Z' = AZ
u' = Xu — U' = AU-
dx dx*
dBZ rf'CZ
dx dx*
dBu d^Cu
dx dx^
rfBU rf'CU dx dx*
Enfin Ton tirera les valeurs de z et de m par les mêmes procédés qu'on a suivis dans les Problèmes I et IL
Je ne m'arrêterai pas ici à examiner la nature des courbes génératrices et la manière de les continuet, laquelle dépend de la valeur de M; il serait cependant aisé de le faire suivant les principes que nous avons établis, mais comme je ne donne ici cette solution générale que comme une simple application de ma méthode, il vaut mieux la simplifier autant qu'il est possible, en y introduisant les fonctions indéterminées (f ^\ ^ comme on Ta pratiqué dans le Problème II. On trouvera donc par c<» moyen les deux équations suivantes :
f/Bz d'^Cz o(x-^t\'c)-^-o{x— ts^:)
dx dx^ 2
rfBa rf'Cw ^(x-\- tylc)'\'^[x'- tyfc)
dx dx^ 2
r 9' ^ X -\- t \c) — o' {x — t sl'c)
qu'il faudra ensuite intégrer pour avoir les valeurs de z et de w; ces intégrations, quoique toujours possibles, ne laisseraient pas que d'être souvent fort eipbarrassantes; c'est pourquoi je vais résoudre le même Problème par une autre méthode moins directe à la vérité et moins lumineuse que la précédente, mais telle qu'elle donnera les valeurs de z et de u en termes finis.
Autre construction de t équation -r- = c -j-^ -+- me -j- -
29. Au lieu de multiplier cette équation par Mdjo, en supposant M une fonction de x, et de l'intégrer ensuite eu égard a la seule variabilité de 07, je la multiplie au contraire par Mdt, où M est supposée une fonction de /, et j'en prends la somme en considérant la seule / comme variable: je poursuis le ciilcul de la même façon qu'auparavant en faisant toujours varier / au lieu de x. Je trouve d'abord l'équation en M
d'où je tire
puis, en supposant / zMdt = s, il me vient Téquation fondamentale
kS =:: C -7— -h me -j— '
dx^ ax
Pour intégrer cette nouvelle équation, je fais - = j, ce qui la réduit
par la substitution à
, d^X V 'w -h 2 ) 6' dy
' dx^ X dx
équation qui, étant comparée à celle en M du Problème précédent, donnera pour la valeur de j la suite
-.du ,,dUi ,^d^u
V W H- B -p- H- C -r-; -i- I> -TT -^- • • ax dx^ dx^
les valeurs des A, B, C,... étant les mêmes qu'auparavant, mais étant transformées par la substitution de /n -h 2 au lieu de — m. A l'égard d(î
la valeur de w, elle sera ici égale à sin(jpi/ 1; il faut observer
qu'elle peut être également cos( a? i/ — \ )•, d'où il suit qu'en prenant deux quantités P, Q constantes a l'égard de x, on aura généralemenl
u — ^sinixt/— 4 ) -f-Qcos( jri/— - j-, donc si on fait
+Q[Acos(yi|)- «E»Bsi„(.^)+ j:c™s(Y-"f)--}
A =/r H- Ajt*", B := — /r» — Ax'-",
D f (mH-4)(mH-6) (m -^)(^^'— 4) ^.
•^■2.3(m-h3)(mH-4) 2.3(m - i)(m - 2)
où Ton voit que les coefficients des termes de la série / sont les mêmes que ceux de la série h dans les formules du Problème précédent, et réciproquement; donc il suffira d'appliquer aux formules présentes les mêmes remarques qu'on a déjà faites sur les différents cas de m positif ou négatif.
