X -a' ^fz'xdx

dx x^ X*

d^z dx 3z' 6 fz'xdx

dx^ X x'^ X* ^

ET LA PROPAGATION l>i: SON. -215

et Ruiwtituanl.

dz'

multipli»nl par .r* et différentiant do nouveau.

ou bien

(ir- r/x'

équation réduite au cas du Prohlemo 1. Or, puisque h valeur de r es! ici égale à

ff{zx') dz

(JX ffx

telle qu'on Ta supposée dans l'analyse du Problème préeédenl, il est facile de voir que la solution qu'on aura de eette façon reviendra entièrement à celle qu'on a déjà trouvée. Il est vrai qu'il faudra pour eela que la quantité k ait aussi les mêmes valeurs, et c'est ce qu'il sera aisé de prouver, car on sait que la détermination de k dépend de la condilicui

que les termes algébriques M -r- ^ 7^ disparaissent lorsque r -- a

voyez Problème Ij. Or on a ici

donc

dz' -- 3^2 - xd ydx

d'où l'on aura, en posant r -- a i'\ z o, l'équation

dx dX' dx dx

Maintenant, puisque :; doit toujours disparaiire lors(|U(' r -- a, quel

que soit le temps /, on aura aussi

et, par eonséquent, par l'équation fondamentale,

rf'z 2. dz 1Z dx^ a dx a}

<J'oii Ton lire

d^z 1 dz dx' a dx^

laquelle valeur substituée, on aura

dW\ dx

OU bien

Or M étant égal à sinlo^y— X:) (6), on aura, en substituant et posant ensuite x = a,

sin ( « y — /r ; — - a y — ff cos ( a y -— k) — o^

d'où Ton tire, romme dans le n"* 18,

a y — /, — -. — X. 1 — lang 1 tf y^— /, ).

coslay— /» J

Il V a encore une autre substitution qu'on pourrait employer an lieu de la précédente; cette substitution consiste à faire

dr z—r — x-j-', dx

ce (|ui réduira l'équation en z à une équation en v de la forme de

d'z __ d'z 'dr ~ ^dx^''

et cette équation étant construite par la méthode du Problème I, on aura pour la valeur de z des formules analogues à celles qu'on a trouvées à la fin du n^20.

Application de la solution précédente à la recherche des lois de la propagation du son.

25. L'application du Problème précédent à la théorie de la propagation du son se présente d'elle-même. Imaginons un corps sonore quelconque mis en vibration au milieu d'un air tranquille, homogène et libre de tous côtés; il est visible que ce corps peut être regardé comme placé sensiblement au centre d'une sphère aérienne d'une étendue indéfinie; donc on ne s'écartera que très-peu de la vérité en calculant les mouvements communiqués à toute la masse de l'air, dans l'hypothèse (les ondulations sphériques du n"" 18 et d'après la construction donnée dans les n^* 20 et suivants.

Pour cela, ayant mené la ligne indéfinie PR qui représente le rayon de la sphère totale d'air qui environne le corps sonore, soit pris PQ pour le

Fip. i3.

rayon de la petite sphère dans laquelle sont contenues les particules qui ont reçu leur mouvement primitif du corps sonore placé en P, et soient tracées sur la ligne PQ les courbes qui représentent les valeurs données de Z et U que nous avons appelées courbes fondamentales; il suit du n" 22 que chacune de ces deux courbes devra être continuée du côté opposé Vq avec une branche semblable, égale et diamétralement opposée à la première. 11 est vrai que cette proposition n'a été démontrée que pour les courbes qui représentent les variables Z' et U', mais il est facile de voir qu'elle a également lieu ici, où, à cause de a* = o au point P, les valeurs de Z' et U' deviennent 2Z et 2U. On prouvera de même que les autres branches de continuation qui, suivant la théorie du numéro cité, devraient être ajoutées du côté PR, disparaîtront entièrement à cause du rayon a infini, de sorte que les courbes génératrices seront toutes renfermées dans le seul espace yQ. Or, cela posé, qu'on demande i)our un temps quelconque / les mouvements des particules ([ui composent la L 9.8

•218 NOUVELLES KECHeAcHÈS SUR LA NATURE

fibre reetiligne PR, mouvements qui selon riiypothèse doivent être sensiblement les mêmes pour toutes les autres fibres partant du eentre P.

