Si Ton fait, selon la première hypothèse

x = o, y = o et X = o, Y = o,

et qu'on pose, pour abréger, c au lieu de Tp-jy» on trouve l'équation

qui est la même que celle que nous avons appris a construire dans le Problème I, Z dénotant ici la même chose que x\ d'où il suit que, pour avoir les lois de la propagation du son dans cette hypothèse, il ne faudra qu'appliquer la construction donnée, suivant les différents ébranlements excités par les corps sonores et la nature du milieu élastique qui les environne. Quoique cette matière ait déjà été traitée dans la seconde Section de mes Recherches sur le Son, elle peut néanmoins l'être encore d'une manière beaucoup plus générale. Je la reprendrai donc ici avec d'autant plus de plaisir qu'elle me donnera occasion de faire plusieurs remarques nouvelles et importantes.

Que la droite PQ [fig, 1 1) représenle une ligne physique d'air étendue

Fig. II.

d'un côté et de l'autre à l'infini, et qu'au lieu de supposer, comme je l'ai fait dans la Section citée, que la seule particule P reçoive du corps sonore une impulsion quelconque, on imagine que toutes les particules contenues dans l'espace PQ soient ébranlées en même temps, PQ représentant, suivant M. Newton, h pulsion primitive de la fibre sonore; il s'agit de déterminer les lois de la propagation de cette pulsion. Ayant tracé pour cela, selon ce qui a été enseigné plus haut, les deux courbes fondamentales, qui représentent les déplacements primitifs des particules, avec les vitesses qui leur ont été imprimées, et ayant construit de même les deux autres courbes qui résultent de la quadrature et des tan* I. a4

SM >Of:V£LLE^ ftEi:HERLBEd !^LR LA NATURE

jçp^tïti^ ffrr rAlfr¥^:i, rt ({Ut> Qoiià app«^Uen>Dà «ioréoaTSiDt courbes démtes. on rf^mar«)ii«»ra :

f"* Q]]** |#>H. cnwrkin^ fondamentaUs à«* terminen)Dt o«*ceîk>airemeDt aux ♦Ifriix p*'iinf> P i>t Q qui .s>nt le? limiter* dr r^gîtation primitive, par supposition :

y Ouf , puisqu*- la tibn? at*rî«*nne est supp«>see sVtenJre à Tinfini de part et »raijtre, am^nne «I** s^^ partirules ne p«>arra être abs4>lumeDt fixe: dViij il suit que les extrémités A et B des courbi^ /omiamtniales, qui sont eensées tlxe^,, devront dans ce cas être reculées à l'infini, ce qui fera disparaître toutes les branclu^ de continuation, en si>rte que les courbes génératrices ne renfermeront aucune ordonnée réelle au delà des points PetQ:

y* Qu'il en sera de même p«>ur les courbes dérisrèes. excepté celle qui dépend des quadratures, laquelle ilégénérera du côté de Q en une droite parallèle à Taxe, comme il est facile de le voir en examinant la génération de cette courbe.

f>s choses posées et bien entendues, voici comment je raisonne. Je suppose que Ton demande Tétat de la particule qui répond à Tabscisse x j^mt un temps quelconque / écoulé depuis le premier instant du mouvement. Je n*aurai qu'à prendre la demi-somme des ordonnées dont les absi'isses sont x -^^ t\c ^\x — i\c dans les deux courhes fondamentales. et la deminliflerence des ordonnées pour les mêmes abscisses dans les courbes dérivées, et joignant ensemble la première des demi-sommes et la seconde des demi-flifférences, comme aussi la seconde demi-somme ^t la première demi-différence, j*aurai Tespace parcouru par la particule pendant le temps donné / et sa vitesse à la fin de ce temps. Je vois donr que cet espace et cette vitesse seront toujours nulles, lorsque Tabscisse x±.t\c restera en deçà du point P; ensuite que Tespace sera constant et la vitesse nulle, lorsque Tabscisse x±.t\c tombera au delà de Q. D'où je conclus que, pour un temps quelconque /, il n'y aura et il ne pourra y avoir d'autres particules en mouvement que celles pour lesquelles la valeur i[tx±it\c sera plus grande que la distance du point P au point Â,

et moindre que la distance du point Q au même point A, qui est toujours l'origine des abscisses, quoique placé à une distance infinie. Examinons séparément les deux cas de oc -h t y^ c et de œ — t \ c .

