I .(X—pt,\ + qt,7.-l-rti I .(\—pt,\—^t,7.-t-rt

I „ d'L I ,, /, . «/«L , . rf«L

rf«L V

On formera de pareilles formules à Tégard des expressions

j^( X-H/»/, Y-Hç/, Z-i-rO ^ j^^-t-F*» ^■-♦-f'» *H-''0

^r% ^orvELLCi^ ii£«:«ek9:he!» :»ur la !iatcbe

(x.-v-.. T..yî.z-.yî) , |x-.-»c. \,,ï. »-ryî.z.yf)^ U.,;.

.•.M(''"'v^^-'V-^^-'Vs)^•„l^-'v[

- 'M(''*'Vi'^~'V''^-'Vi)iM('"^'V^

on trouvera de même les transformées (Mj et (N) des deux autres équations (G) et (H), et Ton aura ainsi, en substituant, la transformée entière (le la formule

ces

it^-^ck) r[(.r)L-4-(r)M-h(i)N]rfXrf\rfZ.

qu'on substituera ensuite dans l'équation (D).

Supposons, pour un moment, que les quantités {x'), iy), [z' ) soient nulles dans cette équation, la lettre k s'en ira entièrement et ne se trouvera plus que dans les expressions des quantités L, M et N. Or, quoique nous ne connaissions point la forme de ces expressions, on pourra cependant vérifier l'équation indépendamment de k, comme notre méthode le demande; car pour cela il ne s'agira que de comparer ensemble les quantités qui se trouveront multipliées par les fonctions L, M, N qui auront des valeurs égales.

Que (X), (Y), fZj dénotent les coordonnées qui répondent k l'expression générale L(^-^A'^^-»-'7^5^■^'^0^ ^^^ aura, selon notre hypothèse,

X, Y, Z étant les coordonnées qui répondent a l'expression L simplement et aux quantités x^ y, z, (ir), (y), (z). Supposons donc que les valeurs de (X), (Y), (Z) soient diminuées des quantités /?/, qt, rt (ce qui est permis, puisque ces quantités sont constantes à l'égard des intégrations indiquées dans l'équation), elles deviendront X, Y, Z; mais en même temps les coordonnées correspondantes a (ur), [y), (a), et qui étaient auparavant X, Y, Z, deviendront X — />!, Y — yl, Z — rt. De

rette manière, toutes les quantités exprimées généralement par

- : X-H/)r, Yn-yr, Zn-rr; «-(X-f-;?f, Y-^-y^ Zn-r/) «,(X-h^/, Y'-»- y^ Z-i- rr^

i^ y Jll • y il *

redeviendront

,(X,Y, Zy ..X, Y,Z) T^(X, Y, Z) . , . I mM X'

L' % M % N^ . ou simplement L, M, N;

mais à leur tour les quantités (x), i j;, Iz), qui les multiplient, se changeront en

(j:)'^"''''^"^''^'"'''^ (^p-/'^^'-'/'»Z-^0^ ^^y\-pt,\-9t,Z-rt^^

Après ces transformations, on joindra ensemble tous les ternies de l'équation qui se trouvent multipliés par L, M, N, et on décomposera ensuite cette équation en trois portions, dont chacune devra se vérifier séparément et indépendamment des valeurs de L, M et N. On aura donc par là

(P) x=^(xf

- i,,^ '-'v^' '-Vi) . i.,^- •- v^' -vl)

- iU"- '"' V^' ''*'Vl) :,,,("■ "-'Vl- '-^'s/ï)

iir)^ " ' "' * "^ + â(r)

Oïl aun» do même, pour les valeurs de >- et de z, deux autres formules (|ue je nommerai Q) et R;, et que je m'abstiens de rapporter, puisqu'on p(»ut les déduire de la précédente en ehangeant simplement a-, f^j, X en j, V;, Y pour la formule Q;, et en z, ■ c , Z pour la formule fR,, et réciproquement.

(]e sont là les valeurs de .i-, v, z dans Thypothèse que x\, ly' , et (:;'; soient nulles. Supposons maintenant (jue ces quantités aient une valeur, mais qu'en même temps les .Zy, . Vy et i zj soient nulles; il est clair que dans l'équation D j on aura, à la place du terme

cos l'autre terme sin

(/ v/- cli) C[{x) L -4- ( v)M -f- (z)^]d\fl\ <//,

V — ck J or, si l'on fait attention que

\ — vk J

278 NOUVELLES REUHERCHES î^LR LA NATURE

il uf M-ni (lâs difBr:il*f iJ'si percevoir que les expreâsioD:» de L. M t**! N. qui qui >^ trouveront en faisant disparaître la lettre i. ne seront que les inCt^ ^mlfrs de relies quVm a trr»uvees plus haut, prises en remaniant / !$eul f'«»mmH varialilf . Ainsi un terme quelconque de la traiisf«>nBfH^ !^ra ri-pr^s^nt^ par

iir il p>t visilil^ que rînte$;ralion suivant /. flans le&pnrâsion

se réduit a trois intégrations suivant X, Y, Z: d'où il s*«-fisuit quf riolt»îfralf

