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après quoi elle recommence : « Or, dit-il, la somme de cette suite finie est, ou -^ï ou o, ou — I, ou — I =1 selon qu'on v prendra plus on
moins de termes. Donc la somme de la suite entière est aussi, ou ---■
ou o, ou — I =7 selon le nombre m des termes qu'on v prendra, quel
que soit d'ailleurs ce nombre de termes fini ou infini, et cette somme ne sera point égale à zéro, à moins que m x '»5^ n^ soit égal k une infinité de fois la circonférence, ou à i3> plus une infinité de fois la circonférence. »
Je réponds qu'avec un pareil raisonnement on soutiendrait aUvSsi que — — n'est point l'expression générale de la somme de la suiti* infinie
I — jr-Hx^— or^-h..., parce que, en faisant jr= r , on a ï — ï-hï — t-h
<e qui est, ou o, ou i, selon que le nombre des termes qu'on prend est
pair ou impair, tandis qnie la valeur de est -• Or je ne crois pas
qu'aucun Gféoaièlre voulût admettre cette conclusion.
a» ADDITION AUX RECHEECHES SDR LA NATCEE
Qaand même les objections auxquelles nous Tenons de répondre seraient rondées, M. d*Alembert ne pourrait pas se dispenser de convenir que les résultats de ma théoiie sont nécessairement exacts dans les cas où ces résultats s'accordent avec ceux qn*il a trooTés par la sienne: ce qui arrive quand la corde a une certaine figure au commencement du mouvement. Or toutes les objections que M. d*Alembert m*a faites jusqu'ici sont absolument indépendantes de la fi^re initiale de la corde: donc, puisque ses objections n'empêchent point ma solution dVtre exacte lorsque cette figure a certaines conditions, elles ne Fempêcheronl pas non plus d*être exacte en général, quelle que soit la figure initiale de la corde.
(je nisonnement est simple, et ne peut pas avoir échappé au savant Géomètre dont nous parlons: aussi sVsl-il attaché dans la suite à combattre seulement la généralité de ma solution, et à la borner comme la sienne aux courbes assujetties à la loi de continuité. Il se fonde sur ce que j*ai fait usage de la méthode de M. Bernoulli pour trouver la valeur
d'une quantité qui, dans certains cas. est -? méthode qui suppose que la
quantité proposée soit une fonction algébrique.
Mais je le prie de faire attention que, dans ma solution, la détermination de la figure de la corde à chaque instant dépend uniquement des quantités Z et U. lesquelles n'entrent point dans Topération dont il s'agit. Je conviens que la formule a laquelle j'applique la méthode de M. Bernoulli est assujettie à la loi de continuité: mais il ne me parait pas s'ensuivre que les quantités Z et U. qui constituent le coefficient de cette formule, le soient aussi, comme M. dWlembert le prétend.
Je viens maintenant aux difficultés que M. d'Alembert a faites contre la théorie de M. Euler, et qui peuvent aussi s'appliquer à la mienne: ce sont celles qui regardent la construction que M. Euler a donnée pour
trouver la figure de la corde k chaque instant; construction qui est prérisément la même que celle qui résulte de ma théorie fXL).
1^ M. d'Alembert prétend que cette construction ne peut satisfaire à l'équation de la corde vibrante
dx^ ~~ dt^'* à moins que la courbe initiale AMB ne soit telle que les flèches z^'o».
r'o' de deux arcs consécutifs et infiniment petits, |o"R', R'p', soient égales; ou, ce qui est la même chose, que la courbure au point r" soit la même que la courbure au point r' infiniment proche; ce qui exclut déjà toutes les courbes dans lesquelles le rayon osculateur change brusquement en quelque point. Voici le raisonnement de M. dWlembert :
< Soit pris, dit-il dans le § VII du Mémoire sur les vibrations de Cordes sonores, imprimé dans le même volume, AP = ar, PT = / sur Taxe AB; donc, regardant x comme constante, et faisant PT'=PT, 1/ = /5 = T'/' = /'S' = dt, on aura
vr = x-/, Kf = x — i-di, \e'=x^t^^9.dt.
Or vêtant, suivant la construction de M. Euier, égal à la demi-ordonnée TR qui répond kar-h i plus à la demi-ordonnéé T'R' qui répond à x — /,
%DDITIÔ3» %L\ RE*:HEft«:HE:» SLfc LA 3iATLR£
il 4Vn:*iiir qii#» d^ y, ^n iwr f:»iMnt varier que /, i*»t
^/-r 5c — TR - 1 /r $^s — T R — 2^ r;^ ^ ro -- r' &
♦*n mt^nant k^ conltfs Rî, R'c'. .MâiDt^nsiot fâLs^ms / constant et égal \ VI. et .r variable: prenons Vp= p^ = dx^ ^l supposons rfr =T/, ce
.pii pst évidemment permis :
r* .V'*iL^ aurons
\/^=ix— ^i-r — /. A5" = x~2</r — /:
lion*'. m»-n;int h t.unle R s . on truuvera que d^y. en ne taisant varier qutf r. ft>t — ro — r îu ; ili^nr
<f - *• — ro — r' 't.