Soit/> la distance entre le point A et le point P, et soit x=p'^-z, z sera une nouvelle abscisse qui aura son origine en P. Posons maintenant en premier lieu

on aura

posons ensuite

on aura

Par là on peul avoir les limites de ]*agitation des particules dans le temps /, en tant qu'elle résulte des termes dépendant de l'expression or — /\c; car il ne faut que prendre sur la ligne PQ les points P' et Q' tels que PP' = /vc et P'Q' = PQ, et la portion FQ' de la fibre sera la seule où cette agitation aura lieu. On trouvera de la même manière les limites de l'agitation des particules qui dépend de la valeur de ^ -i- t\c\ car, en faisant

p -h z -h t \'c = p el p-h z -\- t ^/c=p -h PQ, on a deux valeurs de z, savoir

z = — tsc et z = VQ — t),c.

On prendra donc de nouveau, sur la même ligue prolongée du côté opposé, deux autres points T et Q tels, que P'P = / \^ et P'Q = PT— PQ, c'est-à-dire que 'P'Q=PQ, et tous les mouvements, dont la détermination dépendra de la valeur de ^r-f-Zy^, seront renfermés dans ce dernier espace 'P'Q.

De ce qu'on vient de démontrer il s'ensuit que 1» putàon primitive,

i88 NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE

c*est-à-dire Tonde excitée par le corps sonore dans Tespace PQ de la tibre aérienne indéfinie, s'est comme divisée en deux autres, qui, dans le lemps ty ont été transportées, Tune à droite en P'Q', et l'autre à gauche en T'Q, conservant toujours la même étendue PQ. Pour connaître la vitesse de la propagation de ces pulsions secondaires, on n'a qu'à chercher ceHe des points P' et T, dont la position par rapport à P est déterminée généralement par les équations

z = t\c et z=^—t\'c;

donc puisque z représente ici les espaces parcourus par ces points dans le temps t, il est évident que leur mouvement sera uniforme et leur vitesse égale à \'c, et que cela aura lieu quelle qu'ait été la nature de la pulsion primitive. Il est inutile de nous arrêter à examiner la valeur de yc

qui est -^ jT""' puisque cette expression, en substituant pour -^ la

quantité A ou nk qui est sa valeur, devient la même que celle qu'on a trouvée ailleurs (LVI), et que M. Newton a déduite de sa théorie, comme on l'a déjà remarqué ci-dessus (1 ).

13. Ce serait ici le lieu de faire voir l'application de la formule générale que nous avons trouvée d'après les Principes de M. Newton dans le numéro cité; mais cette formule étant entièrement semblable à celle que M. d'Alembert a donnée sur les vibrations des cordes, il est clair qu'en admettant les fonctions discontinues qui sont indispensables dans la matière dont il s'agit ici (4), on aura la même construction que nous avons donnée (7), et que, par conséquent, la théorie de la propagation du son qui en résultera ne sera point autre que celle qui vient d'être expliquée. Parla on prouvera aisément ce que l'on a avancé plus haut (1), que la vitesse de la propagation, selon cette théorie, est déterminée par la

quantité ^^^^ qui divise x dans les fonctions (p et ^.