Soit, pour faciliter cette recherche, / > -^•, il est évident qu'il faudra

rejeter dans la construction du n" 20 les termes qui répondent aux abscisses X -\-t\Cy ces termes ne pouvant ici produire aucune valeur réelle: il n'y aura donc que les termes relatifs aux abscisses x — t\c qui entrent dans la détermination des quantités z et m, d'où dépend la connaissance des mouvements en question. Ayant pris [fig^ 1 3, p. 217) sur la ligne PR le point P' tel, que PP' = / \/c» ^t ayant coupé de part et d'autre les parties P Q » ^ <i égales a PQ et Pgr, je transporte en y'P'Q' les deux courbes qui renferment les valeurs des Z et U, telles qu'elles ont été décrites sur le diamètre yPQ, et prenant le point P' pour l'origine des abscisses a: , je trouve pour une particule quelconque M

'Or, par les suppositions faites à la fin du n"* 19, on a généralement

dzx

dux u' = u-\- -~j — 9 ax

l'origine des x étant au point P. Mettant donc ici, pour transporter cette origine en P', x -h t\c au lieu de x et intégrant après avoir multiplié par {x -^ t\ic) dx, il viendra les deux équations suivantes :

zix-^ ts/'cf = -1x^-^-1 sl'ci jZdx-hZx]

ET LA PROPAGATION DU S.ON, aii»

f / yV-;' L- -î- U ^' -f- f / \/c f I II rfo: -f- Uic j

Si Ton simplifie les expressions intégrales par la méth9,^ç,,(les intégrations par parties et qu'on ajoute les constantes nécessaires, on aura

z-X'^t^c]^:^-x--{-xt\C)l'^-t\c l Zdx iJc \

î— ( — -f- xt^c] l {]dx — - ^ / Vx'dx H •

Il 'x -h t )/c/ — -ix' -\- xt ycj U -h -/ v^t* / \Ldx tsc}^

— ^ ijc^ H- JT/ V ^y -7 '-^ -+- '-'^ V ^V Z -h — Idx — ^ A.

2 ^ dx 9 •>. / 9

L'addition des constantes sert a rendre égal a zéro le dernier membre de chacune des équations précédentes lorsque a ^-/\c=o, ou .r== —t\^c= — PP', ce qui est nécessaire, puisque alors les premiers membres disparaissent d'eux-mêmes; ainsi, en supposant que les intégrations commencent toutes au point P' oixx = o, les lettres A, B, D représenteront les valeurs des intégrales / Zdor^ j Udx, j Vx^dx prises

depuis F jusqu'à q\ lesquelles sont les mêmes que si on les prenait de l'autre côté depuis P' jusqu'à Q'. 11 faut néanmoins remarquer que dans la première équation l'on ne trouve point de constante qui fasse éva-

nouir le terme h œl\c] j Vdx dans le cas de x = — t\'c;

c'est une omission que j'ai faite exprès» à cause d'un nouveau terme qu'il faut encore ajouter à la même équation. Pour voir la raison de ceci, on n'a qu'à se souvenir de ce que, dans l'expression des valeurs'de s' et de u\ nous avons regardé comme généralement nuls tous les t^jrmes qui

répondaient aux abscisses exprimées par x -h t\c\ il en est cependant

220 iNOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE

un qu'on ne peut pas négliger, c'est celui qui est exprimé par la formule intégrale

car il est évident que quoique les valeurs de U disparaissent sur la

ligne QR depuis le point Q, l'intégrale / Ufitr conserve toujours la

même valeur constante qu'on a désignée ci-dessus par B; de là il est

facile de conclure qu'il faut ajouter à la valeur de z' le terme — ^ et par

conséquent à la valeur de z {x-ht\'c)^ le terme (~ -\-xt\lc] — =» lequel

fera justement disparaître l'autre terme ^-=z (^ -h xtyjc] f Hda:

lorsque ,x = — t\'c, I \]dx devenant alors égal à B.

Si l'on examine maintenant la forme des deux équations précédentes, on verra aisément que l'on peut se passer de l'addition des constantes,

en donnant une autre origine aux intégrales / Zdx, j Uctr, / {]or^c/a\

et les faisant commencer du point q' en allant vers R; ainsi l'on aura plus simplement