L = Ai?^V5, s = = Be-'v

ycA* ycA*

B étant une nouvelle constante arbitraire.

Pour déterminer les valeurs de A et de B, supposons que ^ et r deviennent S et R lorsque / = o, nous aurons

\'ck yjck

substituant ces valeurs, et joignant ensemble les deux équations, il nous vient

de même, en retranchant l'une équation de l'autre, on trouve

r= R h S vc/r ;

ces équations se réduisent à la forme suivante qui est beaucoup plus simple, savoir :

s = S cos(/v/— - ck) -+- - sin(/^— ck),

^— ck

r= R cos(/v^— cA') — SV— ck sin ( t y/'-^'ck).

Or, par supposition,

s=^ j zMdx et r=-7-=: I -r-Mdxy

ou bien, puisque j- exprime la vitesse qui répond à l'espace z et au tejfnps t, si on dénote cette vitesse par w, on a

r== 1 uMdx.

Pour avoir de même les valeurs de S et de R, supposons que Z soit en général la valeur de 2 et U celle de u au commencement du mouvement, lorsque / = o, on aura

S= fzMdx el R= CvMdx;

substituant ces valeurs, on changera les équations précédentes en celles-ci :

CzMdx = cos{t^^^/c) ÇzMdx-h^^^^kà^-^ f\]Mdx,

juMdxz=zcos(t^'~^^k) I UMrf^ — y — ck sin ( t >J— ck) j ZMdx.

Il ne nous reste plus qu'à trouver la valeur de M par la résolution de Téquation

dx'

= kM,

qu'on intégrera par la même méthode que nous avons pratiquée cidessus; prenant deux constantes quelconques A et B, on trouvera aisément que la valeur de M est en général Ae*^* -t- Be"^^; or M doit premièrement être égal à zéro lorsque x = o, ce qui donne A -t- B = o et B = — A; par conséquent,

M = A(e'Vï"-e-'Vî').

Changeons la constante A et suppo8on»-la divisée {Nir a^^ 1 9 on m»

ai.

plus simplement

M = Asin'^xv^^^j.

Il faut maintenant faire en sorte que M évanouisse lorsque x ^ a, (1*011 l'on a

A sinfay^— A j =o,

et prenant pour v un nombre quelconque entier positif ou négatif,.

, — -r yjs

ce qui nous apprend que V— k peut avoir une infinité de valeurs différentes, qui remplissent toutes également les conditions données. Substituons à présent pour M sa valeur trouvée, et retenant pour plus de simplicité la quantité V— k^ on aura, après avoir divisé par A,

/ z?\xi^x\l—k)dx = cos(/\/-— ck) j Zsin{x\ — k) dx

s\n( t J— ck) Cmi • ( I — T\ j H ^ — '- I \]sin\x^—k)dx,

v/— ck J \u%\ï\{x^—k)dxz=QOs{t)J—ck) j \]s\n(x^—k)dx

— ^ —cksinit^— ck) j Zsïn{x^— k) dx.

Ces deux équations doivent se vérifier pour toutes les valeurs qu'on peut donner à V— ^, et c'est d'après une telle condition qu'il faut déterminer les valeurs cherchées de 2 et de m par celles de Z et U qui sont supposées données. *

Pour cela il faut commencer par faire disparaître au moyen de quelques transformations la quantité ^—k qui n'est point renfermée dans des sinus ou des cosinus; ces transformations ne consistent qu*i prendre les intégrales par parties comme nous l'avons déjà pratiqué plus haut, en sorte que l'intégrale qui reste se trouve naturellement multipliée ou divisée par ^—k. Par ce moyen, on transformera d'abord

l'expression

I Usin(a: v^— /rjrfo:

dans celle-ci

sin(a:v^^^) judx—^'^^ M cos(j; v^'^^J ivdxldx.

Je remarque maintenant que la valeur de sin {x \/— k) devient nulle dans les deux cas de ^ = o et de ^ =i= a, d'où il suit que puisque les formules intégrales que nous manions ici doivent être prises pour toute l'étendue de X, depuis o jusqu'à a, on aura plus simplement

f\]sm{x),^^^k)dx = -f^C[cos{x)/'^^) Ç\}dx]dx.

Par une opération contraire, on trouvera ensuite

Czsin(xs^'^:n^)dx = ^^^^^^-^-^f^cos{xy/'=r^}dx;

et puisque Z = o lorsque x = oeix = a, par l'hypothèse du problème, on aura pour notre cas

Z sin ( JT v^— k) dx = -^=: I ^ cos {x yj—k) dx. Ces valeurs substituées, il en résulte

I zs\ïï(x \i—k)dx=:cos[t)J—ck) I Z sin i-xy/^kjdx

/ usin(x y/'^^)dx = cos{t'^^^^^) j V s\n{x ^— k)dx

-T- cos {x yj—k) dx.

Avant d'aller plus loin je remarque que comme on aura occasion dans la suite de comparer des valeurs de Z et de U avec des valeurs de z et <£ qui ne répondent pas aux mêmes x^ pour ne pas se méprendre dans ces opé-

16f> NOUVELLES KECHERCHES SLR LA NATURE

rations, il sera utile de distinguer par des expressions différentes les x qui conviennent aux Z et U, d'avec ceux qui conviennent aux z et u\ je désignerai les premiers par la lettre X que je substituerai partout dans les seconds membres des équations précédentes au lieu de x^ en retenant néanmoins le dx qui ne peut causer aucun embarras; j'observe de plus que les intégrales qui entrent dans les termes de ces membres se rapportent uniquement à la variable x ou X, ce qui fait qu'on peut mettre aussi sous le signe ces quantités sin(/v — itc) et cos(/v' — kc)^ qui sont constantes à leur égard; j'aurai donc

I Z9\ï\{x )J-'k)dx =z I Zsin(Xv'--A"; cos{t^— kc)dx

zz j l 1 {jdx\ cos (x V — kj sin (/ v^— kc) dx,

1 usïnix ^—kidxz= j [j s\n{\ \'— k) cos{ t ^— kc) dx

-r- COS (x y— If) sin (/y — kcj dx.