/'[ r- /'L^-'"^^'''-"rf/jrf\rfYrf2 pourra ^M' ti-ansrormfrr. |>ai- «lc> inlé{n-alioii> par parties, en t-elle-ri :

qui [louiTa pnrore >e niellre >oiis retle autre furmi* :

où rinlé{4Tî*le de x ^ "A"» ^ -y^ z-^/, devm être prise en faisant varier / dans les valeurs X — /?/, Y — y/, Z — /t des coordonnées de jr' .

Faisant des observations et des réductions semblables sur tous les autres termes, et comparant ensuite les quantités L, M et N entre elles, on trouvera |>our ;r, y, z des formules qui ne différeront de celles qu*on a trouvées ci-dessus, qu'en ce qu'à la place des quantités ^ar), T v)» (s il

y aura les quantités intégrales I •x\dt^ j -y' ,di, I [z)di.

Il est maintenant facile de voir, en examinant l'équation (Dj« que les deux solutions particulières qui viennent d'être trouvées renferment la

solution générale, et qu'il ne faudra qu'ajouter ensemble les expressions trouvées de ^, j, z dans les cas où ix')^ fj'j, [z') ou (^r), (yj, [z] soni nulles, pour avoir les expressions complètes pour le cas où ces quantités sont toutes réelles.

De plus, comme l'équation (Ej n'est que la ditTérentieJle de l'équation (l)j prise en variant t seul, on aura tout d'un coup les valeurs des vitesses, en différentiant les formules qu'on vient de trouver pour les valeurs des espaces x^y^ z\ il viendra donc

.r ./(x)-,(^'^-Vi''-'V^)

- ? L^"' ) -^ -dr\

im NOCVELLEâ BECHERCHEâ SFB LA ?fATCtE

|x.yZ,,..yl.z-,yî)

(^-'Vl-*-'Vr'-'Vl)

(x,yf,w,yi.z^ryi)

^*'Vî''-'Vr'-'V5) (x-,yi,v-,y^,z-,y^)

rfr,l di J

' àt J

' dt J

-sp'

drn

-si'--

-si"'

Les valeurs de y' et de s' se trouveront de même en substituant dans eette formule k la place de x\ ix), (oc'], X, leurs correspondantes v',

! vj, f v), Y ou :5', ^s), fs), Z et réciproquement.

48. Voilà des formules très-générales par lesquelles, connaissant dans un instant quelconque le mouvement de toutes les parties du fluide, on pourra déterminer à très-peu près leur mouvement dans les instants suivants, au moins pendant un intervalle de temps fort court. Or, si après ce temps on recommence le calcul en substituant à la place de (,r ;, ( vj, fs), (;r'j, f v'j, fz'j les valeurs trouvées de x,y, z, x\y\ z\ on en tirera des nouvelles valeurs de x, y, s, x\ y\ z' qui serviront pour un second intervalle de temps égal au premier; et opérant ainsi de suite on pourra trouver les mouvements du fluide pour tel espace de temps qu'on voudra; mais il faut avouer que cette méthode ne sera guère praticable pour un temps assez long; car nos formules n'étant qu'approchées, l'inexactitude de chaque résultat influera nécessairement sur tous les résultats suivants, et par conséquent plus le nombre des opérations sera grand, plus aussi on risquera de s'éloigner de la vérité.

i a jnmL^îUitin ai inn.

itM lll:f•r.^lln^ i'ft)#»i-i ni lu -.iT» '•iiior* j' 'îjniiie m in»* -^tiit*

iwi-.i-llr ï' ,tr ti»*ir :t In^Huml ^li. levrilllli*»* 1:41' »*:* "MiritiQUr**^ K .

/: ** • oMii> • inmiH'ii *' );ii' iukîî* it*t:r*-T •"•■ *îirtiiii**nf*ii muni»*

' k'iM II* '.if • «HP*.

*Mi l'iini'î •■• (Î.-U lie îièV* 1-^ ■'•lUt .i'»l:? ? . «J 1 . ?' . •>' .

:t *t iitr-f '^-^t'-ti-r -ai .Ut* M .H- "''»i:i*- «**• ïUitiimerr r . • . j .