Soit divisée toute l'équation par A, il est évident que, puisque l'on ne doit prendre à la fois que l'une des deux séries, selon que m est positif
B C ou négatif, les fractions y' T'' ' ^^ï*ont toujours égales à zéro lorsque
X =^o\ soit, de plus, lorsque a? = o, Z la valeur de - el U la valeur «le
-1—» valeurs qui pourront très-bien être l'une et l'autre des fonctions de /; on aura, en faisant d'abord x = 0 dans l'équation ainsi préparée,
ensuite, différentiant la même équation et y faisant de nouveau x = o, il viendra
rUM^/=rP^-(l-4-a),
équation dans laquelle a est une constante qui désigne la valeur de -^-^
posant, pour abréger, U au lieu de > on substituera 1 Z^dt au lieu
de Q et -^!:^ / UMrf/ au lieu de P. Maintenant, pour chasser la lettre k
sj— k J
<le réquation, on se servira de la méthode des intégrations par parties (|ui a déjà été tant de fois mise en usage; car, puisqile M = sin {t\ — k), on pent, au lieu de / ZMdt, substituer indifféremment
I rdz , — y ^ I rd^z . , , — r^
;:^ / -jl^^^^^S-Indt ou -^J -—sin[iy/-kjdi,
en négligeant les termes algébriques qui doivent être supposés d'euxmêmes égaux à zéro; il en est de même de l'expression l UUdi. Ces opérations achevées, on mettra sous les signes d'intégration les sinus et cosinus de œi/ — ;? et on développera à l'ordinaire les produits de ces
sinus et cosinus par les sinus et cosinus correspondants de t\ — A; on obtiendra ainsi l'équation
Or, suivant les principes de notre méthode, on égalera le ^-du premier
membre aux quantités / := et / H- - du second: d'où l'on aura / -h ~
se se \e
pour la valeur de t dans les termes multipliés par sin (/—--) et / — -^ pour Iti valeur de t dans les autres termes qui se trouvent multipliés par sin ( / -+- 4r V or, Z et U étant des fonctions de ^ on peut les exprimer généralement par A/ et Tt, ou si, pour abréger davantage, on pose Z -K -L j Vdt == A/ et Z ^ I [jdt = T/, on tirera de l'équation pré-
cédente
= HK'%î)-('-7.)]
Si Ton aimait mieux que l'expression de Z fût composée de fonctions de ce -h t\/c et de X -^ t\/Cy il n'y aurait qu'à faire quelques légères transformations à l'équation finale qui donne immédiatement la valeur de z; mais, sans avoir recours à cet expédient qui est sans doute le plus direct, il suffît de remarquer que l'équation différentielle de z ne contenant que le dt^^ il faut que l'expression de z soit telle qu'elle demeure la même en changeant / en — ^. Soit donc mis dans H formule précédente
— / au lieu de t, à( t -\- ^\ et F ( t — ^\ deviendront
Changeant les valeurs des fonctions A et r, on pourra mettre simplement \{x — t yjc) au lieu de A -^ (^ — ^ \c)\ et r {x -h t\^) au lieu
de r h^ (^ — ^ \c) ; mais il faudra mettre ensuite
V'c-A' (or — / v^c), C'A" (jT — / ^c*j,. . . au lieu de
A' T-L (jr - / vc)1, A'' f-i ( j: - / ^c)\ . . r
et
— V'^ r ( a: -h / v^ëj, cF" ( j: -h / v^c), . . .
au lien de
coiiime il est aisé de s'en assurer avec un peu de réflexion; on aura de cette manière
-h ^[T'{x-^-ts^c)^^'{x- /y^j]
En rapprochant cette formule de celle qu'on a trouvée dans le numéro précédent, il sera facile de déterminer le rapport des fonctions
r(.r--f- ^v^) 6t A (a: — /yc) aux fonctions o{x -\- t\c)-\-—ji''i{x -h/yc)
et c^ (a: — t\c) -''i/ {x — t\ic).
Cette méthode conduit, comme on le voit, à des résultats heaucoup plus simples que la première, mais elle est aussi moins générale et ne peut a la rigueur être employée que dans l'hypothèse que toutes les valeurs de s, qui répondent à différentes abscisses x dans un même instant, soient liées entre elles par la loi de continuité. Ce n'est que d'après la première solution qu'il sera permis de prendre pour r et A des fonctions (fuelconques, régulières ou non.
Des oscillations d'un fluide élastique renfermé dans un tuyau défigure
conoidale quelconque,
30. Soit imaginé tout le fluide partagé en une infinité de tranches perpendiculaires à l'axe, dont ja largeur variable soit exprimée par X qui désigne une fonction de la partie correspondante x de l'axe; il est clair que, si l'on suppose que les tranches conservent toujours leur parallélisme et que :; soit l'espace infiniment petit parcouru par une tranche quelcon-
que Xdr dans le temps /, cette quantité Xdx deviendra
rfX \ , , , . ^- , d\
