ADDITION AUX PREMIÈRES RECHERCHES
( Miscellanea Taurinensia , t. II , 1 760- 1 76 1 . )
xM. (l'Alembert ayant fait Thonneur a ma solution du Problème des cordes vibrantes, de l'attaquer sur quelques points par un écrit parliculier, imprimé dans le Tome I**" de ses Opuscules mathématiques, je vais ajouter ici de nouveaux éclaircissements sur l'analyse de cette solution, qui serviront en même temps de réponse aux objections de cet illustre Géomètre et de confirmation a ma théorie.
La solution en question n'est qu'une application de la formule trouvée dans le Chapitre III de la première Partie (page 72;, pour le mouvement d'un til chargé d'un nombre quelconque m— i de poids, au cas 0(1 l'on suppose ce nombre infini; c'est cette application qui a paru à M. d'Aleml>ert susceptible de plusieurs diilicultés.
i" La formule dont je viens de parler, étant composée d'une suite de termes qui renferment successivement les sinus de tous les arcs
Gj 1XS 3cj (m — \)m
j'ai pris dans le cas de m = x> ces arcs mêmes pour les valeurs de leurs
sinus. M. (l'Alembert m'objecte que cela n'est permis que pour tout angle |^r v étant un nombre fini, et nullement pour les angles
— 7 — —^ - -/ — ^— » — Cette objection prise en elle-même est solide et
sans réplique; mais elle perd toute sa force si on la considère par rapport à la formule dont il s'agit, car je vais prouver directement et invinciblement que les expressions
GJ . 2 GJ , itn — I ) CT
sin -, — , sm r — 9 • • • 9 sin — ;
doivent être changées en
m 2 Gj [m — i)ts
dans le cas de m = oc .
¥a\ remontant à l'analyse du Chapitre cité, il est aisé de trouver que toutes ces expressions viennent (XXI ; de l'expression générale
, - . VGT
±2 \/e sm -, — V' — N
qui est celle du coefficient R (XIXj, v étant un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu'à m. Tout se réduit donc à prouver que, quand m = 00 ,
D u ~ ^^ — R = dz 2 V e 7— \/ — I .
Pour y parvenir, je remarque d'abord (XIX) que
R» = e(A- — 2); je vois de plus que la valeur de k dépend de cette condition que
lorsque [L=^m, a étant égal à - H- tZ-r — i et 6 égal à i/-7 — i ,
c'est-à-dire de l'équation
.(bvB:-(i-vfEi
Vf-
ou simplement
(^v/F^)--a-VF^)-=«-
Or, yje = m'^ (XXXV), •=? étant une quantité finie; donc
mais R doit être aussi une quantité finie, comme il est aisé de le voir par la nature même du calcul, donc —^^ sera une quantité infiniment petite du second ordre dans le cas où m = qo .
Qu'on suppose -g- =/\/— i, en sorte que A= 2 — ^> et qu'on mette celte valeur de k dans l'équation ci-dessus, il viendra
équation qui , en négligeant ce qui se doit négliger à cause de m = oo , se réduit à ceil^i
Or on sait qu'une expression telle que
devient, dans le cas de m = x> , égale à sin/; donc l'équation qu'on
vient de trouver est équivalente à 2 y— i sin/= o, savoir a sin/= o;
ce qui donne /=— » v étant un nombre quelconque entier; donc
RT vcj / ,
-Tj- = — V— *» <ionc Il "?.
2** M. d'Alembert prétend que j'ai tort de regarder en général l'expression sin— (—± ^^=t—) comme égale a zéro, lorsque m = 00 (XXXVIII).
Je conviens que je ne me suis pas exprimé assez exactement, en disant que m ( - ± -=7- ) est toujours égal à un nombre entier, parce que /n== oo; mais ma proposition n'en est pas moins vraie pour cela. Car on voit par le n*^ XXXVI que — est mis au lieu de /jl, qui est de lui-même un nom-
mWt
bre entier; et, à l'égard de ,p ? il sera aussi un nombre entier, en re-
gardant -rp- conmie commensurable avec - ; c'est-k-dire en supposant
-»^ = — -, supposition qui est évidemment permise et qui n'apportera
pas la moindre limitation à ma solution.
3^ M. d'Alembert attaque aussi l'es calculs que j'ai laits dans le Chapitre VI pour trouver d'une manière directe et générale la somme d'une suite infinie, telle que
sin cp sin 0 -h sin 29 sin 2 ô -h
La méthode que j'ai employée dans cette recherche est très-simple; après avoir transformé la suite proposée en deux autres composées de simples cosinus, j'ai mis à la place de chacun de ces cosinus son expression exponentielle imaginaire, et j'ai cherché la somme de suites résultantes par la méthode ordinaire de la sommation des séries géométriques, en supposant le dernier terme nul comme on le fait communément lorsque la série va à l'infini. M. d'Alembert m'objecte que cette supposition n'est point exacte, parce que dans la suite
le dernier terme est e*^-*, quantité qui est indéterminée au lieu d'être zéro.
Or je demande si, toutes les ibis que dans une formule ulgél)ri(|ui' il se trouvera par exemple une série géométrique intinie, telle {\i\v
I -f-a?-*-ic*-*-a:'4-. . ., on ne sera pas en droit d'v substituer — ^
quoique cette quantité ne soit réellement éfçale à la somme de la série proposée qu'en supposant le dernier terme a?* nul. Il me semble (|u'on ne saurait contester l'exactitude d'une telle substitution sans renverser les principes les plus communs de l'analyse.
M. d'Alembert apporte encore un argument particulier pour prouver que la somme de la suite
cos^ -h ros2^ -h C()s3^ -h. . .
ne peut pas être » comme je l'ai trouvée par mon calcul. Il suppow
X = 45*^» et il trouve que cette suite devient