Je développe à présent les produits des sinus et cosinus par les méthodes connues; j'obtiens

/ z sin (x \'—kj dx=- / Z sin [( X -f- / yc) y'— A-J dx

-h^ rZsin[(X-/y'3)y'^^j<ir

'— f( fvdx\ sin [(X + / V c) y'=T] dx

-»- -i= r ( Çvdx\ sin [(X -t yc) y'':^] dx.

j Msinfxy — A")</x= - 1 V sinliX-t- 4 ^c}\ — k]dx

+ ^ Tu sin [(X - 1 yë) V^^TJ dx

-^/gsin[(X + /v'c)V^Jrf* -^'t f^sin[(X-/y'c)v:^Jrfx.

Ces équations sont réduites maintenant k la forme nécessaire pour en tirer les valeurs de z et de u. Voici comment je m'y prends.

Je considère qu'en substituant pour v'— * sa valeur — ? le nombre v,

qui peut être tel qu'on veut, pourvu qu'il soit entier, doit nécessairement disparaître de l'équation, puisqu'elle doit être vraie pour toutes les valeurs possibles de v. Il faut donc faire en sorte que la quantité \/— * disparaisse elle-même de l'équation qui la renferme, ce qu'on ne peut obtenir dans notre cas qu'en rendant égaux tous les angles multiples de yj—k dans tous les termes de l'une et de l'autre équation; mais comme on pourrait être embarrassé dans les différentes valeurs qu'il faut donner à X, je ne retiendrai cette lettre X que dans la seule expression sin[(X-h/v'^) v/— ^] et je mettrai, dans l'autre expression sin [(X — / V^) V — * J » X' au lieu de X, en désignant de même par Z' et U' les valeurs de Z et de U qui y répondent; ainsi j'aurai par la comparaison des angles, après avoir divisé par >J— k^

et ensuite les équations

Z Z' fUdx fUdx

U U' i/ê rfZ v^ dZ' 2 2 1 dx 1 dx

Maintenant, l'abscisse qui convient à Z et U étant X, elle deviendi*a égale 9iX — tyJc qui est sa valeur tirée de l'équation ci-dessus; on aura de même pour l'abscisse X' qui répond à Z' et k U' l'expression x-i- t\[c; donc si, pour plus de commodité, on joint à chaque quantité son abscisse en forme d'exposant placé entre deux parenthèses, on aura enfin les valeurs de z et de i^ exprimées de la manière suivante :

Telles sont donc les valeurs de z et de u pour chaque point mobile du système donné et pour tous les instants de leurs mouvements; valeurs qui ne dépendent, comme on le voit, que des quantités Z et U données à volonté dans le commencement du mouvement.

7. Les formules qu'on vient de trouver nous mènent directement à la construction suivante. Sur Taxe AB = a f^f^. 3), j'élève a chaque

point M la perpendiculaire MN égale à la valeur de Z, c'est-à-dire à la valeur initiale de z qui répond à l'abscisse œ = AM. J'en fais autant à l'égard des valeui's initiales de u sur un autre axe de même longueur AB i^g' 4; • ^t j'obtiens par ce moyen lesxleux courbes ANB, AQB que j'ap-

Fig.4.

pelle courbes fondamentales, et qui sont les lieux géométriques des quantités Z et U. .

Ces courbes seront régulièi'es ou irrégulières, suivant la nature des quantités Z et U; mais elles se termineront toujours d'un côté et de l'autre aux extrémités A et B de l'axe, puisque les valeurs de Z et de U dans ces points sont nulles par supposition.

Je trace ensuite sur deux autres axes égaux AB, AB {^g. 5 et 6) les

Hg. 5.

Fig. 6

nouvelles courbes anb, \qb, telles que chaque ordonnée M/i de la première soit toujours quatrième proportionnelle à la sous-tangente MT de

la courbe ANB, à l'ordonnée correspondante MN et à la quantité constante \/c, et que l'ordonnée Mq de la seconde soit égale à Taire AQM de la courbe AQB, divisée par la même quantité \c.

Ces quatre courbes ainsi données, si Ton cherche les valeurs de z et de u qui répondent à une abscisse quelconque x = AM et à un temps quelconque t, on n'aura qu'à prendre, de part et d'autre des points M, les points M' et \M éloignés par des intervalles MM' et 'MM égaux à t\'C, et l'on aura

M'N' -+-^M^N-4-M'a'-'M^tf

Quelque générale que paraisse cette construction que nous venons de trouver, elle ne l'est cependant pas tout à fait, car il y a une infinité de cas où elle ne saurait avoir lieu; c'est ce qui arrivera toutes les fois que les points 'M et.M' tomberont au delà de A et de B.

Pour voir ce qu'il faudra fiûre dans ces cas, et comment les courbes données pourront être continuées de part et d'autre, il est nécessaire de reprendre les dernières formules intégraJes d'où l'on a tiré les valeurs de :; et de m, et de les examiner avec attention; pour mieux y réussir nous réduirons ces formules a des constructions géométriques.

