CHAPITRE IV
APPLICATION DE NOTRE MÉT1I0D,E îf\j CHAPITRE M A DIFFÉRENTES HYPOTHESES.
27. Les Piohièiiies dont nous allons maintenant nous occuper, quoique peu nécessaires pour la matière que nous traitons, serviront néanmoins à taire voir l'utilité et l'extension de notre méthode du Chapitre II; ils pourront aussi être d'usage dans plusieurs autres points de la théorie du son.
Problème 111. — Construire l'équation -j— = c^-^ -h me -,— •
Multipliant par M^ir et pratiquant les mêmes réductions que dans le Prohlème II, on aura l'équation en M
rf^M m rfM ...
qu'il faudra intégrer. Or il est facile de s'assurer, au moyen de quelques transformations convenables, que cette équation tombe dans le cas général de Riccati et que par conséquent son intégrabilité dépend de certaines conditions qui se réduisent ici à ce que m soit un nombre pair positif ou négatif; mais la méthode ordinaire d'intégration pour ces mêmes cas est si laborieuse que je ne saurais me résoudre à la pratiquer; d'ailleurs il ne suffit pas de trouver une expression algébrique de M, il faut de plus qu'elle soit telle, qu'on puisse dans la suite du calcul chasser aisément la quantité k à l'aide de quelques réductions, comme on a fait dans les Problèmes précédents. Il m'a donc fallu imaginer une autre méthode, et voici comment je m'y suis pris.
Puisque l'on a trouvé pour le cas de m = o, qui est celui du Prohlème I, M = A sin [x \i — X:) , et pour le cas de m = 2 dans le Problème II M = A[sin(a?v'— ^) — x\l— kQO^{x\— k)\, ce qui s'exprime plus simplement par M = A sin (^v'— ^) — A^^ ^*" ^ ' ^" ^^^ ^^^^^ fondé
'I, • ' ii k .'
MET LA PHOtAGATlÔN Dtj'feON.
à croire que lorsque m aura une valeur quelconque 4. 6> ...» l'expression (le M sera de la forme suivante :
M = A sin (^ ^--i:) + Bx ^i'^v'-'^i + C^' ^l^L" W=il) ^ . . . ,
dx
A, B, C,..., estant des coefficients à déterminer par la substitution et la comparaison des termes.
Mais pour embrasser une plus grande généralité, je suppose
sin(jc sj— k) ~ w,
-, 4 ^du ,, d'u r.d^u
M=Aw-i-B-7- -hC -j— -f- D -,--+-... , dx dx^ > dx^
et je regarde les quantités A, B, C,... comme des fonctions variables de X, dont il faut chercher la valeur convenable à l'équation donnée.
Je commence par prendre la différentielle de M que je mets sous la l'orme suivante :
dM d\ dx dx
Je trouve de même
dB
dx
du de dx dx
-hB
d^u dD dx^ dx
d^ju
- dx'" ' dx'
du d'C dx dx'
d'u d'O dx' ' dx'
idk ^ dx-
idC ^-dF
d'u ~dî^
On trouvera de plus par la nature de la fonction w
^~ dx^ dx^ dx* dx^
Substituant ces valeurs dans Téquation'
rf'M m dM. ,--
dx^ X dx
ai NOCVELLES R£«:HERCUES SLR LA NATCRE
f t ordonnant Ifrs termes piir rapport à h variable i/. on aura
rfr* r ir ' dx * rfx- x dx ^ ' dx x '
^Ifl ( ^ ^ ^
du ;d-C m dC db iwB
iÉ^-D m rfD </C ^'- i i
^~db^ ~ xdi ^di~ rr' \
d'où Ton hreiH les équations particulières
dx^ ~
X dx
m dh d\
dx-
X dx ' dx
di\
m dC dB
~dx^ ~
X Hx dx
<{ui sont tres-aisées à résoudre: dans l'intégration de toutes ces équations, à l'exception de la première, on peut négliger les constantes qui ne MM'viraient qu'à rendre les valeurs des quantités B, C, D,... plus compliquées sans les rendre plus générales. Ainsi /et h étant les deux ronstantes de la première quantité A, on aura
A --/-*-//jr^', B - ~ fx~ hx-'-\
I) - f „. r- ^ - •^^-^' -^ T-TT7 f '"^'•
où la loi de la progression est assez manifeste.
28. Dans ces formules on voit clairement que si m est un nombre pair positifs comm(»nccr par 2, la série des^termes multipliés par /devient
exacte et finie, tandis que l'autre série, qui est toute multipliée par A, va k Tinfini; c'est tout le contraire lorsque m est un nombre paie négatif à commencer de — 4» car dans ce cas la seconde série se termine après un nombre fini de termes, la première allant à l'infini; d'où il suit que, puisque les quantités /et h sont absolument arbitraires, il n'y a qu'à faire A = o dans le premier cas et /= o dans le second, et l'on aura algébriquement la valeur de M en o:, en cherchant celle des coefficients A, B, C,..., dont le nombre est alors limité.
On pourrait au premier aspect former des doutes sur l'exactitude des formules précédentes, par la raison qu'elles ne paraissent pas satisfaire aux cas de m = o et de m = — 2, dans lesquels on sait d'ailleurs que M a une valeur finie.
Pour lever cette difficulté, il ne faut que recourir k l'intégration immédiate des équations qui doivent donner les valeurs de A et de B dans les deux cas proposés ; on trouvera pour le premier
A 1=/, B := o, C = o, ..., et pour le second
k—hxr-\ B = o, Ci=:o;
c'est un inconvénient attaché k toutes ces sortes de formules générales d'intégration, d'être en défaut dans certains cas qui demandent un examen k part.
On pourrait encore être embarrassé dans l'usage des formules précédentes, lorsque /w = ±:i,m = ±:3, m=dz5,..., puisque dans ces cas tous les termes de la série / ou A deviennent infinis, k l'exception seulement de quelques-uns des premiers. Mais il est aisé de se tirer de cet embarras, si l'on fait réflexion que les constantes/ et A étant absolument arbitraires peuvent être supposées tout ce qu'on veut; ainsi il n'y a qu'a faire / ou A égaux k o ou k o x g^, car ce o détruisant celui du dénominateur, les termes qui étaient infinis redeviendront finis et se trouveront de nouveau multipliés par une constante arbitraire g\ ceux au contraire qui étaient demeurés fiqis s'évanouiront par cette supposition; d'où résulte la règle générale, savoir, de ne conserver que les termes qui I. ag
reçoivent une valeur infinie, en les dégageant cependant de Tinfini qu'ils renferment.
Ayant ainsi trouvé la valeur de M, il ne s'agit plus que de poursuivre le calcul de la même manière qu'on l'a fait dans le Problème I; on aura donc do nouveau les deux équations
I //Mr/x -cosf/v'-^*") / UM^o:— v—ë/rsinf/v-^ëif) j ZMdr: substituant la valeur de
M = A sm ix V — /r) H- B -j-^ H- C ^-^ -t- . . . ,
et faisant disparaître les différences de sin(j?v/— i) par la méthode des intégrations par parties, on obtiendra
1 z' s'\n(x \,/—k)dx = cos(t ^— ck) j T sïnix ^— ck) dx
^— ck J i u' sïnix )/'— k) dx = cos{t s/— ck) j \]' sin{x^— k) dx
— ^— cksinit \— ck) j 7J sin{x y/'— k) dx,
où
dBz d^Cz
z' = Az —