' îi .;l.-»1. l.l i IV- -'Î3» Si.ir [•!•' 5- . Y Z : »»'.

.;^ i r Z — •• . ^ii ' !•* '* n* •-". Tt-'if tr tii"' liie 1':* *jiH!irs 'i* .: .: .' .: st^i-.r* < 1,'4-i : l •*** }• «l? «IV*. i^ lf:i"^«*a:H»» îi-ar i;*

.>i.M.;.i.*i .»> <♦"•< ^ii-î" î**r,*mi.:Tt*i^ c;i:* :•*•? *••••{•. a il e^* X. Y. Z. ^fr•îl•*> ; i»-

Z. 'f:.! ■!" .' rrr:. :•.";• i-';r \;t p«'.-*iri .'fj •:- " nn^-* r.-> p;i^*.i'nlt^s ip Tiiir tini

•l ,':\.f'^< \, i , Z '4Cip^ni'-r.*1p"fi' â ufit- li^Txr- '!r-.Ur qui p;iâs«fn p^ir Ir p- r- ^^'ii-i r-p-/nrf»=-nî l-^ •••*«ir»I>nr-#!^s X . Y . Z »^t »jui t^Té -^^^

^;> r^ -- r- ^pr ~ ^ -^r- ^p - *i

^t'fffi l^ Vfi^^Mf finf-u rlonrirfnl -d p. q. r iKs valeurs liifferenles, on ;iura .-.)y^i /|*^ f\fu^^f<^ à^ rlirff-r^Tile position, mais qui sVn!r»H*Mupt*roiit toutes

dans lin niôinc^ point et qu'on pourra par conséquent regarder comme autant de rayons sonores excités par l'ébranlement donné de la particule qui est à leur centre.

Os rayons croîtront uniformément avec le temps, <le sorte qu'au bout d'un temps quelcon(|ue / leur longueur sera généralement exprimée par

on aura donc, pour la vitesse d(* la propagation du son dans cbacun d'eux, la formule \c( p' -i- y^ -+- /- , dont la valeur se connaîtra en substituant au lieu de />, q, r leurs valeurs particulières. Par ces substitutions, on aura les trois ([uantilés suivant(»s :

qui constituer(»nt p<»ur ainsi dire autant d'espèces ditlérentes de rayons sont)res.

(Test une cbose digne de remarque (|ue la plus grande vitesse 2i/'^ approcbe Ihsiucoup de celle (ju'on trouve par l'expérience; car \c étant égal environ à <)7() pieds et c à ()5S.^|/|i, on aura i / - = >()5, et |)ar con-

se(|uent 2 i/ '■= i ilio (|ui i^sl à très-peu près le nombre de pieds que le

son parcourt dans une seconde, selon les expériences moyennes. (Cependant il ne parait pas que ce résultat soit encore capable de mettre la théorie d'accord avec l'expérience sur la vitesse de la propagation du son. Vcuci les raisons (jui m'obligent à suspendre mon jugement là-dessus, i" Nos formules ne sont qu'approchées et ne peuvent avoir lieu que pendant un temps assez court, après lequel chaque particule mobile doit étrt» regardée comme un nouveau centre de rayons sonores.

i8* NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE

2® La position de chaque rayon n'est pas fixe, puisqu'elle dépend de relie des trois axes principaux, laquelle est absolument arbitraire; d'où il suit qu'en changeant la position des axes, les rayons qui avaient auparavant une vitesse donnée pourront prendre la place de ceux qui avaient des vitesses différentes; ce qui parait renfermer une espèce de contradiction, puisqu'une même particule de fluide pourrait en ce cas avoir ou ne pas avoir de mouvement. Cet inconvénient, qui vient sans doute de ce que nos formules ne renferment pas tous les termes nécessaires, sera aussi attaché à toutes les autres formules qu'on trouvera par approximation; d'où il résulte que, jusqu'à ce qu'on ait trouvé des formules tout à fait exactes et rigoureuses, on ne sera pas en état de prononcer sur le point dont il s'agit.

3*" Nous avons trouvé dans les deux hypothèses du Chapitre III la vitesse du son égale à Vc, et cette même valeur peut se trouver aussi par les formules de ce Chapitre, en considérant la plus grande vitesse des rayons estimée suivant la direction de chacun des trois axes, ce qui parait mieux cadrer avec la nature particulière de ces formules.