Soit imaginée la ligne ARB (^g, 7) qui soit le lieu géométrique des

valeui^s de z pour tous les points de l'axe AB, et soit décrite sur le même axe la courbe ASB qui ait à chaque abscisse œ l'ordonnée sin (a: y — ^). Il est manifeste que si l'on fait les produits des ordonnées correspondantes de ces deux courbes, l'aire d'nine troisième courbe qui aura ces produits

pour ordonnées sera la valeur de l'intégrale / z sin (x yf^Hc) dx.

Pour construire de même les autres formules intentes, supposons d*abord / \ r < a, et ayant tracé ^ fig. 8 1 la lijrne AN^ qui renferme toutes

les valeurs de Z, qu'on coupe de part et d'autre du point A les deux portions de l'axe SlX , AA" égales entre elles et à /\c, et qu'on transporte la courbe ASB en A'S'B' et en A' S'B": il est clair que si l'on prend de nouveau les produits des ordonnées de chacune de ces courlM?s par les ordonnées correspondantes de la courbe AXB. les aires de ces produits exprimeront les valeurs des intégrales

/ Z sin . X -^ / ^ r ^ — A* j rfr et i Z sin [ \ — / ^ f \ — itj dx.

Mais il faut remarquer que comme ces intégrales ne doivent s'étendre que depuis X = o jusqu'à X = « = AB, les aires qui les exprimeront nr pourront contenir que les parties de l'une et de l'autre courbe qui répondent à l'axe .AB. D'où il s'ensuit que les deux portions AS' et S B' . qui se trouvent au dehors de Pespace compris entre les ordonnées AS . BS" élevées des points A et B, ne seront ici d'aucun usage* mais qu'il faudra au contraire ajouter à l'une et l'autre courbe ce qui lui manque par Rapport à Taxe entier AB: c'est-à-dire que la courbe ASB devra être continuée jusqu'en S. et de même la courbe B'S' A jusqu'en "S; ce qui étant exécuté, ou aura les deux branches SB' S et S'A S, qui sertmt celles qu'on devra employer dans la formation des aires proposées. Pour cela examinons la nature des fonctions siu[^X -i- /\c>\ — itj et sin[«X — /\c)\ — itj^qui formentles courbes A SB* S et B'S A'^S, en comptant les abscisses X du point d'origine A. et voyons ce que ces fonctions deviennent au delà du point B' et eu det^à du point k\

Puisque les deux courbes A S' B\ A^ S ' B ue sont que la même courbe ASB fis;. 7. p. itx) dans laquelle, nommant x les abscisses, les ordon-

ET LA PROPAGATION DU SON. 17i

nées sont exprimées par sin (^ V— k), la question se réduit à déterminer la valeur de sin [x \'—A) lorsque x est négatif et lorsque x est plus grand que a; soit donc en premier lieu x négatif: on aura, comme on le sait,

sin (— j; v'~" A") = — sin(x y^—kjy

c'est-à-dire que la fonction donnée de x ne recevra point d'autre changement, sinon qu'elle deviendra négative. Soit ensuite x> a, mais < 2a, savoir x= 2a — Zy on aura

sin(^V^^^if j =1 sin [(2a — 2) y— A-j — sin {lay/^ k— z^^ k).

Or, par la valeur déterminée ci-dessus de y^— k, ia\l~- k = vw, et par les règles connues de la Trigonométrie,

sin(vcj — z\ — k) = sin (— z sj—k) — — sinf-z y^ A"); donc, puisque 5 = 2a — ^ on aura, dans ce cas,

sin ix sj— k) =:sin[(?.a — x)\'— k\.

De là il s'ensuit :

i*" Que pour avoir la continuation A'"'S du côté des abscisses négatives de la courbe A"S"B", on n'aura qu'à i*en verser la même courbe au-dessous de l'axe, en sorte que le point A" demeure immobile;

2** Que pour avoir la continuation B"S du côté des abscisses plus grandes que a dans la courbe A'S'B', il faudra aussi renverser cette courbe de la même. façon que l'autre, mais en prenant ici le poirit B' pour fixe.

Je dis maintenant que la portion de courbe A" "S est la même que la portion A' S', ainsi que la portion B"S est la même que la portion B"S", et que par conséquent, au lieu des deux courbes S'B"S et S'A^'S, on peut substituer les deux autres A'S'B' et A"S"B" lorsqu'il ne s'agit que cfavoir la somme des mêmes parties. Je dis ensuite que la somme des aires formées des produits des ordonnées de Tune et de l'autre courbe S'B' S et S" À" "S par celles de la courbe ANB sera égale à la somme des aires qu'on pourra former de la même façon par les ordonnées

des courbes A'S'B', A'S'B", pourvu que dans les espaces AA', BB" on prenne, pour ordonnées de la courbe ANB, celles qui conviennent aux espaces A A" et BB' avec des signes contraires; d'où je déduis que si Ton veut continuer la courbe ANB de part et d'autre de Taxe, afin qu'elle réponde immédiatement à toute l'étendue des courbes A'S'B' et A"S"B", on n'a qu'à la renverser au-dessous de l'axe en AN' et BN", le point A demeurant immobile dans le premier cas et le point B dans le second, connue on le voit clairement dans la^?^. 9.