14. La manière dont nous venons de considérer la propagation du son

est beaucoup plus générale et plus conforme à la nature que celle qu'on a employée dans le Chapitre I de la Section II des Recherches précédentes. En effet, Thypothèse que j'avais adoptée dans cet Ouvrage, savoir qu'une seule particule d'air fût ébranlée par le corps sonore à chacune de ses vibrations, ne parait pas pouvoir subsister avec l'équilibre mutuel de toutes les particules de la fibre; il me semble beaucoup plus naturel d'imaginer que la première particule poussée par le corps sonore condense jusqu'à une certaine distance les particules suivantes, pourvu que cette distance ne soit pas telle, que les pulsions ou ondes sonores qui se succéderont les unes aux autres puissent se troubler et s'entre-détruire, comme il arriverait nécessairement si le temps qu'elles mettent à parcourir leur largeur était moindre que l'intervalle du temps entre deux vibrations successives du corps sonore. On pourra déterminer les limites de la plus grande largeur des ondes, en prenant le nombre des vibrations que fait dans une seconde le son le plus aigu que nous puissions entendre et divisant par ce nombre l'espace que les ondes sonores parcourent dans le même temps. Ce nombre peut se déduire rigoureusement de la formule connue des vibrations des cordes, que nous avons démontré être exacte pour quelque figure que la corde prenne; si donc on s'en tient à ce que dit M. Euler dans l'Article XIII de sa Théorie delà Musique, on aura le nombre 7020, par lequel divisant le nombre 1240 qui exprime (?h pieds l'espace parcouru par le son dans une seconde, selon les expériences moyennes, il viendra pour quotient i pouce et 2 lignes environ, qui sera par conséquent la mesure de la plus grande étendue que puissent avoir les ondes sonores pour former des sons distincts et perceptibles à l'oreille.

15. Jusqu'ici nous n'avons encore considéré que le mouvement progressif des ondes sonores; si on voulait aussi connaître les mouvements particuliers qui les composent, on les trouverait aisément par les principes établis ci-dessus.

Supposons que x ou bien z soit donné, au lieu de ^ dans les équations

la différence des deux valeurs de t nous donnera la durée du mouvement

de chaque particule de l'onde P'Q', laquelle sera -^- Or, puisque \c est

la vitesse constante avec laquelle les ondes avancent continuellement, il

est clair que l'agitation de chaque particule ne durera précisément que

le temps que l'onde met à parcourir toute sa largeur PQ. Il en sera de

même pour les ondes propagées du côté opposé, ce qu'il est aisé de

reconnaître par le moyen des deux équations

z — — t\'c ex r = PQ — / V c

qui leur appartiennent.

Pour ce qui est de la nature de chaque mouvement particulier, il faudra la déterminer par la construction générale des espaces et des vitesses. On trouvera pour cela :

i^ Que toutes les particules subissent successivement la même agitation dépendante de la nature.de toute \^ pulsion primitive;

2^ Que, si on suppose que la pulsion primitive consiste dans le seul déplacement des particules, sans aucune vitesse imprimée, l'agitation de chaque particule ne sera composée que d'une seule allée et d'un retour a son lieu d'équilibi'e, après lequel elle demeurera immobile;

3^ Que, SI l'on suppose au contraire que la pulsion primitive ne consiste que dans l'impression d'une certaine vitesse, les particules, pendant tout le temps de leur agitation, s'écarteront continuellement de leurs points d'équilibre et n'y reviendront plus comme auparavant;

4*^ Qu'cniîn, si Impulsion primitive dépend de l'une et.de l'autre cause, l'agitation des particules sera composée de celles dont nous venons de parler, ce qui parait être le cas de la nature.

16. M. Euler, dans une lettre du 33 octobre 1759, m'a fait l'honneur de me mander que la lecture de mes Recherches sur te Son lui avait suggéré le dénoûment d'une difficulté qui s'était présentée à loi depuis longtemps. Cette difficulté consistait a savoir pourquoi, les ébranlements primitifs se répandant d'abord naturellement de deux côtés opposés, les

ébranlements dérivatifs ne se propagent plus que d'un seul côté et toujours suivait la même direction. La raison de cette différence dépend de la nature particulière des ébranlements dérivatifs, qui est telle que leur propagation ne peut avoir lieu que d'un seul côté.

