X -¥- —T-z \(dx -\- dz)-= \dx -h —r-zdx -f- Xrfz
en supprimant les infiniment petits du second ordre; donc, sic désigne l'élasticité du fluide dans son état naturel, l'élasticité du fluide contenu dans la tranche Xdx sera, après le temps /,
\dx
\dx -\ — j— zdx -h\dz dx
I dz d\ \
^'y^THc-xdi'r
en négligeant ce qui se doit négliger. La différence de cette expression . prise négativement donne Texcës de l'élasticité d'une tranche quelconque sur celle qui la suit immédiatement; donc, si on multiplie cet
excès par la largeur X -h -4- z de la tranche et qu'on divise ensuite par
la masse Xctr, on aura la force accélératrice qui tend à faire parcourir l'espace z\ donc l'équation du mouvement du fluide sera
d'z [d'z \dx' ]
{^■^ dx'
dr-''\da:' ' dx )
qui se réduit, par la supposition de z infiniment petit, à
dx /'
Telle est l'équation générale, mais jusqu'à présent je ne connais encore que quelques cas où elle soit constructible; ce sont ceux qui peuvent être compris dans la solution du Problème III, c'est-à-dire où l'on a
;^^jj- = ~ ou bien X = haf', ce qui donne un conoide formé par la révolution d'une parabole ou d'une Hyperbole quelconque. On aura donc, dans cette hypothèse.
équation intégrable exactement toutes les fois que m sera un nombre pair positif ou négatif '28^; dans tous les autres cas la valeur de z sera exprimée par une suite infinie.
Soil m = i, on aura le cas du ProMème H, et la formule du n" 28 «lonnera
dxz o X -Ji- t \c -{- o' X — t \c. •! .r -f- / \ c ; — *v x — i \c
(MX 9. 9. \C
i-e qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé dans le n^20: de plus, la formule (h\ n^ 29 donne
y^^-^l\ ^-^- l(x — t xcj r -r-^ t se, -h y X — i \c
ce qui s'accorde encore avec le n*^ 21 .
Si on fait m = i, le conoide sera formé par la révolution d'une parabole Apollonienne autour de son axe, et la valeur de z ne pourra être donnée que par des séries.
31 . ScoLiE. — Si le tuyau avait une figure plane, l'équation précédente aurait encore lieu, et le cas de m = i appartiendrait à un tuyau triangulaire; ainsi l'équation
dt^ ~^\dx' "^ Ux
pourrait servir à trouver les lois de la propagation du son dans un plan, et c'est dans cette vue que M. Euler me fit l'honneur de me la proposer dans la même lettre dont j'ai fait mention 16). En faisant usage de ma nouvelle méthode, je reconnus bientôt que cetle équation n'était pas intégrable exactement, mais qu'on pouvait la rendre telle en donnant au
terme -r- le coefficient 2. Voilà ce qui m'a conduit à l'hypothèse des
ondulations sphériques que nous avons examinée au long dans le (Chapitre précédent, hypothèse qui est d'ailleurs beaucoup i)lus conforme à
la nature que celle des ondulations simplement circulaires. Je iis part à M. Euler des changements que j'avais faits à son hypothèse et des résultats qui m'en étaient venus, dans une lettre de la fin de décembre i7'>9; mais j'ai vu depuis avec beaucoup de plaisir que ce savant Auteur en avait déjà fait de même, et était parvenu aux mêmes conclusions que moi sur les lois de la propagation des ébranlements de l'air dans une sphère. {Voyez son Mémoire imprimé dans le tome II des Miscellanea Taurinensia, à la tête de ces Recherches. ,
32. Supposons maintenant le tuyau d'une longueur donnée a, et bouché à ses deux extrémités; il faudra que la nature des fonctions 1' et A (29) soit telle, que z s'évanouisse aux points oii a? = o et .r = a, quel que soit d'ailleurs le temps t. Par un r^iisonnement semblable à celui du n® 23, on trouvera pour la première de ces conditions
ce (|ui apprend comment la fonction A doit être contintiée du côté des abscisses négatives; pour satisfaire ensuite à l'autre condition, faisons
r(aH- /v/ë) = T, ^ia-' t)Jc) — B, et soient a, jS, y,... les valeurs des quantités— » -» -?• -9 lorsque a* = «;
on aura
dt c dt^
se Soit maintenant
on aura
T.rz-6+r,
ô dr y d^r 2Ô dB
' fcdt ^ c dr ^ ^c dt ^- •'
l'intégration de cette équation sera toujours possible. Soient a\ a", «"',... les racines de l'équation
236 NOtVELLËS UËCHËHCHES SUR LA NATURE
h valf'ui' (\ey s<M'a (\e h forme suivdnle :
F, G, H,... désignant des eonslantes à déterminer par la substitutitm el la comparaison des termes.