Fie- y-

Il résulte donc de tout ce qu'on vient de démontrer que pour avoir la valeur de l'expression composée

1 Z sin J\ -h t \c} \— hjJx -h I Z sin [ \ — t \c \ — kj djt,

on n'a qu'à prendre la somme des deux aires qui se formeront par les produits des ordonnées des courbes A'S'B' et A"S"B" multipliées par les ordonnées correspondantes de la courbe N'ANBN". La moitié de cette somme, si l'on suppose U = o, devra donc être égale à l'aire formée par les deux courbes ARB. ASB.

Or, puisque les ordonnées de la courbe ASB, qui est la même que les deux courbes ASB' et A'S^B", renferment la quantité \ —k^ laquelle doit s'évanouir de l'équation, on ne parviendra à se défaire de cette quantité qu'en égalant la valeur de z^ qui multiplie chaque ordonnée de ARB, à la demi-somme des valeurs de Z qui multiplient la même ordonnée dans l'une et l'autre courbe A'S'B' et A''S''B": prenant pour ces valeui's de Z les ordonnées correspondantes de la courbe N'ANBN", on coupera donc des points A' et A", qui sont les origines des courbes A'S'B', A' S"B'', deux abscisses égales à x, ou bien, à cause de

AA' = AA''=/vc

on coupera du point A, origine de la courbe génératrice ANB, deux abscisses d? -f- tyjc et a? — ^\/c, et la demi-somme des ordonnées correspondantes dans cette courbe sera la valeur cherchée de z.

Si Ton suppose la courbe ANB anéantie et qu'on y substitue la courbe AQB {fig. 4» p- i68), on aura par la construction précédente les valeurs de la vitesse u dans le cas où Z = o. Mais si Ton veut avoir égard à la fois aux deux courbes ANB et AQB, il faudra encore faire attention aux autres formules intégrales que nous avons négligées, et qui se construisent de la même façon que les précédentes, avec cette seule différence qu'au lieu des courbes ANB, AQB il faut employer les anb et Xqb [fig- 5 et (), p. i68). On s'y prendra donc a l'égard de ces dernières courbes d'une manière parfaitement analogue a celle qu'on vient de pratiquer pour les premières; il faudi*a seulement observer que, comme les deux formules intégrales qui naissent de chacune d'elles ont des signes différents, les branches A'S'B' et A"S"B" devront être situées l'une au-dessus et l'autre au-dessous de l'axe; c'est pourquoi la partie A'^'S, qui doit servir de continuation à la branche B'S'au lieu de sa partie A' S', se trouvera du même côté de l'axe, comme aussi la partie B"S à l'égard de l'autre branche A" S", dont elle est le supplément au lieu de S"B"; d'où il s'ensuit que les branches de continuation dans les courbes Xnb et aqb se trouveront audessus de l'axe, comme on le voit dans lay?^. lo. On prendra donc dans

Fig. 10.

ces courbes ainsi continuées de part et d'autre les ordonnées qui répondent aux abscisses x-^tsjc e\ x — tyjc en comptant du point A, et leur demi-différence donnera ce qu'il faut ajouter à la valeur de z et de u. La construction que nous venons de trouver est la même pour le fond

m NiU\t:LLES Kli:r.llERCU£S SLR LA NATURE

«|Uo I t'Ilo i|iroii a (loiiiUH' plus haut* maïs elle est plus générale en ce que los oourlK's u^i S4' tnuivoul continuées de part et d*autre par une étendue ogalo i\ Taxe AU: ce qui sut%t pour résoudre tous les cas on / yr ne surl^isM' point «i« comme on Ta supposé d'abord.

Tous les autres cas demanderont donc encore une nouTelle continualion« qu'on piuirrait tnmver aussi en suivant une méthode anali^e à celle que nous avons employée ci-dessus* mais qu'on déduira plus aisément de la rt'ÛeMon suivante. Je considère d'abord le sinus de Pangle » \ ^ \C' \ * 4. qui est celui qui donne des v^ileurs de X plus grandes que a; je trv>uvr que iv sinus ne change point en retranchant de X un mulùj^lc quelconque vie ^a. car siu [ X — ^\c \ — it — axu \ — it] d«^ \iout sin [ \ : \c' \ - A — -:>^I» eu substituaut. au lieu de % — i^, sa

\;&lcur [ iV. JL ctiut uu uv.vuàbre quiekoiii|ue eAtier. ;i:à le se» aii&^.

el jvir cott>e^ue«it. par les règles comittes. ce sinus tieTiea«ini e-^f à viu ' \ : \v.- \ - i L tel qu*if eCaât d*xlN)nI. re\iuiiijie ae mèaie le sinus J<* i^iUlr»^ su^\t^ \ — :\c \ — i. *r*}a uaissent les v-dleur^ ae^dvtr? ok* \. et i^' v«,«i>qiie ce siuus Jeuieore le même «^u ijouCanc a X un oiuly^tK' v^aetojuque Je xu. oujt «ju trvu^e ia;5si

