IIKH FONCTIONS I RRÉGL'LI ÈRES KT DISCONTINUES

Observations sur la nature et V usage de ces fonctions .

5. Nous venons de démontrer que, pour trouver les ébranlements des |)arli(ules de l'air dans le cas de la nature, il faut se servir d'une ligne courlit» dont le cours devienne tout a coup rectiligne en un point donné, condition qui est absolument incompatible avec la loi de. continuité, à laquelle toutes les courbes, soit algébriques, soit mécaniques, sont nécessairement souniises.

De lli on voit la nécessité d'admettre dans ce calcul d'autres courbes que celles que les (iéomètres ont considérées jusqu'à présent, et d'employer un nouveau genre de fonctions variables indépendantes de la loi de continuité, et qu'on peut très-bien appeler yî>/ic/io/i5 irreguliéres et discontinues. Mais ce n'est pas ici le seul usage qu'on doit faire de ces sortes de fonctions; elles sont nécessaires pour un grand nombre de questions importantes de Dynamique et d'Hydrodynamique; car, lorsqu'on a un système de corps ou de points mobiles, dont leYiombre est infini, et qu'on en cbercbe les mouvements après les avoir, comme que ce soit, dérangés de leur état d'équilibre, il est facile de comprendre que tous ces mouvements ne pourront être contenus dans une même formule, à moins qu'elle ne soit aussi applicable au premier état du système, qui est tout a fait arbitraire, et dans lequel la loi de continuité est le plus souvent violée. M. Kuler est, je crois, le premier qui ait introduit dans l'Analyse ce nouveau genre de fonctions, dans sa solution du problème de chordis vibrantibus. qui rentre dans la classe de ceux dont nous venons de parler: mais nous avons exposé ailleurs [Hech. préc.y XY) les difficultés dont cette solution est susceptible, et la nécessité oii Ton était de l'établir et de la continuer par une méthode aussi directe et rigoureuse

que celle que nous avons donnée dans le Chapitre V des Recherches pré-cédentes; M. Euler même m'a fait l'honneur de me l'avouer dans une lettre particulière qu'il m'a écrite au sujet de ma théorie sur le son. Cette méthode cependant, qui consiste à regarder d'abord le nombre des corps mobiles comme fini et indéterminé, est extrêmement pénible et embarrassante, et elle le devient encore beaucoup plus lorsqu'il s'agit de rendre leur nombre infini. Un tel passage du fini à l'infini dans mes formules n'ayant pas paru assez évident et démonstratif à deux grands Géomètres, MM. Daniel BernouUi et d'Alembert, comme ils ont daigné me le faire sentir dans des lettres particulières, j'ai cru devoir chercher de nouveau une autre méthode plus simple, par laquelle on put éviter tous les embarras qui se rencontrent dans la transformation des formules, et qui levât de même tous les doutes qui pourraient encore se présenter sur l'exactitude de mes résultats.

6. Problème I. — Étant donné un système d'un nombre infini de

points mobiles y dont chacun dans l'état d'équilibre soit déterminé par la

variable x, et dont le premier et le dernier^ qui répondent à x =^ o et à

X = a, soient supposés fixes, trouver les mouvements de tous les points

intermédiaires, dont la loi est contenue dans lafi)rmule --r- = c ^-^^ z étant

l'espace décrit par chacun d'eux durant un temps quelconque t.

Qu'on multiplie cette équation par Mcte, M étant une fonction quelconque de X, et qu'on l'intègre en ne faisant varier que x\ il est clair que si dans cette intégrale, prise en sorte qu'elle évanouisse lorsque x = o, on fait x = ay on aura la somme de toutes les valeurs particulières de la formule -yj^^dx = c-^^dxy qui répondent à chaque point mobile du système donné. Cette somme sera donc

/d'^z ^^Mûtr, où la différence d^z ne dépend que de la

variable x, peut se transCoriner par les règles connues en

dz ., rdz dM .

di^-jdi-dl'^''

cette dernière intégrale se change de même en

dM

de sorte qu'on aura

-^Mdœ est égal à zéro, lorsque ^r = o, si Ton suppose

que I z-^dx le soit aussi, il faudra que^M — z-V- évanouisse de même dans ce point; mais, par hypothèse, on a ici z = o; donc il suffira que Ton ait ^ M = o ou bien M = o, lorsque x = o. Par là notre équation intégrale deviendra

Posons ar = a, et puisque z s'évanouit de nouveau par hypothèse, faisons disparaître de même l'autre terme ^M par une valeur convenable de M. Il ne restera après cela que la simple équation

J^Mda:=:cJz^dar.

Soit supposé -7^ =X:M, k désignant une constante indéterminée dont

on trouvera la valeur au moyen des conditions qu'on a déjà attachées à la quantité M; on aura