Si la quantité j était égale à zéro, il est évident que les courbes génératrices, qui représentent les fonctions T et A, ne seraient qu*un assemblage de branches toutes égales et semblables à celles qui répondent à la portion a de l'axe; ainsi il ne serait pas difficile de comprendre que le système des particules reprendrait toujours sa première position après
chaque intervalle de temps égal à -^^ or, pour que ce cas puisse avoir
lieu, il suffira que le coefficient /3 et tous ceux qui multiplient les différences impaires de v soient nuls, c'est-k-dire que la valeur de :;. soit telle, qu'elle ne renferme que des différences paires des fonctions r et A, ou au moins que leurs coefficients s'évanouissent en posant ar = a. Ces conditions ne pouvant avoir lieu dans notre cas, on en doit conclure que les oscillations des particules de l'air contenu dans les tuyaux donnés changeront continuellement et ne reviendront jamais les mêmes, si ce n'est par une espèce de hasard dépendant de la nature des prem/ers ébranlements. Je dis par une espèce de hasard, puisque je suppose que ces ébranlements soient quelconques; car on pourrait d'ailleurs les supposer tels, que le système fut toujours soumis aux lois de Fisoehronisme : c'est ce qui est connu de tous les Géomètres; mais nous aurons dans la suiU; occasion d'examiner cette matière plus à fond qu'on ne Ta encore fait.
Des vibrations des cordes inégalement épaisses.
33. Il est facile de voir que Téquation pour le mouvement des cordes tendues qui sont d'une épaisseur variable sera de la même forme que celle qu'on a donnée [Rech. préc., XII), avec cette seule différence que la quantité c devra être regardée non plus comme constante, mais comme une variable exprimée par quelque fonction de x. Conservant donc les mêmes noms, et supposant X une fonction donnée de x, on aura
d'X ^ y d'y dt^ djT'
Soit, dans un cas particulier, je fais
et prenant ds pour constante, je trouve, après les substitutions et les réductions convenables,
d'z (?. — nyh i d
dt- 4 \ ds^ /j — 2 ds / ^
équation qui est dans le cas du Problème III. Donc, si on suppose
n— 4 {9 — nfh
et qu'on substitue s au lieu de x dans les formules des n""* 28 ou 29, on aura la valeur de z, laquelle étant ensuite multipliée par s donnera celle de j^ en X et en t, où il n'y aura plus qu'à remettre, au lieu de s, sa valeur en X tirée de Téquation de supposition
De là il est évident que j aura une valeur finie et exacte toutes les fois
que — — -^ sera un nombre pair positif ou négatif; c'est ce qui arrivera
lorsque n = ^ "*? a étant pris pour exprimer un nombre quelconque
entier; dans tous les autres cas la série ira a Tintini. Au reste, soit qu'on trouve pour r une valeur exacte ou non, les vibrations de la corde ne seront jamais isochrones, excepté dans le seul cas de /i = o, qui est celui d'une épaisseur uniforme ; car il est visible que la corde étant supposée fixe à ses deux bouts, on aura les mêmes conditions à remplir que dans le n^ 32; donc les conséquences en seront aussi les mêmes.