tUi^'iK iiur> ju iiiiiifiurt.-s«ifr* *a, tft 4'jr,. .. '<ln^ iii'l ^u 7->uire nnruii iiàu^tt'iiii'ui iuiis r/s :urMmies iiUHîiniltf>: Cm j >uit jup **> ir'inaa»'»'^ 1 «MiLt-^ .»•> .ti)54. •^^<•> iifisi iu;iine«tt-v> »u uiniiiue^*'- -^-nnt it*»*-'!"?uir^ m iii .o uc»iu>. LVuii . :juisqui- iwus i^mus -*-iesî<us rniv^ iihvhq f-^ I iiul-r i-v vur«H> Wiuc4/w«'t4«#rt3s. ;uîH4U 11 "^s^is«*e la i'xiï -nie. ■?«: li:^ |u i ii»î<»>5< i n- tiiir»-. iii ;K»uf*rt i 'jn->e*it t*v -^leuùrr Oiut lu" m ^■•uur?». ou ^piU(UaiK M .«htefue iûm'^^^w -^virtme^ larr :r î n* '* imuii- 1%^ >|ui *iu*itrui .• &k MlUpie tfcte<>S^<r C. lOllt tt vaieMT 'TH SliH}*»^^ "•••*• mut -Mil-» t5^ iàiiUe<s -- ^tâ ^i - ^. U le uaum (loiir rtu lu»* rniirjK'K'f* Nat»*>^^tiu»»u f ou*4. if iuV.* .uuie u *HirtKf UU t?Ut»u»l i

Tabscisse 2a, et qui est composée de deux branches égales» situées Tune au-dessus et l'autre au-dessous du même axe; d'où il résultera une courbe continue et de figure anguiforme, c'est-à-dire contenant plusieurs ventres égaux situés alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe. Nous appellerons les courbes ainsi formées courbes génératrices.

On fera la même chose à l'égard des autres courbes formées par les tangentes et par la quadrature des courbes fondamentales; mais comme la portion de ces courbes, qui répond a l'abscisse 2a, est composée de deux branches égales, situées l'une et l'autre du même côté de l'axe, la courbe qui résultera de la répétition de cette partie contiendra aussi plusieurs ventres égaux, mais tous placés du même côté de l'axe.

Voilà comment, par la simple description réitérée des branches données ANB, AQB, anb, Xqb, on peut prolonger toutes ces courbes à l'infini, et avoir par conséquent des ordonnées réelles pour toutes les abscisses exprimées par x -\- t\'c eix -r- t\/c, quelle que soit la valeur du temps t; ce qui suffit pour que la construction des valeurs de 2 et de w ne soit plus sujette à aucune exception.

^ Le problème dont la solution nous a jusqu'à présent occupé est le même que celui qu'on a résolu dans le Chapitre V des Recherches précédentes; car il est facile de voir que les équations du n*^ XIX, dans le cas où le nombre des points mobiles est infini, peuvent se réduire à la formule

générale -t— = c-j-^- Aussi la construction que nous venons de trouver

s'accorde entièrement avec celle qu'on a donnée dans le n"* XXXIX, ei plus amplement dans le n^ XLV, ce qui doit être regardé comme une confirmation de la justesse et de la bonté de nos calculs.

Remarques sur la solution précédente,

8. Quoique la solution précédente soit beaucoup moins compliquée que celle qui se trouve dans mes Recherches sur le Son, elle l'est cependant encore à un point qui la rend assez difficile à suivre. C'est pourquoi il me parait bon de l'éclaircir par quelques remarques, qui fassent con-

!7l> NOUVELLES RECHERCHES SLR LA NATURE

iiaitiv plus à tond la nature et l*esprit de la méthode qui nous y a eonthiit.

<A>muie la question est de trouver les mouvements d*une infinité de points mobiles, dans la supposition que leur état d*équilibre ait été dérange d*une manière quelconque, on ne peut pas, ainsi qu*on Ta prouvé plus haut, exprimer tous ces mouvements par une seule formule générale: mais il faut regarder au contraire chaque point mobile comme isole, et en chercher le mouvement, en résolvant comme autant de problèmes a la fois qu'il y a de points mobiles dans le système donné. Une telle question demande donc, pour être pleinement résolue, d'autres procèdes que ceux de l'analyse ordinaire: c'est ce que M. d'Alembert a eu soin d«» faire remarquer au sujet des cordes vibrantes, dans l'article U de son Addition au Mémoire sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration. tuiprimee parnii les Mémoires de i' Académie de Berlin pour Tannée 1700. Ikins tout autre cas, dit-il c'est-à-dire dans tous les eas où la courbe initiale n'aura poinl les conditions prescrites par cet Auteur , le problème ne pourra se résoudre, au moins par ma méthode, et je ne sais même s'il ne surpassera pas les forces de l'analyse connue. En effet, on ne peut, ce mt semble, exprimer y analvtiquement d'une manière plus générale qu'en la supposant une fonction de t et de s: mais, dans cette supposition, on ne trouve la solution du problème que pour le cas où les différentes figures de la (*orde vibrante peuvent être renfermées dans une seule et même équation. Dans tous les autres cas U nuf parait impossible de donner à y une forme plus générale,

La melhode que nous avons exposée ci-dessus est une réduction de celle que j'ai inventée pour résoudre le problème des vibrations d'une corde chargée d'uu nombre indéfini de petits poids: ainsi elle remplit L» condition que toits les points mobiles soient considérés chacun en particulier* et en même temps elle n'est pas sujette aux ditïïcultes qui se présentent en passant du nombre indéfini des points mobiles là un nombre réellement infini.

Le fondement principal de l'une et de l'autre de ces méthodes, c'est ringenieuse analyse inventée par M. d'Alembert pour intégrer des équa-

tions diflerentielles d'un degré quelconque, et contenant un nombre quelconque de variables, pourvu qu'elles ne paraissent que sous une forme linéaire. Aussi est-ce une justice qu'il faut rendre à ce savant Géomètre, que de reconnaître que nous lui devons le principal secours qui nous a aidé à franchir les difficultés que lui-même semble avoir crues insurmontables à l'analyse.