50. Nous n'avons encore considéré que l'effet qui résulte de l'ébranlement d'une seule particule d'air; supposons maintenant que tant de particules (ju'on voudra soient ébranlées d'une manière quelconque dans le premier instant du temps t\ on trouvera, en raisonnant sur nos formules de la même manière qu'on a fait ci-dessus, que chacun des ébranlements primitifs excitera dans le fluide environnant les mêmes rayons sonores que s'il était seul, de sorte que les particules d'air qui se trouveront dans la rencontre de plusieurs rayons auront un mouvement composé de tous les mouvements qui dépendront de chaque ondulation particulière. C'est ce qui nous fournit une explication complète et rigoureuse de la manière dont plusieurs sons différents peuvent coexister et se répandre dans une même niasse d'air, sans se nuire mutuellement les uns aux autres [Recherches précédentes y LXlll).

Au reste, comme chaque particule d'air ébranlée devient elle-même un centre de rayons sonores, il est évident que le son doit se répandre

également en tous sens, ce qui est aussi un des principaux phénomènes 'de sa propagation.

51 . Quoiqu'il ne soit pas nécessaire de connaître la nature particulière de chaque ébranlement, il est cependant bon de faire attention à la différence qui se trouve entre les ébranlements primitifs et dérivatifs, par rapport à leur propagation. Supposons pour cela qu^ayant déduit d(i nos formules les valeurs de x,y, z,... pour un temps quelconque désigné par (/), on les substitue dans les mêmes formules à la place de {x), (y), (-z),..., pour trouver les valeurs correspondantes de x,y, z,... pour un second intervalle de temps marqué par t; et soit par exemple

oc\(x)-h j (x')dt\

un terme quelconque de. la valeur de x, et

le terme correspondant de la valeur de x\ lesquels doivent être substitués au lieu de (x) et de (a/) dans les termes de la forme de

pour la valeur de x, et dans ceux de la forme de

di

pour la valeur de x. On remarquera d'abord que dans nos formules un terme quelconque, dont l'exposant est fX -hpt, Y -^ qt,Z -h rt) est toujours accompagné d'un autre terme exprimé de la même manière, mais avec l'exposant (X — /?/, Y — qt,Z — rt); on sait de plus, par ce qui a été dit ci-dessus, que les termes

marquent la propagation des ébranlements (a?), (a/) suivant une ligne qui fait avec les trois axes principaux des angles dont les cosinus sonl

V^P' -f- (p ^ r^ sfp^-^-q^ -\- r» slp^ -f- ^' 4- /* d'où il s'ensuit que les termes

dénoteront la propagation des mêmes ébranlements ^a?y et {x ) dans la même ligne prolongée du côté opposé. Or, cela posé, je dis que si i]c ^ fig. \(\) représente un rayon de la propagation d'un ébranlement

Fig. 14.

primitif excité en C, la propagation de l'ébranlement dérivatif qui est en c sera nulle suivant la directioTi cC opposée à celle de son ébranlemenl primitif. Pour le prouver, il n'j^ a qu'à faire voir qu'en substituant

au lieu de ^-x), et

au lieu de Nr' , dans les termes

|(X — 7>^ \ —y/, Z ■ rt)

[(-r) ^i[x')dt^

^ ^ dt

d{x) l(X -/'', \-<ltri.-rt

c(îs termes deviendront nuls. Or, comme dans les exposants \—pl, Y — qt,Z — rt, le temps / est négatif par rapport aux coordonnées X, Y,

rd (x) {x)dt et la différentielle -^ seront

aussi nécessairement négatives; d'où l'on aura par la substitution

^{x) - f{x')dt^=a^(x) -\rj\x')dt -|'(x')rf/-(x)J=.o. et de même

(ionr, etc.

Au reste, la remarque que nous venons de faire sur les tbrnmies générales (le ce Chapitre est entièrement analogue à celle qu'on a déjà faite sur les formules particulières du Chapitre HI, dans le n*" 16, remarque dont nous sommes redevahles à M. Euler et qui esl d'une grande importance dans la théorie de la propagation du son.

52. 11 ne nous reste plus qu'à examiner le changement qui doit arriver aux rayons sonores par la rencontre d'un obstacle quelconque, qui s'oppose entièrement, ou en partie, au mouvement des particules contiguës de l'air. Pour cela, il n'y a qu'à chercher quelle devra être la position d'une particule mobile quelconque, lorsque les coordonnées

\r=[X]-hp/, V =:[Y]-h^/, Z=:[Z]-f-r/

tomberont au delà de l'obstacle immobile. Or, en examinant les calculs du n® 47, oii voit que les valeurs des X, Y, Z, pour une particule quelconque mobile, sont les mêmes que celles qui constituent les fonctions

donc tout se réduit à examiner la nature de ces fonctions et à voir de quelle manière il faudra les transformer, atin que les quantités X, Y, Z ne surpassent jamais des valeurs données.

