I -h 6r — cy^ = o
Or, M devant être égal à zéro lorsque a? = o et ar = a, on aura
B -- — A cl e"^ — e»*«=T=o, ce qui fournira une infinité de valeurs de k\ on aura donc
M — er'" — e'*^'.
et par conséquent
N = ck (m} er^' — n^e^).
Soit maintenant
/ (Nz -h Mu)dx — s, notre équation deviendra
— =: ffs -^ I My^dx ;
d'où Ton tire, en intégrant et conservant les noms que nous avons employés dans tout le cours des Recherches précédentes,
A N z -h M M) rfo; = e*' A NZ -h MU ) rfa: -h éf*' je-^^dt j Mydx,
Or, la quantité N étant multipliée par un coettîcient t, pour le laire disparaître on changera les intégrales
^zdx K / Kldt en
en négligeant les autres termes qui deviennent nuls à cause que s et Z disparaissent quand a- = o et ^ = a; substituant donc les valeurs de M
et de j Ndœ, on aura
I lu — cm -r-\ e^'dx — j ( " ~ ^*'* ;7~ ) f!*"dx
= Ç({]-cm^\ eC-'^Oàdx - r( U - ^•'» ^ ) eC'-^'^^dx
-+- e*' / e~^'dt I e^\rdx—e*' j er-^'dt j e'^'ydx.
Soient P la fonction de p et de / qui vient de la substitution de p au lieu de mx — / dans j, et Q la fonction de gr et de / qui vient de la substitution de gr à la place de na? — / dans la même quantité/; les deux
derniers termes de la formule précédente se changeront, selon, ce qui a été enseigné plus haut, en ceux-ci :
Maintenant, puisque m est supposé différent de n, il est clair que les quantités exponentielles ^*'^, e^''^ et gî"'^^-'^*, ^{nx-^tjk ^^ sauraient jamais devenir égales; donc il faudra nécessairement décomposer l'équation en deux, afin d'en chasser la quantité k; par ce moyen, on trouvera, en retenant les expressions employées dans le Problème I,
dz (,, dZ\V~^n) r
M — c/M -1— = I U — cm -j— I -h I vaty
S'il arrivait que n=^m, alors, la première de ces équations demeurant la même, on ne ferait qu'augmenter n d'une quantité infiniment petite a, c'est-à-dire on supposerait /i = m -h a, et, ôtant la première équation de la seconde, il viendrait, après avoir divisé par «,
dx \dx dx 6*m'J j dp cm}
Si n était infini, ce qui arrivera lorsque c = o, alors on aurait aussi en = o, et la seconde équation deviendrait
M = U(')H- / Qdi.
Si l'on veut maintenant comparer les résultats de cette solution avec ceux de M. d'Alembert, on prendra pour
iM NOUVELLES KECHERCHES SUR LA NATURE
(\ffy fonctions indéterminées de ;r et de ar » et faisant les substi-
tijtions et les réductions nécessaires, on trouvera pour a et ]S des formules analogues à celles que cet Auteur a données. Quoique j*aie fait tous les calculs que cette comparaison demande, je ne les insérerai point ici pour ne pas pass^.T les bornes que je me suis prescrites dans cette Dissertation.