Pour s'en convaincre, qu'on examine les fgrmules des valeurs de z el de u trouvées a la fin du n® 6, et supposant que z et u soient les excursions et les vitesses données, qu'on cherche celles qui en résultent pour un temps quelconque ^ et pour une particule quelconque déterminée par l'abscisse j/. Il est visible qu'il n'y a pour cela qu'à substituer s à la place de Z, et 1/ à la place de U ; et désignant par z' et u' les valeurs cherchées, on aura

Maintenant on sait, par ce qu'on a démontré (12), que les termes dont les exposants sont {œ — t \'c) sont les seuls qui déterminent la propagation suivant la direction PP', et que la propagation suivant P'P dépend simplement des termes qui renferment la quantité {x -h t\c); donc, pour connaître la propagation des ébranlements de l'onde P'Q', il ne faudra substituer, au lieu de z et de m, que les seuls termes

o. 2 \iix I

ce qui donnera, en posant a;' dz /' \ c au lieu de x dans les exposants.

-UiM'^'"''"-iM'''"''"']

in NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE

// = y \l'''-Hr'\c-/\7).^ ^•r,'--,'^/7-rv^) .

-tLU) "■(a^j J

Dans très formules il est visible que les ternies dont les exposants renferment la quantité -\-t\c s'évanouissent tous d'eux-mêmes, et qu'il ne reste que ceux où la même quantité se trouve avec le signe négatif; d'où il s'ensuit que la propagation des ébranlements z' et u! ne peut se faire que dans le seul sens PP'.

On prouverait la même chose pour les ébranlements propagés d'abord suivant la direction opposée PT; car, en substituant pour zeiu les seuls termes dont les exposants contiennent -f- / yc, on verra que les formules résultantes ne seront composées que de termes où la quantité tf\^c se trouvera avec le signe -h.

17. Nous avons supposé ci-dessus que la fibre aérienne était infinie de l'un et de l'autre côté, et cette hypothèse nous a donné des courbes génératrices composées d'une seule branche terminée de part et d'autre, et pour ainsi dire isolée. Mais il n'en serait pas de même si la fibre était elle-même terminée des deux côtés ou d'un côté simplement; car, puisque la manière de continuer \^s> i^ouvhns fondamentales et dérivées ei>\ générale, et que les extrémités fixes de la fibre sont les points autour desquels on doit, pour ainsi dire, faire tourner chaque branche pour en avoir la continuation, ainsi qu'on Ta enseigné (7), il est évident que, dans le cas d'une seule extrémité fixe, les courbes génératrices seront

composées de deux branches égales et semblablement situées de part et d*autre du point qui constitue cette extrémité, et que dans le cas de deux extrémités fixes les courbes génératrices auront un nombre infini de branches égales et semblablement situées autour des deux points qui constituent les extrémités données. De là, si on cherche la propagation des ondes sonores par la méthode du n^ 12, on trouvera sans beaucoup de peine que chaque onde, venant rencontrer une des extrémités fixes, devra se réfléchir, pour ainsi dire, et retourner en arrière avec la même vitesse et conservant la même nature qu'elle avait avant la réflexion, d'où il résultera des échos simples ou composés, ainsi qu'on l'a expliqué (Chapitre II de la Section II des Recherches précédentes).

Je ne m'arrêterai pas ici à démontrer plus en détail cette théorie des échos, non plus que les autres propriétés du son, qui dépendent des principes que nous venons d'établir. Il ne faut que relire attentivement la Section citée pour voir que les propositions qu'on a démontrées, en ne considérant que des mouvements instantanés dans les particules de l'air, sont aussi vraies dans l'hypothèse présente des ondulations.

