l'autre pour le signe —, et les ajoutant ensemble, on aura

pour l'expression générale de l'espace parcouru par chaque particule de la fibre AD dans un temps quelconque t.

Nous verrons dans la suite les conséquences qui résultent de cette forirtule, par rapport à la propagation du son considérée d'une manière {ifénérale; mais nous remarquerons d'avance que la vitesse de la propagation est toujours égale à yc» comme on l'a trouvp ci-dessus dans un cas particulier.

3. Telle est la solution générale qui peut se déduire des Principes de iM. Newton ; cet illustre Auteur n'en a tiré cependant qu'une solution assez particulière et même peu exacte, mais qui l'a conduit néanmoins au même résultat sur la vitesse de la propagation. C'est ce qu'il faut développer.

M. Newton commence par supposer que la courbe PKS est un cercle dont le diamètre PS est égal à la plus grande excursion Ee de la particule E, et dont la circonférence est k l'intervalle BC des pulsions, comme KH a EG, savoir comme a est à i selon nos dénominations; d'où il résulte que le mouvement de chaque particule d'air est le même que celui d'un pendule qui décrit des arcs de cycloide, et que la durée de chaque oscillation est égale à la circonférence entière du cercle PKS^P, savoir

a X BC = — !— BC.

M. Newton suppose ensuite que, dans le temps d'une oscillation, la pulsion en avançant parcourt sa largeur BC, c'est-a-dire qu'il se forme ♦•n CD une nouvelle fibre sonore CD égale à la première BC; d'où il déduit

la vitesse du son

yaAAxPC y/^AA TXRC ~ T '

précisémenl coinnie on Fa trouvée ci-dessus.

Je remarque d'abord que la première hypothèse de M. Newton, savoir, ((ue la courbe PKS soit un cercle, ne peut être admise qu'analytiquemenl et non relativement à la question de la propagation du son, car :

i^'Les ébranlements primitifs dépendent absolument de l'impulsion du corps sonore, laquelle peut être quelconque; par conséquent il est impossible que ces ébranlements soient toujours exprimés par la même courbe, et encore moins par un cercle.

2"" Comme le cercle est une courbe rentrante, il est clair qu'on peui toujours trouver un arc /— ax^ dont l'abscisse représentera (suivant la construction) l'excursion d'une particule quelconque distante comme l'on voudra de la particule E; d'où il s'ensuit que toutes les particules de la fibre AD infiniment prolongée de part et d'autre doivent être toutes en mouvement à la fois, ce qui détruit la propagation du son et est directement contraire à la nature même de la question.

A l'égard des oscillations des particules qui forment la pulsion BC, nous démontrerons plus bas (15) que leur durée est toujours la même, quelle que puisse être la nature de cette pulsion, et qu'ainsi la formule

j BC, que donne l'hypothèse particulière de M. Newton, est exacte

et conforme a la véritable théorie de la propagation du son.

Il en est de même de l'autre hypothèse de M. Newton, savoir, ([u'il s'engendre une seconde fibre égale à la première, lorsque cette première a achevé une vibration entière. Cette hypothèse est légitime, comme on le verra plus bas (12 et 15); mais doit-on l'admettre sans la démontrer? On est d'autant plus en droit d'en exiger la démonstration que, suivant la construction de M. Newton, \es pulsions AB, BC, CD,... ne se forment point l'une après l'autre, mais existent toutes à la fois et ne font que changer de place sur la fibre AD, comme il est aisé de s'en convaincre en examinant cette construction.

En voilà assez pour prouver l'insuffisance de la théorie de M. Newton, et pour rendre raison pourquoi elle conduit néanmoins aux véritables lois de la propagation du son.

4. Nous venons de montrer que la courbe PKS ne peut être un cercle. Or je dis qu'elle ne peut pas même être une courbe algébrique ou transcendante. Pour le prouver, je remarque que la fonction 9 ( / — \

qui représente en géqéral les excursions des particules de la fibre AD pour un temps quelconque /, doit aussi représenter les excursions primitives, telles qu'elles sont engendrées dans le premier instant par l'action du corps sonore sur les particules de l'air contigu. Or il est clair que cette impression ne saurait s'étendre à l'infini, mais qu'elle devra même être renfermée dans un très-petit espace autour du corps, à cause de l'extrême petitesse de ses vibrations; d'où il suit que dans le premier instant il ne peut y avoir qu'un certain nombre de particules, dans la fibre aérienne, qui soient mises en mouvement, et pour lesquelles la

valeur deyf/ — j doive être réelle; il faudra, en conséquence,

pour remplir cette condition, que la fonction (fit — — | s'évanouisse toujours d'elle-même, lorsque, t étant égal à zéro, x surpassera une quantité donnée. Soit « la longueur de la portion de la fibre qui est ébranlée au commencement, il faudra avoir en général

prenant pour z une quantité quelconque positive.

Telle devra donc être la nature de la courbe PHS, d'où dépend la valeur de 9, que tous les arcs exprimés par — - — ^ répondent toujours

au même point de l'axe où les abscisses ont leur origine; c'est ce qui ne saurait avoir lieu dans aucune courbe, soit géométrique, soit transcendante, puisqu'il faudrait pour cela que dans un tel point elle se transformât tout à coup en une droite perpendiculaire à l'axe.

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