A l'égard des procédés de nos deux méthodes, ils ne diffèrent d'abord entre eux que parce que l'on a substitué, dans les derniers, des différentiations et des intégrations au lieu des sommes et des différences algébriques qui se trouvent dans les autres; mais, comme jon pourrait craindre que ces opérations n'entraînassent les inconvénients qu'on a indiqués dans le n" XV des Recherches précédentes ^ il me parait utile de développer cet objet plus en détail, en rapprochant l'analyse que j'ai donnée cidessus de celle du Chapitre III dès mêmes Recherches.

J'imagine d'abord qu'au lieu de la simple équation générale -r- = cy-^,

qui appartient à tx)us les points mobiles, il y en ait une infinité dont chacune représente le mouvement de chacun des points en particulier; mouvement qui dépend d'ailleurs de tous les autres, puisque la différentielle d^z qu'on prend, en ne faisant varier que x, exprime la différence seconde des valeurs de z pour trois points consécutifs. Je multiplie donc chacune de ces équations par un coefficient indéterminé M, ou plutôt par la quantité Mdir, en regardant M comme une variable qui peut convenir à toutes les équations en général, et j'en prends la somme par une intégration indiquée à la manière ordinaire.

Maintenant, comme il s'agit de joindre ensemble les coefficients de chaque valeur de z qui répond à chaque point mobile, je transforme mon équation intégrale en sorte que les différentielles de z dépendantes de X s'évanouissent.

Les transformations dont je fais usage dans cette occasion sont celles qu'on appelle intégrations par parties, et qui se démontrent ordinairement par les principes du calcul différentiel; mais il n'est pas difficile de voir qu'elles ont leur fondement dans le calcul général des sommes

•M ii('.< (lill*'n{iii:ffM (ton il iiiiii (|iriiij ii'ii piuul u t^ruùidrt (r'iiinrtiCi'imipe jiîif ii: Uauh mur* f;ahîul HUttuiif- loi df ciuitiiiuUf- mim ItM^ ilrfi*irf*iiîl*^

|îii-iifMii (|*'h 'ru^'llit^i^nit^ d*'h U^?niH!h (*urn?HjM»iiduiitf r ♦M — -^ : *îî jf 'CT':*D^'r

jM»u* ••**lr uii« ♦îi|uali4»ij dilltirtîutuîllf du dttuxitsmc df^rrt^.. gui îv:'1i1>hlii lin* iiuuv^dl* uid*îUînniii*^t (h»uh1uuU' L, «î dniii J'ml<'4!rutinL fiiîriaî*r *Mifuv» daiih in vaUîu» d* iVl df^ux autrtîf c.ouHtuulttf wljrtniiifîK. it cit-irr-

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hiîrti|ii» it == Ci. puihqu*-. Wrfr vaUmrh df x triant uullt* daiif ctî*- 'iriii jiniiiih. l♦*^ M qui U?f uiuluplitml Dt* d(^ivtiu1 uol jiluf jfx'iiif Ôw- TiLlfiirs ♦••î♦•il*'^: fiaf <:*■ iii(»yiu (»L lail difijiaraitrf df r«igui£ti(iij xirt-^^fTiii*- Je?- 4vnii»*v iju: ^luiî aiiht'iuuif^iil al^t'liriqu^K, tn qui auraimil d'ailiffiLTs' -eiiif^t^ ♦•u» i» •••*.sî* d**h i»}»*M'i;.li'inf. (>^ dt^ux (•(•Dditi(»iif iaii***«ijt rshc-i^rt iiiôflirriiiiu'f* Is xui**u! tf'uii* (UiiislauU' jiai laqutJW loult- ^^l:Jm^**s)c•u àt }i t>i niiJMji!i»î* : math c^'tt*- coiisluutf f\'vaD(»TLit taisiiilf d'.f!l]<*-Jiifiw- f*itr la dr\i«ioii. ^\ ÎV!;:urd d^ ih constiiut*' i. <»l ti*<»in'f* uii^ infmjlf- àt- viilr-urs dïri*'?»*ui»*h qui louUrf lui (•.(»iivifiiiieDl fî^aJt^nifîDl, «fl Ô(»iil it ixt-mi^re iv- |iuii(! i. »;*'lui d*f ♦iquittioDf jiaaliruJiêre*» qD*(»D n*(iin ù lîi Iciis, C-e*! dr •:» immlir* iuliifi d** vaitrur*» df* i quf dé}i«jd fnsuiVf U àrtrtrniiiMiîàon Jt-

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ET l,\ PROPAGATION DU SON. 179

Jusqu'ici eetlo analyse est parfaitement d'accord avec celle du Chapitre cité de mes Recherches; mais elle en diffère entièrement dans la suite, où il s'agit de tirer les valeurs de z et de u.

Comme il est nécessaire que nos dernières formules soient vérifiées, quelque valeur qu'on donne à k, parmi le nombre infini de celles qu'on a trouvées, il est visible qu'il faut chasser cette mémç quantité k à l'aide d'autant d'équations particulières qu'il y a de différentes fonctions de k. C'est k quoi nous sommes parvenu en employant différentes transformations et réductions, dont on a rendu compte dans le cours de cette analyse, et qui me paraissent les seules capables de remplir l'objet proposé.