41. Problème V. — Construire l'équation -7— =c-j—^ -h c-j h v.
En suivant notre méthode, on parviendra aux mêmes équations ■ Ay et B^ du Problème précédent, avec cette seule différence que la quantité M sera maintenant égale à
sin x\— Il — .r \ — A ros x \ — k,
comme dans le Problème II, ce qui rendra l'expression 1 Mvdar composée des deux termes
sin -x \
\/— k ydx — \ — k I cos^x y— /» ,yxdxx
on aura donc dans Téqui^tion ' \,
.--. j Mydx= — =, I sin^x\ — kjrdx -^ ^— r=i / cas x^— k nxdx
= — ^ -^3^ 1 ros -x V— /» ' 1 I y^dx -4- xr ) dx^
en réduisant le premier terme, comme on Ta fait dans le Problème précédent. Il faudra pourtant observer que l'intégrale j rda- soit prise de manière qu'elle s'évanouisse lorsque ac = q, afin que le terme
sin (jT y-— kjfrdx
que nous négligeons s'évanouisse de même. Supposant donc maintenant j yd,r -h^ xy = Y, et faisant les autres observations et réductions suivant les principes établis dans les Problèmes II et IV, on trouvera que la
valeur de z\ savoir de z -h -^— » du n" 20, devra être ici augmentée de la quantité
On tirera de même de l'équation (Bj la valeur de u!\ mais on pourra s'épargner la peine de ce calcul, en cherchant, d'après la valeur trouvée
de z\ celle de -^ = u! .
Usage des Problèmes précédents,
42. Examinons d'abord le cas d'une ligne physique d'air; il est facile de trouver que l'équation rigoureuse du mouvement des particules sera
dz d^z
d^z dx l dz \ dx^
dt^ (ix \ dx)
I dz \ dx^
('■^Sï ='■ Tz
'^di
car la portion du fluide, qui dans l'état d'équilibre occupe l'espace dar, après le temps t remplira l'espace da: (i-h -i-\j ei son élasticité sera par
conséquent diminuée dans le rapport - -,-% donc la différence d'élas-
dx ticité des deux particules adjacentes s'exprimera par
dz dx
donc, divisant par la masse dx de la particule intermédiaire, on aura la force qui tend à la mouvoir; donc,' etc.
Je réduis la fraction -,- en suite. par une division infinie: il vient
dx
dx \dx)
i56 NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE
j*aurai donc, en substituant,
d^z d-z dz d'Z idz y d^z
dr ' djT' dx dx^ \ dxj dx-
Or, si on suppose ^f£r infiniment petit par rapport à dar, il est elair que
d^z le second membre de cette équation se réduit au seul terme c-j—^ et
qu'ainsi Téquation
d'Z d'Z ~dF — ^ dx'
donnera une valeur de z qui pourra être regardée comme exacte; c'est le cas que nous avons déjà traité. Mais, si on suppose seulement z fort petit et cependant fini, l'équation
d'Z d'Z ~df ~^dx''
ne donnera plus qu'une valeur approchée de :;: on substituera donc <ette valeur dans les termes
dz d'Z .dz v' d^ dx dx' y.dx) dx'
qu'on avait négligés, et intégrant l'équation par la méthode du Problème IV, on aura une valeur de z plus exacte: on substituera de nouveau la valeur de ;; ainsi corrigée, et l'on en tirera une autre encore plus exacte que la précédente; en opérant ainsi de suite, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de z.
Or si, pour faciliter le calcul, on introduit les fonctions indéterminées dans notre solution du Problème 1, on a pour la première valeur de z
z :^ 9 ( jr -f- / ^ r ! -h 'iff' X — i sc ,;
maintenant il faut supposer
dx dx' ~^ ^ K^^-^J dx'
dz d^z I dz y d'Z
dx dx' \ i '
ce qui donne
en négligeant les termes suivants qui doivent être regardés comme infiniment petits d'un ordre plus élevé; on aura donc
P= C<p'»(/; -h 2/ v^) ~C(^' ip -1-2/ yVj ^'(p) C^'^p),
Q = — -c(?"{q) — co'(q)^\t'{q — 7j)/c) — icv}^" (g — 2/ ^ rj, et par conséquent
I Pfii z=~ le I (^''(p-h^tscldi— —(?(p-h2ts/c)^'(p)- -cl^"(p), j Qrf/rzi- Lcio'^(q)^ )!jL^'(q)^{q^^tfv)— -c Ç ^'^{q ~ ityjl) dt.