Imaginons, donc (juc la masse de l'air soit int(»rrompue de quelque coté, et comme terminée par une espèce de paroi immobile de figure donnée; il est constant, par ce qui a été enseigné dans le n" 45, que les expressions intégrales à deux seules changeantes, que nous avons traitées

'.L. r Kl .££!*• .fc*j= r.i ... OTUt:

•nui** MI. — - .lis • iiiiir— *i- ^^-■'-1*1 Lsa^rmirp a# f-Hf '*. .ii: - - * ;ïu»«" • — "'îi fi M«iit iit**-ï ooat^ - ♦^ ' I iiiniBP ''ro-

»>*.•— r.iM'»**- 'S— v>. - '';.rp»"^"0> • t*trt:;^4^-** • ans * ** • *4t«'Txis ««rpfi^-

-; - ^ - — -',/.- ^../^.*. Vi.r

■ l'iwH-f vir:' *-* 'M- • ••moiinet^ I. '. ,L •icrtnie lar

-••Tliî:. "

iîitrr [îi.^ eîïi»l;.at -* • ••f«a4r-îr 'arrtmruîî i»ar 'ine ueiut* jam-

'ilp-Mis Mil *- ir"'!;iM!ï t*- r-M*- «Mirftoiiiie**> v. ', L. i i ••H iia>

itrirVi* t- .M* Uf ^^^^ 't^fiiHert .VM>ac»* Mue • »*»te même iwr-

riih' M»-nr:i 'nv:.!!! nt* .uvfUiHi >ei'penuiritiuire i a -iirrare amt

' 'MM;iîlMM -•

•-. -^1 ';iir ur i^ll^ i»irt' ;:^ r»t ^flaLfr• \\y\.i «'ire iiui. |)lllM{ue »- >i:iiiii(' Mdii I- î \w\ iiiiioitii*:' : luiir -'Il ..uru

ET LA PROPAGATION DU SON. Mil

et par conséquent

Joignant ensemble les autres ionnules qui ont le rti^ne i , on uurii l'expression

qui doit aussi être égale a zéro, en tant qu'elle se nippoiie ii rliiirun (le^ points de la surface exprimée par

rfZ P//X -hy//Y.

Or, le facteur

Ld\ ilZ -f- M J\ //Z -h N //X //Y

se réduira, de la même façon que ci^lensus, à

d'où l'on tirera Téquation

LP-^-MQ-^.N o,

qui devra avoir lieu pour tous les points de la surface- proponiée; el i:Hiâ^ «équation renfermera en général l#*s c/inditioii«^ que doivent a^oir le^ v;îW*urs de L, M, N 45^.

Supp'.»Mms maintienaDt, pour simpliti^r le^ vià^/ht^hs

àt M*rif que U pwoi iminobiJe M»it un plan perpeDdieulair*- a Taxe d*•^Z:

''<MquM.K»ij trouvt^e se réduira à

«m liif*iL. «1 î*oL ^eul que ie plioi donne hojt ^lefjifudieulaire a fax* cle^ A . ♦îi qu* Hi- distaïKîf au {•(»iLl de l'orip.!!* dt*f Hiihf*.iHKef huit ♦•^U- a u. tm a un

"Om \OrVELLE!^ tECHEtCHES SCE LA ?IATLEE

\ ^t^nr ir%A\ ^ a. ^t Y ^t Z ^uot qn^kofiqiK«: ee qui «ViprÎBera à Bûtn-

Or, ^1 'f^fi- iVxprif^ion géoéralr L *^" ''^ md sappo?^ qu«* X surpass»- o A^miK i\\\AX\i\Xfr infiniment p^tilr ii. A^^ â*>rt»- que X = a — ii. on aum »

, \. *.z - «-'-.i.z - «.I.Z rfL L = L = L ^ Il -

ou

. «-II. r.z aL

^le même, si l'on suppose m ne(;sitive, on aura

rfou je tire

et remettant pour u sa valeur X — «•

Maintenant, romme les fonction» jr''^*^*^^ N ^'^■^' doivent avoir un certain rapport avee la fonction L^*^»^ , en vertu des équations : A,, ^B^, ^(^y, il est clair que la même condition

servira aussi à trouver les transformations qui conviennent aux fonctions M et N, lors(|ue X est supposé plus grand que a\ pour y parvenir, je reprends les équations mentionnées, et comparant la première, différentiée

suivant la variable Y et divisée par d'Y, à la seconde, différentiel suivant la variable X et divisée par dX, je trouve

rfL rfM d\ ~</X'

et de même, comparant la première, ditlerentiée suivant 2 et divisée par rfZ, à la troisième, différentiée suivant X et divisée par dX, j'ai

dL rfN H'' rfX"