Mais il est un point essentiel de la théorie du son, dont on n'a pas encore parlé jusqu'à présent; c'est son intensité. Or, de ce que les ondes sonores ne souffrent aucune altération en parcourant un espace quelconque, comme on l'a fait voir (12), il est simple de conclure que l'intensité du son sera constante et indépendante de la distance du corps sonore. Mais cette conclusion ne peut avoir lieu que dans l'hypothèse que le son soit obligé de suivre une seule et même direction, comme si l'on supposait l'air renfermé dans des tuyaux ou des conduits assez étroits par rapport à leur longueur; ainsi, dans les aqueducs de Rome, le P. Kircher rapporte que les sons ne reçoivent point de diminution sensible par l'espace de 6oo pieds environ. Il n'en est pas de même pour l'air libre, dans lequel le son se propageant de tous côtés à la ronde doit s'affaiblir à mesure qu'il s'éloigne du corps sonore; et c'est ce que l'expérience journalière apprend, et que nous allons aussi démontrer par la théorie, en adoptant la seconde hypothèse du n^ H qui reste encore à examiner.

I H. — be la propagaiion du son dans l'hypothèse des ondes sphériques,

18. Dans cette hypothèse on consenre à la masse de Pair ses trois dimensions; mais on suppose que, ayant prb un point fixe pour centre* toutes les particules qui se trouvent dans la direction de chaque rayon se meuvent sans sortir de cette direction, et que leurs mouvements ne dépendent que du temps / et de la distance de chacune d*elles au centre. De là il est clair qu'il doit se former dans Tair des ondulations sphériques ^\ concentriques, dont la détermination soit contenue dans une seule équation, de même que dans le cas de Thypothèse précédente. Cette équation peut se trouver soit par Tapplication des formules générales, ainsi que Ta fait M. Euler dans son Mémoire .MisceUanea Taurinensia^ t. Il, p. i^, ou plus simplement encore, quoique avec moins de rigueur, en considérant le mouvement d*un fluide élastique renfermé dans un tuyau conique, comme on le verra plus bas. Nous nous contenterons pour le présent d'emprunter Téquation de M. Euler et d'y appliquer notre méthode, afin d'avoir une construction qui ne soit point assujettie à la loi de continuité, comme l'exige la théorie de la propagation du son. Otte équation, en substituant z pour u ei x pour U, se réduit à celle-ci

qui peut être traitée de la même manière que celle du Problème I.

19. Problème W.— Conservant les mêmes noms et les mêmes suppositions du Problème I, avec cette seule différence que les mouvements des particules

soient contenus dans l'équation -j- z=c-t-^ -h :2c --r-f construire cette

même équation.

Je commence par multiplier l'un et l'autre membre par Mrf.r, M étant une fonction quelconque de ;r, ensuite j'intègre en ne faisant varier

que x; j'ai

Je transforme d'abord l'intégrale

— M— C— —d dx J dx dx

c^.r J dx Je change de même l'autre intégrale

ensuite en

dz dx

-j^Mdx dx

zM Çz rfM^^ 07 J X dx

et je tire par la substitution la nouvelle équation

J dP ^~'^ \ dx dx X ) J \ dx^ x dx )

Je dois maintenant supposer M tel que

M(/z -zrfM 2zM dx dx X

lorsque a? = o et lorsque a: = a; or, puisque Ton a déjà dans ces deux cas z = o par hypothèse, il suffit que M le soit aussi, ce qui donnera les mêmes conditions à remplir par les constantes de M, que l'on a eues dans le Problème l.

L'équation restante sera donc

ou il fdufira suppo?^r

dx^ xdz ~~

Otte équHtion ♦*!! M est intégrable par les méthodes connues: mais t-n voici une qui est, si je ne me trompe, la plus simple qu*on puiss** employer rians ce ras.

Soif supposé M = e^ ^ , on aura par la substitution

- - 9 — h — = h\ savoir hp^ -h -^ -h -f- = i,

prix p^ px '^ X dx

Je vois que cette équation peut s'écrire ainsi donc si l'on fait ^ -h y^- = y, on aura

kq^dx -h dq=: dx^

d'où Ton tire

dx =

I — kq^ ' et inté<^rant par les logarithmes.