Que (y) dénote la valeur de l'intégrale / y'* {p H- 2t\;c) dtyjc, et {^)
celle de l'intégrale / ^''^ {q — 2t\c) dtyjc, on troUxVera, après avoir restitué au lieu de p eide q leurs valeurs,
J^Qdi-pdt ^x - ^^„ ^^ ^ ^-^ ^„ (^ ^ ^ ^,^.^j
-^- -T^[x — t y cj 9' (jF H- / yrj
quantité qui devra être ajoutée a la première valeur de z.
Pour voir maintenant combien cette correction peut influer sur la vitesse de la propagation des ébranlements, on observera que les fonctions 9 [x] et 'I (x) doivent être telles, qu'elles soient toujours égales à
zéro, lorsque les abscisses x ne sont pas très-petites (4) ; d'où il suit que pour la propagation du côté des abscisses positives x, il ne faudra retenir que les fonctions Ae x — tsjc ou de y — it yc; on aura donc
Or, en supposant la valeur de '| {x — t\c) très-petite, ^'^ {x — t\'c) sera un infiniment petit du second ordre, et f tfj sera aussi du même ordre à très-peu près, à cause que la fonction ^{x — t yc) n'a de valeur que dans une fort petite étendue de Taxe; mais t\c devant être k peu près égal à r recevra ujie valeur considérable, donc le terme ('i^j s'évanouira auprès du terme /yr^j^'^ {x — t\/'c), et la valeur de :; se réduira à
Le premier terme ^{x -^ t\jc) donne, comme il est facile de voir et comme on l'a démontré ailleurs, la vitesse de la propagation égale à yc, et il est clair que cette vitesse ne peut varier k moins que la quantité \c ne varie de même; supposons donc \lc-\- a, au lieu de yc, a étant une quantité assez petite, on aura pour le premier terme de la valeur de z
qui se réduit à
^{x — lyjc) — ta^' (x — t ycj;
comparant cette expression avec celle qu'on a trouvée par notre appro mation, on a
mais
dt en désignant par u la vitesse propre de la particule qui répond i
ET L\ FiJOFAGATION W SON. iO»
scisse jt: donc
et pair i*<»nsèqueDt b vitesst* de la propagaliou devieudm à irè^peti |»rè> égale à
Cette conelosioD parait doue en quelque sorte favoraMe à Thypothèse des ébranlements finis, mais elle perdra toute sa forre pour peu qu'on s'arrête à Texaminer.
Par ce qu\m vient de trouver, on a
soil a la longueur de Tonde aérienne excitée immédiatement par le eorp> sonore, il est clair que z ne commencera à avoir une valeur que quand on aura
tu
X— t y^c y —ai
d'où il s'ensuit qu'au bout du temps / le son sera parvenu jusqu^a la particule qui répond à l'abscisse
u étant la vitesse que cette particule reçoit en même temps. Or, en pn^ mier lieu cette vitesse ne peut être qu'infiniment jHUite. puisqu^il siérait absurde qu'une particule d'un fluide élastique reçût tout d'un coup une vitesse finie par Faction des autres parties adjacentes; en s<*cond lieu, il est visible que la formule trouvée détruirait l'uniformité i\v la vitesM* du son et la ferait dépendre en quelque sorte de la nature des ébranlements primitifs, ce qui est contraire à toutes les expériences.
Il serait, après cela, inutile de pousser plus loin l'approximation de la valeur de z\ car, outre qu*ii n^en résulterait que des termes moindrt-s
que celui que nous venons d'examiner, l'expression de la vitesse du son deviendrait toujours plus compliquée et par conséquent moins conforme à la véritable.
43. Passons maintenant à Thypothèse des ondulations sphériques, et cherchons par le moyen du Problème V si le changement que la suppoition des ébranlements finis cause dans leur propagation peut s'accorder avec les phénomènes.
Par les principes posés dans le n** 30, on trouvera pour l'équation rigoureuse du mouvement du fluide
d'z L dxj{x
(iV ^ dx
h zy I dz \
dx^ n dz iz
dz X -h z dx x(X'¥-z) dx
d'où l'on tire, par la voie des séries.