posons dans ces deux équations X = a, de sorte que

dL'"''-'-' dM^"'""^'

dZ ~ d\

or, ayant en général

on aura, aussi

dL^"''^ dL"-^'^ d\ - "' rfZ

doue

Supposons maintenant X =:a -h u dans les fonctions indéterminées M ^'^'^ , N ^•^•^' et développons-les en poussant les séries jnM|u'aux intiniuient petits du seeond ordre; on aura

et de même, en prenant u négativement,

>-«, V. Zy -/«. Y. Z) </> . «' «/'N

d'où, à cause de rbypothëse

on déduit

-■«-*-«, Y, z, Ikf'^'*"""' ^' ^^

^-(a-H w. Y, z; T^(« — tt, V, Z}

OU bien, restituant pour u sa valeur X — a,

^(x,Y.z;^^(2fl-x, v,z)

j.(X,V,Z) j^,2fl-X,Y,Z)

Soient reprises maintenant les formules (D;, (Ej, et supposant que X surpasse a d'une quantité infiniment petite, on commencera par changer l'expression l'^'^'^^ des termes xL, oc'L, ou, ce qui est la même choëe, des termes xlS^' ^' ^"K x'i!^' ^' ^'^ en — l'^*""^* ^' ^\ lorsque X deviendra plus grand que a, et l'on aura par conséquent ces termes transformés en — xl!^'"'^'^'^'\ — ar'L^^''"^'^'^^ sur lesquels on opérera comme auparavant pour en tirer les valeurs de x et x\ Or, puisque les coordonnées qui répondent iix eix' sont les mêmes que celles qui entrent dans l'expression de L, il est clair que, sans autre opération, il suffira de changer la valeur X de l'abscisse de x et x' en 2a — X, en rendant en même temps ces quantités x et x' négatives. On changera de même les expressions M'^*^'^\ ]>i(x,y,z) q^j entrent dans les termes Mj, M/, et Ns, Nz' des mêmes formules (D), (E), en W"-^' ^' ^'^ et N^^'"^' ^' ^\ et, par un raisonnement semblable au précédent, on trouvera que l'abscisse X,

en tant qu'elle répond aux autres quantités j, y\ z, z\ deviendra de même ia — X, mais sans que la valeur de ces quantités soit changée.

On conclura donc pour notre cas que, lorsque le temps t sera tel que l'abscisse [X] -f- pt surpassera a, il faudra mettre à sa place l'abscisse 2a— [X] —pt et faire en même temps l'espace x négatif, laissant les mêmes les deux coordonnées [Y] -^pt et [Z] -f- qt et les deux autres espaces/, z.-

Voici maintenant le changement qui en résultera dans les rayons sonores. Que CA [fig. i5) représente l'axe des X qui est le même que

Fig. i5.

celui des [X] et qui rencontre perpendiculairement le plan inébranlable AB; que C soit un centre de rayons sonores déterminé par les trois coordonnées [XJ, [Y], [Z], et que CD soit un de ces rayons quelconque déterminé par les coordonnées [X] -f-/?/, [Y] -+-y/, [ZJ -+- rt. Supposons maintenant que / soit augmenté en sorte que [X] -+-/?/ surpasse a, c'està-dire que pt surpasse CA, et soit par exemple égal à CA', le point A' tombant derrière l'obstacle immobile AB; il faudra, suivant ce que nous venons d'enseigner, changer la valeur de [X] H-/?/ en 2a — [X] — /?/, ce qui donnera, en supposant CA = a et par conséquent a = [XJ -h a,

[X]-i-2a — /?/ au lieu de [X]-i-p/;

ou bien, posant AA' = $ et par conséquent/?r = oc -h 0,

[XJ-ha — 9 au lieu de [X]-i-/?/, savoir de [X]-ha-*-0;

d'où l'on voit que le point A' sera transporté en 'A, les distances AA' et A'A au plan AB étant égales de part et d'autre; donc, comme les deux

KitrpH -nonionnpf^ j»**rppnflii'TilfttrPs ;% l'ï*xf «là demeamit les mêmes, le 'rrv«»n <!D ^**rr« '(»nriniip ilii i'f»tp <LV 'bns b (tinprtion (te lar*bDite DE. •lonr ::* utHifinn fi^vm i^rii* tptlp .fu'^^Hp se rmiire «tans le plan «les »leux lian#^ ('.D. i!.\. -^r tu\'»AW fa^fle lie plus ;kvef ti» pian BA r-in^e BDE é^i ^ i'^nixlp «IDA. I^ ("rivim i"J) «iem «lonr rpd#^hî par le plaa BA* *m âorte •fiip ''fiii^lf -le CPrte^iiMi M)it **txâ\ -.k r;ftn^ie tfineiilenrp. tout île nDéme ni' il fPTTw i* tin Mirps |);ti'tViiiempnt »:»i»29hque.