Le défaut d'isochronisme dans les cordes inégalement épaisses les rend incapables de produire un son fixe et appréciable à l'oreille; aussi les artistes les rejettent-ils toujours et les nomment-ils commuoémeut cordes y«w^5e^, par la raison qu'elles ne peuvent jamais s'accorder parfaitement avec les autres.
Otte observation peut servir, ce me semble, à démontrer l'insuffisance de la théorie de M. Taylor sur les vibrations des cordes; car il est visible que, quelque inégale que puisse être une corde sonore, elle devrait cependant faire toujours des vibrations de même durée, si la figure qu'elle prend d'elle-même ne pouvait être autre que celle qui convient à l'isochronisme, tel que cet Auteur le suppose.
Au reste on pourra toujours résoudre l'équation générale
d'y d^r dv- "" dx^
directement par ma méthode, toute la difficulté se réduisant à l'intégration de l'équation en M
dx' Les cas les plus connus de l'intégrabilité de cette équation sont^ceux de
n étant égal à i^^-- , que nous avons examinés précédemment; il peut y en avoir d'autres, mais il serait trop long de les examiner ici.
Des oscillations (Vune chaîne pesante,
34. Ce Problème étant célèbre parmi les Géomètres, je crois pouvoir me dispenser de donner l'analyse par laquelle on trouve que la force accélératrice de chaque point de la chaîne est comme la somme des angles de contingence depuis le sommet, moins l'angle de contingence multiplié par le rapport du poids total de la portion inférieure de la chaîne au petit poids dont ce point est chargé. Soient donc> la longueur d'une partie quelconque de la chaîne, à commencer par le bout inférieur, \dx la pesanteur où dœ est la masse de la portion infiniment petite, et y l'espace parcouru horizontalement dans le temps /, on aura
l'équation
d'^y dy f\dx d\y' ~ itt' ~ " dx \ dx^
Or, soit X =/^. on aura
et faisant il viendra
f\dx
d^z h \ dz ^ aA\
équation réduite à notre formule générale, et qui aura une solution tixacte toutes les fois que 2/1 — i sera un nombre pair quelconque, c'està-dire que n = -^ Dans le cas où la chaîne est d'une pesanteur uniforme, on a n = o; ainsi m sera égal a — i dans les formules du n*" 27, et l'on trouvera quejes deux séries, dont l'une est toute multipliée par/ et l'autre par A, reviendront précisément à la même.
Soit / la longueur de la chaine, on aura dans le point de suspension
,v = --==•, donc, ce point étant supposé, fixe, il faudra que z y soit égal h zéro, d'où Ton retrouvera les mêmes conditions entre les fonctions
r{a -\- t\'c) et a(« — t\c) que dans le n^ 32. Maintenant, puisque la chaîne est libre dans tous ses autres points, il est visible que ce serait mal à propos qu'on supposerait j = o lorsque œ = 6, mais il faudra remplacer cette condition par celle-ci
car il est naturel de penser que la courbure de la chaîne doive s'évanouir à son extrémité inférieure, par la raison qu'il n'y a ici aucun appui à l'action des parties supérieures. Or
d\^ dx
y II' i d'z ^ dz .^ \
d^'i' donc, lorsque s est zéro ou simplement infiniment petit, ^ se réduit
a -7— et par conséquent on aura de même ici :; = o, lorsque s = o, et
r{t\c) -h ^{— t\c) = o, comme dans le numéro cité,. Au reste, ce Problème étant absolument analogue aux précédents est susceptible de remarques semblables. Je me contenterai simplement de faire observer que si l'on voulait le résoudre directement par notre méthode générale, on parviendrait, après les opérations ordinaires, à cette équation en M,
■ MfXdx
dx"" dx
qui est constructible par les méthodes connues dans le cas où
\ = hx ^ ;
il faudrait ensuite déterminer la quantité k avec les autres constantes
de M, par la condition
M f\dx MfXdxdy \ • ,
-^\— Ihc -dx — y -^ ^y = ^'
ou bien
M l\dx dy d}\ l'Xdx ^, / f ^. , • ^/\
lorsque x = aeix = o. Or dans le premier cas, y étant lui-même égal à zéro, il suffira que M le soit aussi; dans le second il est clair que toute
la quantité s'évanouira d'elle-même à cause du facteur / Xdœ qui multiplie tous ses termes; cependant on supposera toujours M = o, afin de terminer la suite des points mobiles au bout inférieur de la cbaine.