^=c\—'h^^) -ci— — 4-9.il£ dp "" ^ \dx^ dx / ^ \dx dx^ ^ x dx y
(dz Ydrz z- x Wdx) dx' ^'^ X' dx\
On aura donc, selon le Problème V,
1 dz d'z z X \
•^ \dx dx^ ' X dx /
en négligeant les autres termes qui renferment plus de deux dimensions de z\ donc
r , c idzY z'
ET LA PROPAGATION DU SON. Mi
"Hm./i
ydx -h ^r = Y = l^^£ .' =i -î^- -- — ' .r± - c ^7—
^ ^ dx j. dx ax
Maintenant, il faut substituer au lieu de z sa valeur lirée des formules du Problème II. Pour abréger ces substitutions, je remarque d'abord, eomme il est évident, qu'il ne faudra employer que les seules fonctions Ae X — t vc; d'où il suit que si l'on pose
dzx I
on aura
__ '^{x—t>fc) '__ ''oix — ts'c)
Je remarque ensuite que, lorsque x a une valeur considérable, on peut négliger, auprès des termes qui contiennent x seul au dénominateur, tous ceux qui sont divisés par des puissances de x plus hautes que l'unité; par ce moyen, on aura simplement
p -h t \C j Pdt=^ — v^?(/>)9'(p)log(/> -h /ycJ = — )/C(^[x — ( yc/ '/ .r — /y'ejlog-t',
d'où l'on tirera par les quadratures la valeur de / Qdt\ mais il est facile de voir que cette valeur sera infiniment petite par rapport à celle de / Prf/, à cause que la fonction y et ses différences sont toujours intiniment petites, et qu'elles n'ont outre cela des valeurs réelles que dans une très-petite portion de l'axe; ne prenant donc que la formule —= I Vdt
et Totant de z -\- -^^ savoir de rf{x — /\/c), on aura pour l'augmentation de cette fonction
-9 (jF — / V'cj 9' {x — t\Jc) logjr;
or, si on suppose, comme on Ta fait plus haut, que la quantité \ c croisse d'une très-petite quantité a, on trouvera ici
c^ix ~ t^c) \o%x
ce qui changera la fonction
9 (jr -=- / \Jc)
en
^\x — t^' -\ — o{x — t \jc) I •
Prenant a pour le rayon de la première onde aérienne excitée par le corps sonore, les lois de la propagation du son seront donc contenues dans la formule
Je crois superflu de m'arréter ici à examiner les conséquences de cette formule, car il est facile de voir qu'elles ne seront pas plus favorables à la supposition dont il s'agit que ne l'ont été celles qu'on ^ trouvées dans le numéro précédent.
44. Corollaire. — Après ce qu'on vient de démontrer, je crois qu'on peut regarder comme une vérité assez constante, que l'hypothèse des ébranlements infiniment petits est la seule recevable dans la théorie de la propagation du son, coftime nous avions promis de le prouver dans le n*" 10. Je vais donc rentrer dans cette hypothèse, et chercher à déterminer les lois de la propagation du son d'une manière plus générale H plus exacte que je ne l'ai fait.
J5 II. — Essai dune construction générale des trois équations
du 11° 10.
45. Je multiplie la première de ces équations par L, la seconde par M et la troisième par N, en supposant que L, M, N soient des fonctions quelconques de X, Y, Z; j'en fais une somme que je multiplie encore par d\d\dZ^ et dont je prends l'intégrale en faisant varier l'une après l'autre les troischangeantesX,YetZ. De celle manière, j'aurai l'écpiation
r/d'x d'y d'z ^ rf^>- d'x
H. -.'^M -f- '-^N -4- -tJ^.N + -Pr^A d\d\dt. d\dL dV d/.d\ dld\ ]
qui renferme le mouvement de chaque point mobile du système donné.