V.MJ» -Innr I» i-prlexion 'tii ^n •tpttuile*te:*e*vi'nis piiaripe^et prouvpf* Tiinp «nwnipn* nçjniirpfUie t*t fxai'te. «'p «pie pprwmnp n';ivait pnc-ore fait

An i***stp. si niifis n*r*voii.s «•nnsnlppp «(irune Mirtarp plane. <'p an pte ■fiip i)oiir 'f^nilrr- imn-p '•;*liiil moins puibamsâaat: «-ir il n'durait pas t*te liffii-ilp |p î'^ppliipipr ^nssi a iIps suiinrps «•(jiirbps «fiine nature quel- *-»n*|np: iii^tis, iMmnip |ps nvuns sonm-ps sp iniiltiplipat <*nnlinuellemeol M sp ivp;«nf|pni *Mi loin spns, 'Dninip *ni l'a fait voir 54) . il ^rait assez innlilp Ip rléMprniiiipr Ips li»is «Ip la rptlpxii»n «Ip chaipip nivou a la rpu- Mnirp 'l'un ihsikilp «Ip îî^irn «juplronijup. Il suffit, pour t*e!qilit'atioo ■Iph pr*ho<i. «l'avoir proiivp ijup fpttp i*pflpxion ilnit rfiujnurs avoir lieu. iors»]np r^ir f*sr ^ppiiyp :4ur »in «ibstarle nuelpoaijup inpbraalabip.

.>J. sriH.iE i. — Il ^st visible que. «laas les turmules P ^ Q . & .

P . Q' . R , on p#*ut rejçariler Ips expressioas x ^— /"•*—/'• 2^'"'' ^

•ommp t|ps toni*tions imleterminees «le X — /ir. Y — ^, Z — /t, de sorte

(fiiVn sah«<titu;ini pour x . r , v * y « j . j ttes i:oaetioiiâ> «le

•lirtVr**nte nature t^l l'omposees «les mêmes variables qui cuostitueac IVx-

posant (ip «'h;ininp «ies quantités jc . x >a aura les valeurs de x.

r . V <lonnp»*s ♦>n l'onptions indptprminpps. iiiosi que M. d'Alembert

V'^ pratiqijp Ip prpmipr «bns Ia rhpi^rîp «Ips vibrations îles ct^nlps et ^♦il|pnp'<.

An pt^stê. pour Hpinontrer ipip oes valeurs «Ip x. \ , - satislbat aux tnns ^qn^ifions «In n** 10. il taurfra nécessairement rp^artler r comme iadniment petit, pf dpvelopper les fom^tions indéterminées eomme oo l'a pratiqué -4 IVjrard des tV>netioa> L. M. >' 47 . en Degligeant tous les lermes

qui seront multipliés par des puissances de / plus hautes que la quatrième.

54. ScoLiE II. — Si Ton voulait se borner à chercher les valeurs de x^ y, z par les séries, on y parviendrait fort aisément par les principes du n** 47; car, développant en suites infinies les expressions cos(/ V— ck) et sin {t V— ck) de Téquation (D), et faisant ensuite évanouir toutes les puissances de k par les transformations enseignées dans le même numéro, on obtiendra une équation qui ne renfermera que les fonctions inconnues L, M, N avec leurs différences; or ces différences pourront toujours se réduire aux quantités finies L, M, N par les opérations connues des intégrations par parties; car, soit par exemple

un terme quelconque de l'équation {D) transformée comme nous venons de le dire, ce terme se réduira, en négligeant toujours les intégrales à deux seules changeantes, à

et généralement il suffira d'ôter les différentiations aux quantités L, AI, N, et de les appliquer aux quantités [x), f vj, ( z), (x), (y'), {z'), par lesquelles celles-là sont multipliées. Cela fait, comme l'équation ne renfermera plus que les fonctions finies L, M, N qui, à cause de la quantité k qu'elles contiennent, ne doivent point entrer dans les valeurs de x,y, z, on trouvera ces valeurs en comparant ensemble tous les termes qui seront multipliés séparément par L, M, N. On aura donc par là

r^(y)'^ny)-^

où

les quantités (a;), f^), («), (ar'), (y), (a') devront être regardées

i^ NOUVELLES RECHERCHES SLR LA NATURE

romme des tonctioitô indéterminées des Irois vanables X, Y, Z^ pour

qu'on puisse avoir les valeurs des différences ,1^S dlid\'' — ^^'

dans le cas où / est supposé infiniment petit, si Ton néglige les termes multipliés par des puissances de / plus hautes que la quatrième, et qu*on pratique ensuite sur les fonctions i'xu ^jy»-.- des réductions analogues à celles qui ont été pratiquées sur les fonctions L, M, N dans le calcul du n" 47, il sera aisé de réduire les expressions de x^y^ zlk des fonctions de X -h pt, Y H- y/, Z H- rt^ comme dans le Scolie précédent, ce qui sera une preuve de la justesse de nos calculs.