2vA- \\ — q}Jk/ ou bien en passant aux exponentielles, avec l'addition d'une constante C,

y Ce"V* — , qylk =

Ce^v'*-!-!

donc

i I Ce^v"* — I

Il faut maintenant, pour avoir la valeur de M, intégrer la quantité — Or il est visible que .si Ton substitue pour p son expression telle qu'on

vient de la trouver, on a une différentielle qu'il serait assez difficile,

.peut-être impossible, de ramener à l'intégration; mais on peut simplifier

beaucoup le calcul, en supposant l'arbitraire C nulle ou infinie; dans le

premier cas on a

et dans le second

et combinant Tune et l'autre valeur.

l'^-Tx'^ —

On aura donc

./ P J —i±x^k et par conséquent, en ajoutant une constante A,

ou bien, à cause de l'ambiguïté des signes,

M =r A f— I -4- X V^fr) e-'+' V* -h B (— I — ^ v'fr) e-'-'V* .

Or il faut que M = o lorsque j; = o, d'où il suit que A -^ B = o, et par conséquent B = — A; donc en changeant la valeur de la constante A,

ou bien encore

M = A[sin(j7 v-~/rj — x\j — k cqs{x )J— k)] .

Telle est la valeur de M qu'il fallait trouver; si l'on en prend la différence, on a

-7— = — kkxsm [x \l— k).

d'où l'on voit qu'au commencement où a: = o, on a aussi --j— = o, de

PMI V^jC^RLrRy HEi.ïfEMUHE.'^ 4CB LA NvCHRE

^•>»-i* \\\t* e rt^i-me — z -,— s'»*v:40«uir «te liii-fiienip. sans «iu*ii soil bf>«iin

.(•* ^iiooos»»r ^ — r, .i;ins i*t* p«)im; «••» «pii noii» aii»ntrp «jue ta valeur «le j lOMinrîf -**•**'" .l'î timt ••»» «pii* r'>n v«>ii<lra.

I r'^ur iii:fint*>n:inr «leterminer k par la nmitition i^iie H iteviennt* nul iwîîiri»' r = /ï: .m ^iii*:* «lon«* pour ••f^Ja

1 V - * - = = tana *i^ — h- .

•'OS /i V — ^

dftUf- 'in ri*l anjjrl** *»r k nommant s. on aara

(/liMifa'il ^oir. imp^»s-*iKI<^ rtViprimer *^el angl*?' ai;^ebriqueai«?Dt. oq peut fif'ÀurffViri^, p^f U :*^ul^ iv>n:^îdénktion Au cercle, se couTainere qu'il nVst p'Â^ iiti'ïfpf et déterminé, mais qu'il y en a une ÎDâulté qui ont tous la utf'fftf' propriété* de j^orte que \ — i dura aussi une intiaité de valeurs âitUrf'fttf^ qrii ^;*fi.^f^font toutes également. On peut voir dans le tome II /le \ Inirofhijf'Jion à t Artolyne de% infiniment pents de M. Euler le dernier IV;hlerrie du CTiapitre XXII, où Ton trouvera une manière assez simple de deterrnin^'r tou^^i vm% ;kngies par approximation. Au reste, nous n'aurons p;i4 l^'.v/in dans Va suit^' de connaître leurs valeurs, il nous suffira de savoir que leur nombre est infini.

Après avoir ainsi déterminé la variable M, si on suppose, comme dans

le Problème I, / z}\dx = s^ et qu'on pratique les mêmes différentia-

lions a Tè^^ird de /, notre dernière équation'intégrale deviendra ^ = cks^ qui est bi même que nous avons déjà intégrée dans le Problème cité. On

aurd^donc ici de même

5 = S cos (/ v^— ck) -h - - — ^ sin (t \f^ck)y y— ck

r = R cos ( / yf—ck) — S )/'^ck sin ( / )f^~c'k),

et mettant à la place des quantités s, r, S et R leurs valeurs en z, w, Z^tU,

1 uMdx =z cos { t \-^ ck) 1 \]Mdx — ^^ cks\n{t \'— ck) j ZMdx.