ri if 1 d- y . . ^ . d' r
Il hut «iuur. p^jur que -^ îj4>it égal a -y-r- que r o == r 'u. * W rfrp<>nil> qufr-, «lans IVquation gtrnenile
d'Y d^r dt - djT^ '
kd nf faisant varier que x, rf- v f^t la différeucf >econde de trois ordonnées i:onï^*frutivt*<, ilont Tune répond à l'abscisse a- — rfx, l'autre à TabîM-i»^ X, la troisième à l'abscisse x — €Ijl\ et que, en ne faisant varier que i. d'y ^>t la différence seconde de trois onlonuées répondant à la mem»: ab>«M>se x, la première pour le temps / — di, la seconde pour le temps /. la «iernière pour le temps i-^di. comme M. d*Âlembert luimemf Ir dit dan> le § X: qu'ainsi, en ne taisant varier que /, la valeur de d^v :H-ra. ^uivant la construction de M. Euler et la iniennet c^n tirant
l'ordonnée yz telle qoeyT = T/, et en menant les cordes «r, r"r\ tr - TR-(TR-ji) t'r* -^TJi' - (T' R' - /'' r;;^)
/r-h,rg--2TR fV^-h^r^^-^arR^
el que, en ne taisant varier que a?, la valeur de d'^ y sera
/r — TR-(TR-y) rr^-TR -(TR ~/V ) - Rx - R .r'
donc
rf/' ^ ,Y-/ ' dx^- ^Yp' - ^^,^ -'
en supposant T/ = P/>, et Téquation
devient identique.
n'' M. d'Âleinbert prétend ensuite que la courbure doit être nulle aux extrémités A et B. • Car soit, dit-il dans le § VIII, PT et PT' égaux à AP, on a, en ne faisant varier que /,
d^r 5p-f-TR — 2/r /'j' — 2L'Q' — ro-f-(/^'
-rrr = -^=i • =1 — - — ,
et non pas
T/ parce que
et que l'i et Q'L' doivent être prises négativement par leur position, et
par la construction de M. Euler. Maintenant, en ne faisant varier que x,
on aura
d^y __ ^r0 — ijq
donc -^ ne sera pas égal à -^^j si la courbure n'est pas nulle en A.*
•r — zy — tTR L *> — * jL Rx ifT" îtT 2T7
rr^iT-îTR
L« > — L JJ^ R r
-•t D'.-fi pi*.-*
•l«»n«' -^Ti- ^-^t toujours •f;p»l A — — • •jU'fû*^ .ju»? 3«>àt 1;* ».M>arbaiv .»q a.
V \\\iT^ :»r;jTiai**Qt ilr M. •rAl»*mb*?ft p«>ur pp.»uT>*r %j^ la i?i»ttrbaiv lùir ►-tr** finironn*»' »l;4ns fh^ètiat^ p«)rtit.»D intinim*?ot petite A^ U •:»>urbt> AHB. Il ♦l'>ant* a U liitTer^ni*»? </r J^ux v^lr^urs ilifff^rvaltfî^ a voi^nite. tK il
rr«>fjT^ .|ur- p*>ur que lift valeur ilt? ^— s>Lt ti.»uj*>ar? b luéiut^ i^t e^Ie ii
• Kllè d#^ -r— • il faut quê !♦•> flèt*h»?> n>. i^ui apparti^Mmeat à dîff«Mn»ot»
^n> intiniaient p«MiLs Rr?. ?«>if^Dt toujours pr«>p«>rti*>DEktfti«» aax caitvs fi#>* p->rtion:> •:i>rri>^p«>n«lï»ntf?î* Tj dt? Taxe: *.'e qui ih? ptHil aToir lii^ que fians rfrs arrs ^r* irourfour^ unifomi*». «roainif» 3i. d'Aii^mbert \ft deaaMotre fort au long tlsins k J X •!•* 5«3d Meinoin*.
A «'èlâ ]i^ r»fp«jDdrai qu'il n'est nuiieiueat ii^'e:s£aire. pour la gène-
ralité de ma solution, que les différences dt demeurent indéterminées et puissent être supposées quelconques, comme je Tai déjà remarqué plus haut. Il me suffit qu'on prenne toujours
T na
ou, en supposant avec M. d'Alembert -q^- = i ,
dt^=^dx\
car, comme dx peut être pris aussi petit qu'on voudra, il est évident qu'on n'en trouvera pas moins la figure de la corde au bout d'un temps quelconque donné /.
4" M. d'Alembert apporte de plus une raison métaphysique pour faire voir en général que le mouvement de la corde ne peut être représenté par aucune construction quand la courbure fait un saut en quelque point M de la courbe initiale. « C'est, dit-il dans le § XI, que dans ce cas il y a proprement au point M deux rayons osculateurs différents, quoique €*olncidents quant à la direction, dont l'un appartient à la portion de courbe MR, et l'autre à la portion de courbe MA. Or la force accélératrice en chaque point de la corde étant en raison inverse du rayon osculateur, lequel des deux rayons communs au point M doit ser\îr à déterminer la force en ce point M? C'ej=a ce qu'il est impossible de fixer, et il l'est par conséquent aussi de résoudre le Problème dans ce cas-là. En effet, supposons que la figure initiale de la corde soit composée de deux différentes courbes ainsi réunies en M; je demande quelle est la force accélératrice du point M, lorsque la corde commence à se mouvoir? »
La réponse est bien simple : la courbe AMB étant continue, il est clair qu'on peut toujours prendre, à quelque point R que ce soit, trois ordimnées consécutives et infiniment proches sv, RT, n\ or les différences de ces trois ordonnées constituent la valeur de i/^j, à laquelle la force accélératrice du point du milieu R est nécessairement proportionnelle par la nature du Problème, quel que soit d'ailleurs le rayon osculateur en ce point.