Au reste la méthode que nous n'avons fait qu'indiquer dans ce Scolie est $]:énérale et peut aussi être appliquée à la résolution d'une infinité d'autres équations de la nature de celles que nous avons examinées dans tout le cours des Recherches précédentes. Mais on trouvera toujours des séries composées de puissances croissantes de / et qui par conséquent ne seront bonnes que tant que / aura des valeurs fort petites.

^ III. — Corijectiires sur la loi de l'élasticité des particules

de l'air.

55. Nous avons vu que la vitesse du son, suivant la théorie, est exprimée par

et nous avons vu aussi qu'elle diffère de la véritable d'environ i63 pieds par seconde, quantité qui ne peut raisonnablement être négligée; comment donc concilier sur ce point la théorie et l'expérience?

L'expression ^yôt ^^^ fondée sur l'hypothèse ordinaire que l'élasticité des parties de l'air soit exactement proportionnelle à leur densité: mais ne pourrait-on pas supposer que l'élasticité variât dans une autre raison peu diiférente de celle de la densité simple. Si on voulait en gêné-

rai supposer E proportionnel à 9 (D), comme dans le n^ li, il n'y aurait qu'à mettre dans nos calculs E(p'(D) au lieu de E, tout le reste demeurant le même; ce qui ne produirait d'autre différence dans les résultats, sinon que la vitesse du son serait augmentée dans la raison de yj(f' (D) à i . Soit l'élasticité proportionnelle à une puissance quelconque m de la densité, ce qui parait le cas le plus naturel; on aura

9(D) = I>" el 9'(D) = ml>— •;

d'où , en posant D = i , on tire pour la vitesse du son >Jm yjc ou 979 Vm pieds par seconde ; par conséquent, en prenant 1142 pieds par seconde pour l'expression véritable de cette vitesse, il faudra que

ce qui donnera

et en fractions décimales ou à très-peu près

Or, comme l'élasticité se mesure par le poids comprimant, il est clair que si cette hypothèse a lieu dans la nature, il faudra que la densité devenant double, triple, quadruple,..., les poids comprimants croissent

comme les nombres ay^, 3\'3, 4v4 qui surpassent les nombres

de la progression arithméthique 2,3,4 d'environ 0,519, '♦327,

Ces différences paraissent à la vérité trop fortes pour qu'on puisse raisonnablement supposer qu'elles aient échappé aux savants Physiciens qui ont déterminé par l'expérience les lois de la compression de l'air;

aussi je ne donne l'hypothèse de l'élasticité proportionnelle à D*'*'» que romme une légère conjecture, et je me contenterai seulement de faire observer que l'expérience même parait jusqu'à un certain point faroi. 38

t= -t?tt

---îi ijjfr ■— j*--r^-» ir .==aa^- iK-- *ttf--

•Vr-i--:

:. • ai

•A^iL

-i --— - Oir

^! .— i-rvf-r:-^ :r''—jxrz£i

ïtîî:*' ?**t»- ^^u-

(Considérons d*abord des flûtes de forme exactement cylindrique, et supposons que la colonne d'air qui y est renfermée soit soutenue, à ses deux extrémités, par une force égale au ressort naturel de Tair extérieur.

Dénotant par z les excursions longitudinales de chaque partie d*air, on aura l'équation

~dF ~^ dx''

d'où il sera aisé de tirer, par le Problème 1 ci-dessus, les mêmes résultats que dans le numéro cité; en supposant, comme on l'a pratiqué partout ailleurs, z nul lorsque x = o et a* = a, a étant ici la longueur entière de la flûte; mais, dans le cas que nous nous proposons d'examiner, ce n'est plus cette condition qui doit avoir lieu; il faut que l'élasticité de la première et de la dernière particule soit la même que l'élasticité naturelle de l'atmosphère, savoir, (jue

,. dz c ou bi(»n -=- = «>, dar

lorsque .r = o et x = a. Or, puisque dans ces deux points les deux

termes -r-^l ei z -7— doivent disparaître d'eux-mêmes, par la nature de

notre méthode {voyez Problème 1), il faudra que la différentielle -yy devienne nulle; c'est pourquoi l'oft aura