PROBLÈMES PRÉLIMINAIRES
38. Problème IV. — Construire Inéquation (^) =^ (7~i) "^'J' y étant une fonction quelconque de x et de t.
Je la multiplie par Mdx, je l'intègre, et j'opère à l'égard des termes / 'TIF ^^ et c / -7^ Mfltr, comme dans le Problème I; je parviens
ET LA PROPAGATION DU SON. iW
ainsi k cette équation en s,
-j- ■=! chs -h 1 Mjrdx :
par les mêmes procédés je trouve l'intégrale
s-h ur=\ef'-h ixef ie^ dt j Mjc/^,
d'où résultent les deux équations
i /'zMrfx-cosf/v^-^) rZMrfj:-h^^5-^^^ {\) < H ^-—e'y/^^ Ç €-*>!'* dt ( Mrdx
f ^.e-'V^ \ e'S'^dt / }iiydx,
{ i uMdx = cos{ts/—ck) j UM dx — y/-^^ sin (/ v^— ck) ( ZMdx (B) > -h i-e'V'* Çe-'^'^di I Mfdx
[ -4- ^e-'S'^ fe'^'^dt JMydx,
Or, puisque M = sin (j? y — ^), il laut, pour pouvoir chasser la (|uanlilé k des équations précédentes, réduire lous leurs ternies, en sorte que cette quantité k ne se rencontre que dans des fonctions de la forme de sinpa?) V-— ^|. (^j marquant une fonction quelconque de .r et /. Les termes qui renferment / ZM^, i UM<£r étant les mêmes ici que dans
le Problème I, ils se ramèneront k cette forme par les réductions enseignées; ainsi toute la difficulté se réduira aux termes affectés de deux signes d'intégration et provenant de la quantité y. Prenons d'abord le terme
-^^vS j t,-'S^dt j Mydx, 2 \'ck J J
et roinmençons par faire disparaître la quantité k du eoefficieni — =• Pour cela, soit changée l'intégrale
I M>rf^= I ^\\\' X \ — k , ydx
»'ii son équivalente
sin ' X \ — k i ydr — \ — I, i ros x ^^ h ,dx j rdx:
cp qui donnera par la substitution, et en effaçant le ternie sin (ic\ — X:) j ydx à cause de sin Ix v — >t) = o au premier et au dernier
point de l'intégrale / M v^.r, la transformée
— ^'— é»'N^ I e-'<^^dt 1 cos xx^/*,dx j rdx.
Posons, pour abréger, I vcfer = Y, et mettons au lieu de cos(a:\ — k) sa
valeur exponentielle -(V^^ -h é'"-'^*): transportant le signe d'intégration qui regarde x au devant de celui qui regarde t ce qui est permis a cause que la quantité e*'^*'^, qui est entre les deux signes, est une quantité constante à l'égard de x,, on aura
—A^—.e's'^^ fdx fe^'-'s'^<^\dt-\ ^^ ^V^ T^^ fe- ('-^'N'H^Yrf/.
Soit fait X— i\c=p, x -h i\'c = qn et soit nommée P la fonction de / et de j9 qui vient de la substitution de p -h t\c slix lieu de x dans la quantité Y', et Q la fonction de / et de y qui vient de la substitution de (j — t\c au lieu de x dans la même quantité Y; en prenant, au lieu des variabJes / et x, les nouvelles variables t et p. et / et y, on changera les deux expressions intégrales
Ç dx Cei'-'\^)>/*Ydt et fdx fe-t'-^^N'^lx* V
dt
ET LA PROPAGATION DU SON. iW
en celles-ci :
fdp feP>fi?dt el / dq Ce^^^^Qdt,
(|ui ont les mêmes valeurs, quoique sous des formes (lifFérentes. Dnns ces dernières expressions, les intégrations j ef'^Vdt et 1 (T'f^'^Qf/f devront se faire en variant seulement /; donc, si on suppose que les intégrales / Vdt et j Qdt soient prises avec cette condition, on aura
eP\^ fvdi el ^î^V* I Qdt,
re qui donnera les transformées %
feP\^dp fprf/ et Ç fr~i^dq fijdt,
dans lesquelles il faudra faire maintenant Z' et ^ variables, et / constante; or. à cause que les quantités i Pdt et j Qdt ne contiennent point de .x,
il est visible qu'il reviendra au même d'intégrer e^^'^dp j Vdt et
e-'f^^dq j Qdi^ eu supposant p eiq seuls variables, et de remettre après
rintégràtion, au lieu de p et y, leurs valeurs x — lyc et a; -h i\e, que de restituer d'abord ces valeurs à la place de p el de g, et d'intégrer ensuite en faisant varier .r ; d'où il s'ensuit qu'on aura
j dx j #?'* 've 'vi^Vrf/ =z f dp I eP>t^Vdt = \ ^'-'V<^ W*//jr ^ P<//,
Par conséquent la transformée cherchée du terme __L^vS i er^^'^di j Mydx
deviendra, après toutes les substitutions.
2W NOUVELLES R£«:HERCHES SLR LA NATURE
l»<|iip||e, en mettant hors des signes d'intégration la quantité exponentiel k e-'^""^ . qui est constante à Tégard de jt, se réduit plus simplement à
( (e'^^dx fvdt -^ Ç^^'dx fodi)
Par des opérations et des rédurtions semidahles on changera encore l'autre terme
— =.e-'\^ I e'^'^dt i Mr//x
en
^ J ( 1 e'S^dx JQdt - j\-'s^dx I Pdi),
donc, en retranchant la transformée du second terme de celle du premier, on aura
— --' fp'xï-e-'^* I fvdi - fQdt]dx
= f—^( fodi - i¥dt]s\n xs^^.dx.