Il faut maintenant substituer la valeur de M et faire les autres opérations que demande notre méthode; mais comme cette valeur de M est différente de celle du Problème I, il est clair que les mêmes procédés que nous avons suivis alors ne suffiront pas à présent; on pourra cependant s'en servir de nouveau avec succès, en préparant par une simple

transformation les expressions i z^ldoo, j uSiâx avec les deux autres

1 ZM^^r et / UMfitr de la manière que voici. Substituant la valeur

de M, j'ai d'abord

I z sin [x V — k) dx — \ — k j zx cos [x \— k) dx;

or il est clair que si l'on n'avait que le premier membre de cette expression, on serait exactement dans le cas du Problème I; il ne s'agira donc que de ramener aussi le second membre à la même forme; pour cela je change d'abord la formule \

zxcosix ^— k)dx

zxs\n{x \'— k) I l*dzx

I / dzx . , r J

ensuite je remarque que, puisqu'on suppose que les intégrales ne s*é-

tendent que depuis x = o jusqu'à x = a,]e terme algébrique, qui est de lui-même égal à zéro dans le cas de a- = o, et qui le devient aussi dans le cas de X = a, à cause que z s'évanouit par hypothèse, ce terme, dis-je, devra être entièrement effacé, de sorte que l'on aura simplement

rzxcosix^— k)dx=: / -j— sinix ^—k)dx.

\ — kJ «^

Substituant donc cette transformée dans l'expression de / zMdx, elle

/ (^ "*" ~Sx^) ^^" ^^ v'^^) dx.

deviendra

Faisant des opérations semblables sur les autres expressions intégrales, et supposant pour plus de simplicité

d zx , dux

dx dx

nos deux équations intégrales deviendront

I z' sin(^ y — A*) rf^:= cos(/ v^— c/rj i T %v[i\x\ — k)dx

H ~ — — - / U'sm(^\/— A'yrfx,

y— ck J

j v! s\ïï{x \ — k)dx^(ios{t si— ck) j U s\n(x ^— k) dx

— y'— ck sin ( / y— ck) l Z' sin {x y— k) dx.

Ces équations sont réduites à l'état de celles que nous avons appris à construire dans le Problème précédent. Il sera donc facile de leur appliquer la même méthode; or, puisque tout se réduit à faire disparaître la quantité \ — k k cause du nombre infini de valeurs dont elle est susceptible, il est clair que quoique ces valeurs ne soient pas les mêmes ici que dans le Problème cité, néanmoins les résultats des opérations seront par-

taitenient semblables, en sorte qu'il ne faudra que substituer z\ u\ 7J et l;' à la place de z, u, Z et U pour avoir tout d'un coup

■ =.- irz'l->fl + 7.'(.-.«^lJ-^-!,[( fu'rfx)'~"^'-( /■uVx)''""-"'],

Remettant à présent au lieu de z\ u\ Z^, U' leurs valeurs en 2, w, Z et U, on aura deux équations qui détermineront les deux variables inconnues :; et // par les données Z et U pour un temps quelconque /.

20. Les deux formules que nous venons de trouver étant parfaitement analogues à celles du Problème I admettront aussi une construction semblable à celle qu'on a déduite des vonvhes /ondamcFitales et dérivées (7 1. Supposons donc ici que les courbes ANB, AQB [Jig, 1 et 2, p. i5i et iSa;

rfZr soient les lieux des valeurs de Z' et de U', savoir de Z H — ^ et de

dlSx L H — 2 — P^*^'* chaque abscisse .r, et que les autres courbes anh, AyB

i/ig, 3 et 4» p- ïti^) on dépendent de la manière qu'on a dit dans le

numéro cité; on aura pour une abscisse quelconque x = AM, et pour un