35. ScoLiE I. — Par les formules données dans ce Chapitre, on peut résoudre le Problème du n^ 61 de l'excellent Traité de la résistance des fluides, de M. d'Alembert, d'une manière peut-être plus analytique que ne l'a fait cet Auteur. Voici en quoi consiste ce Problème : il s'agit de trouver deux quantités A et B telles, que kdx -h Hdz et zHdx — zXdz soient l'une et l'autre des différentielles exactes. Pour rendre la question plus générale, je me propose de rendre exactes les deux différentielles adt -\- pdx, af^dt -h hx^ocdx; soit la première égale à ^^ et la second** égale à dq, on aura
donc
-^, 3-^, ^3-^ï, hva-'^-
^dp ^dg^ /,^«^^^.
dx dt dt dx
Je différentie ces équati^ons en faisant varier x seul dans la première et
/ seul dans la seconde, et je compare ensuite les deux valeurs de -j—jft ^ j'ai
dx^
dx (In
savoir
, d'^p d^p m du
(IP dx^ X dx
équation qui pst, comme on le voit, susceptible de notre méthode; en suivant cette méthode, on trouvera d'abord Téquation en M
, ^, rf'M X
kMx"-^ = -j m -j~,
dx* dx
qu'il fnur intégrer avant d'aller plus avant. Pour cela je fais
et supposant
u rrz , v- — ( « -h mu ) V -^ mu- =^ o.
je trouve, après les substitutions et les réductions,
i ^x '^'N 2i' — u — mu -4- I dy
équation qui se rapporte à celle du n^ 27. On voit donc par là que Téqua-
tion en M sera constructible exactement par nos formules toutes les fois
que 2{^ — u — mU'hi sera un nombre pair quelconque; le reste du
calcul n'ayant plus de difficulté, on trouvera pour la valeur de p une
expression exacte et tînie, composée de fonctions très-générales de ce et
de t. Si n =zm, alors on a m = i, et l'équation qui donne la valeur de c
devient
d'où Ton tire
i' r= I ou v — m ;
dans le premier cas, le coefficient 2v — u — mu -h i devient égal à 2 — m, et dans le second égal à m; or, dans le Problème de M. d'Aleml)ert, on a m = I , d'où l'on voit que ce Problème n'admet point de solution exacte, au moins suivant ma méthode; cependant, si l'on veut se contenter d'une solution seulement approchée, on pourra y parvenir immédiatement par les formules du Problème IIL car si dans l'équation
dr- dx^ X dx
on fait
x—sr, p — qsr,
et qu'on suppose les valeurs ueiv déterminées par ces équations
i'^ -h ( y. — w -h mu ) i' -h mu — w -h i — o.
ET LA PROPAGATION DU SON. iW
il vient
bu' —r^- — — r-i -+- ( ?. i' — « -4- I -*- mu ) -y- j dl' ds^ ds
équation qui a la même forme que celle du Problème cité, et qui par conséquent est susceptible des mêmes solutions. Lorsque m = /i, on a // = I et r = — I ou (^ = — m; la première racine rend le coeflicient
de -T- égal à m— 2 et la seconde le rend égal à —m, ce qui conduit aux
mêmes conclusions que plus baut. Au reste, il est visible que le Problème présent renferme dans sa généralité tous ceux dont nous avons traité dans ce Cbapitre.