Substituant cette expression dans Téquation A ., et égalant entre eux tous les angles multiples de \ — it, suivant les règles de notre méthode, on trouvera pour la valeur de z les formules qu*on a déjà trouvées dans
le Problème I, jointes avec la quantité —^ ( I Qdi — j Pdi)-
Après avoir ainsi trouvé la valeur de s, il ne sera pas difficile de déduire celle de u de l'équation (B,. Pour cela, comme dans cette équation
les termes qui renferment v sont exempts du coefficient —;=t on y mettra
d'abord, et sans aucune préparation, à la place de M sa valeur exponen-
tielle = — i ensuite, faisant des observations et des réductions
analogues à celles que nous avons faites précédemment, on trouvera que, si P' et Q' sont pris pour exprimer les valeurs de y après les substitutions de p-h i\c et de y — t\c au lieu de «r, les termes dont il s'agit
deviendront ' / ( / P'rf/ -f- / Q'dns\n{x\/'-i) dœ; par conséquent l'expression de u renfermera, outre les formules trouvées à la fin du n® 6, encore celle-ci, - ( 1 P'rf/ -h / Q'rf/ ]•
Corollaire. — Donc le terme y ajouté à l'équation
'dn "^dx^
produit dans les valeurs de z et de w une augmentation qu'on déterminera ainsi. Soit intégré ydœ, en ne faisant varier que x, et l'intégrale
trouvée | ydx étant multipliée par dt soit intégrée de nouveau, en supposant d'abord x -h tyjc constant et i seul variable; puis, en supposant X — ty/c constant et t seul variable, retranchant cette seconde intégrale de la première et divisant la différence par 2\'c, on aura ce qu'il faut ajouter a la valeur de z. Ensuite soit intégré simplement yr// d'abord, en traitant x -h t\'c comme constante et / comme variable, puis en traitant X — t\c comme constante et t de même comme variable; la somme de ces deux intégrales divisée par 2 sera l'augmentation de la valeur de u.
39. ScoLiE I. — Dans l'excellent Traité de la cause des vents de M. d'Alembert, on trouve à l'article 87 une méthode fort simple et fort ingénieuse pour rendre complètes ces deux différentielles,
xds -h ^du et oxdu ■+- v^ds -f- dul(Uy s) -h dsT{u, s).
Le Problème se réduit à celui que nous venons de résoudre, car, en supposant la première de ces différentielles égale à dp, on trouve « = -^ **t
^ = -£.. mais, pour que la seconde différentielle soit exacte, il faut que
d[ox -h A(/i, 5)] </[v^ -hr(a, sj\ ds du
ce (|ui donne, en substituant et différentîant,
d^p d^(u,$) ___ d^ dT(u,s) ' ds^ ds ^ du^ du
équation qui reviendra au même que celle du Problème précédent, si Ton pose z au lieu de/?, t au lieu de 5, x au lieu de i/, c au lieu de ^ et
y au heu de - — \ ' ' -r^-^ •
p L a w ds \
Si d'un côté la solution de M. d'Alembert est plus simple que la nôtre, de l'autre elle parait insuffisante pour les cas où les valeurs de /> seraient prises à volonté lorsque j = o; et c'est précisément dans ces cas que rentre la question qui est l'objet du Problème précédent. Au reste, si l'on introduit dans notre solution, au lieu de Z et de U, des fonctions indéterminées, on en tirera des formules analogues à celles que M. d'Alembert a trouvées par sa méthode. Il est vrai que nos formules se présenteront sous une autre forme que celles de cet Auteur; mais la comparaison n'en sera pas difficile et ne demandera d'ailleurs qu'un peu d'adresse de calcul; c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas.
40. ScoLiE II. — Ce savant Géomètre a encore rendu l'usage de sa méthode plus général en l'appliquant à déterminer les quantités « et |5 par les conditions que
xds-h^du 01 padu -h p^du -hy^ds -h mads -h duJ^(u, s) -h dsT(n, s)
soient Tune et l'autre des différentielles complètes. Faisant
ads ■+- ^du = dq,
et substituant dans la seconde différentielle les valeurs de « et ]S en q, on trouvera par les conditions de l'intégrabilité l'équation suivante :
d'à d'à dA(u, s) d^q d^q dT(u,s)
ds^ '^ dsdu ds ' diû duds au
qui peut se rapporter à cette forme,
d^z . d^z rf^^
~dP ~ ^ûdi^'dx^ ■^*^'*
Quoique cette équation soit étrangère à la matière que nous traitons, je crois qil'on ne sera point fâché de voir comment notre méthode s'y
applique. Je commence ici par supposer -^ = m, et je décompose par ce
moyen l'équation proposée dans les deux suivantes :
dz du . du d^z
je multiplie la première de ces équations par Ncte et la seconde par Mfi£r, je les ajoute ensemble et j'en prends l'intégrale en faisant évanouir par des intégrations par parties les différences de :; qui naissent de la variabilité de .r; j'ai
JLm* m« dz dM
-h oMu -h cm -7 c—r- z.
dx dx
Négligeant ces derniers termes algébriques qui disparaissent d'euxmêmes, dans la supposition que z et M soient égaux à zéro au premier et au dernier point de l'intégrale, et comparant terme à terme, on aura
dx^ dx
d'où l'on tire
dx dx^
m et n étant les racines de l'équation