La construction (ju'on a donnée ensuite des valeurs de z et de u par le moyen des courbes génératrices, et la manière de continuer ces courbes à l'infini de part et d'autre, dépendent d'une considération intime sur la nature de nos formules. Il est vrai que les principes d'où l'on a tiré cette construction pourraient paraître trop recherchés, mais elle n'en est pas moins démonstrative et certaine; ce n'a été (|ue pour conserver une entière rigueur que j'ai été obifgé d'avoir recoui*s à de tels principes; car, dès que l'on aura démontré dans deux ou trois problèmes de cette sorte, (|ue la nature des courbes génératrices cs^i la même que celle qu'on trouve en supposant ces courbes représentées par une fonction régulière et continue, ainsi (|ue l'a fait M. d'Alembert/lans sa solution du |)roblème des vibrations des cordes, on sera assez fondé à appli(}uer la méthode de ces fonctions aux cas mêmes où r(m voudra supposer* qu'(»lles n'ai(»nt poini lieu.

9. Après tout ce que nous venons d'expliquer, il ne sera pas ditlicile de déterminer le degré de généralité dont notre méthode est susceptible. On verra premièrement (lu'elle ne pourra réussir à moins que l'indéterminée z et ses différences ne se trouvent que sous une forme linéaire, et, déplus, qu'elles ne soient point mêlées avec la variable /; lorsque ces conditions seront observées, quoique les différentielles de z montent à un degré plus haut que le second, et qu'il y ait même un terme sans z qui soit une fonction queh^onque de / et de x^ on pourra toujours se ser- .

'ittin-ifL. u. i.Mfj>A*rr. t)iu «^^^^ -Ml' '*'ni<<;rrt1.f<M V«— tMiUtll-JH'--fl M -? •-». . vf^ii^î.r./ii 44tj iw r.4i#«ji/ri^4i .511V «#fUi«.Hit4 .<rfiriijtiarpe^m -âJt-oi me-

t^ti* uiTés^UîH* •>•:. «.^i^iKtiiiiM i^ uuHiiiii* j fiu i dJu^ïiiF' iD^ oiinife

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* *Mi' V. t|ii iv* II' ié ifv*?iiu'n^ *.'(i]i(imiii. nu «M' iii^iuunifflr ^nititifieii- ^iiii» i*«iu. intH^ ii««Hiiw(iv I *«* iiK»» (*<• lèfjniiiiiiTfr iu'^îIh uira îuiiiuiu^s î*«ri «i.uc !•..- iiiuuvMiu>niK t* ui -iH%siMîiH iiiHtimiiiiiH c' uh iiimbiv* ioiiiii u* >/iitUi. tii\iiiii>'c iu*;;inip '^-^t iiiiipvMiiHnti^ -wn-iiii: iiiui]M»«f*f 'niimiiiifur l/*tiiL- •.\tttiiii» i> ^\iu -ai|R i*<î iiiuuviiimittf rwîîornnittî^ ni m 'àbwfn?**

^HAMT»£ BBO..

^h'if ''fa^. fKf^if ^^f^of^T b pr^j'fAjr^t^>D dn *f>D «fo tt>ate ri^ihmr. il fau- •'h/^t fii^if^Afp \p^ P»fmn\^^ ^^u^^nA^ qa^ M. Ealer a d*>Dnre$ dans ses n^fh^r^h^f vn tf9 ffrnp^f^aiion He% fhmnitmenis dans un milieu élastique %liffplhtnpa Tffffrinen^in, f . II. ji. i . Mal* ce* formales D*éUiDt point du ffftfffttff' f\f* r^llp* ^ftt |p4quf-||i^ notre méthode peut avoir prise* il faut f^noîK^f pour k pfPS4pnf, rV^t-ànJire jo9qu*ii ce qu*on soit aidé par de ffouv^'îifii <5f»roufS4 à fout^ théorie de hi propa^tion du son envisagée ^ou< r^ point de vu^. Opendant, romme il est très-probable que les

ébranlements des particules de l'air, pour produire le son, doivent être infiniment petits, ainsi que nous tacherons de le prouver dans la suite, on pourra s'en tenir aux formules que M. Euler a aussi données pour ce cas; formules qui sont sans comparaison beaucoup plus simples que les premières, et qui, par la raison qu'on a dite plus haut (9), rentrent nécessairement dans la classe de celles qu'on peut soumettre à notre analyse.

Quoique la manière dont M. Euler a trouvé ces formules soit sans contredit la plus directe et la plus rigoureuse qui se puisse imaginer, (Cependant, puisque la supposition des ébranlements infiniment petits rend le calcul incomparablement plus simple, j'ai cru qu'on ne serait poini fâché de le trouver ici.

Soient X, Y, Z les coordonnées rectangles qui déterminent la position d'une particule quelconque de fluide dans l'état d'équilibre; supposons que ces coordonnées, dans le temps t, deviennent X -f- j?, Y -f- j, Z-\- z\ il ne §era pas difficile de voir que, si les quantités x, y, z sont supposées infiniment petites, le parallélipipède dXdYdZ, qui représente une particule dans l'état d'équilibre, pourra être censé se changer en un autre

{d\-hdx){dY-^dx){dZ-hdz),

ou, en négligeant les puissances plus hautes de dx, dy, dz,

dXdY dZ -r- dXdY dz -\- dXdZdy-h d\ dZdx.

De là il suit qu'en nommant E l'élasticité naturelle de la portion infiniment petite de fluide renfermée dans le premier parallélipipède, l'élasticité de la même portion, lorsqu'elle remplira le second, se trouvera, (»n négligeant ce qui se doit négliger,

'EdXdYdZ

dXdY dZ -h dXdY dz -h dXdZ dr -^r dY dZdx'

„ r, { dx dy dz\

Soit prise maintenant la diflerence de cette quantité, en ne taisant varier

que X, et l'on aura, E étant constant,

Ux^"^ d\d\ '^ dXdZJ

pour la différence d'élasticité de deux particules intiniinent voisines el placées dans là direction de la ligne X; donc, si Ton considère une autre particule intermédiaire à celles-ci, et qui leur soit contiguë par tous les points des deux faces opposées dXdZ^ il est clair que cette particule sera repoussée par l'excès de l'élasticité de la particule antérieure sur celle cl(* la particule postérieure avec une force qui sera exprimée par

""■ ^/■fe)"''^''^-

Otte force, divisée par la masse à mouvoir, qui est ici (en posant D pour

la densité naturelle du fluide) Dd\dX dZ, sera donc r -tt^-^ h étant

l'espace qu'un corps pesant parcourt dans le temps T; d'où Ton aura

l'équation

T^ d'x E l(Px d\r d'z \

^ilïF "T) \d\^^ d\d\ "*" d\dz)'

On trouvera de même, par un semblable raisonnement, les deux autres

équations

*" '\y E /dy d'x d^z \

^r"" D VTV^ '^ dYd\ '^ dYdz)'

T^dy E /d\r d'û

^Ti ~dr-

7J1 lîF

P ~~T^\dT' '^dZdX '^TfzJY')'

Il est visible que ces trois équations s'accordent avec celles de M. Euler,

en posant, selon les hypothèses de cet Auteur, h = g, jr= h, T = i, el substituant/?, q et r pour x^ y et z.

11. Au reste, ces formules sont fondées sur l'hypothèse que l'élasticité de l'air soit proportionnelle k sa densité; mais il n'est pas difficile de les étendre à telle autre hypothèse qu'on voudra.

Pour embrasser la question dans toute la généralité possible, supposons que l'élasticité de l'air soit comme une fonction quelconque de la

densité, de sorte que nommante la densité dans un instant quelconque, Télasticité correspondante soit exprimée par Eff{s); il est clair, par les calculs du numéro précédent, que

DrfXrfYrfZ

-. ,^ I dx dr dz \

{d\-\^ dx)(dY -\- dy)[dZ + dz)

donc, à cause de dœ, dy, dz infiniment petits par rapport à </X, </Y, d'L, on aura

E,(,) = E9(D)-(^-.^+^)eD9'(D).

9' marquant une telle fonction de 9 que 9' (5) = d

Maintenant, comme D est une quantité constante, les différences de £9(5) seront exprimées simplement par

d'où Ton voit que, pour avoir les équations du mouvement du fluide, il ne faudra qu'écrire au lieu de E, dans les calculs du numéro précédent, ED9'(D), ouE9'(D) simplement en posant D = i.

Si le fluide était composé de parties de différentes densités, il faudrait regarder alors la quantité D, non plus comme coilstante, mais comme une variable exprimée par quelque fonction de X, Y, Z. Ainsi, on parviendrait aux trois équations suivantes :

E rfDo (D) 1 dx dr dz\ E Jy(D) "^ I) (ix \d\ "^ rfV "^ dz) \) d\ '

?.h dr -^"^ ^^^\d\^^ d\d\^ dYdz)

E rfD9 (D) / dx^ dy^ dz\ E d(^{D) \d\ ^rfV '^ dz) J) d\ '

D dY

^ 77^ = *^^? (^^ [dï'^dzdx^ dzh)

(dx dr «/^ \ E dojU) \d\ ^ d\ ^12) . D rfZ ■

E (/D?'(D) /rfx l> d'I

Supposons, par exemple, que la différente densité des particules du fluide vienne du poids du fluide supérieur; dans ce cas, quelle que soit la fonction 9, on aura toujours, en supposant que la direction de Z soit verticale,

Erfo^D;

rfZ

d'oii Ton trouvera la valeur de D qui sera une fonction de Z seulement. De là on pourrait tirer les équations nécessaires pour trouver les lois de la propagation du son, en ayant égard à la densité variable des couches de l'atmosphère; mais, pour ne pas trop nous engager dans des difficultés de calcul, nous nous contenterons dans tout le cours des recherches suivantes de regarder la densité de l'air comme constante; ce qui ne nous éloignera pas sensiblement de la vérité, pourvu qu'on ne considère la propagation du son que près de la surface de la terre. C'est donc sur les équations du numéro précédent que nous fonderons principalement nos recherches sur la propagation du son; mais, comme ces équations sont encore trop compliquées a cause des trois variables qu'elles renferment, il sera bon de commencer par les simplifier au moyen de quelques hypothèses qui limitent le mouvement de chaque particule de l'air. Or, de toutes les hypothèses qu'on peut employer pour cela, les plus commodes et les plus conformes à la nature sont les deux suivantes. La première consiste à imaginer la masse de l'air réduite a une simple ligne physique, dans lequel cas on fait disparaître a volonté deux variables quelconques x et v, avec leurs correspondantes X et Y. La seconde hypothèse est de supposer que les ébranlements se propagent dans toute la masse de l'air par des ondulations sphériques autour dû corps sonore; dans ce cas chaque couche concentrique d'air est supposée subir le même ébranlement dans toutes ses parties; d'où il suit que la détermination de l'ébranlement de chaque couche ne peut dépendre que du temps / et du rayon de la couche, c'est-à-dire de la distance du corps sonore.

ET LA PROPAGATION DU SON. m

§ I. — Z>e la propagation du son dans une ligne physique d'air.