I -^ ^^ — = — j d ( ^j (sm9Ôr-hrcoscpacp
ndz-^dZ)ddZ r (rfz -^dZ)^
En joignant ensemble toutes ces transformées, et y ajoutant le terme / ^—jT-^^^ 0" i^ura la valeur de / u'àds' exprimée par la formule suivante :
J[(rsin9rf^-rcos<prf^-rfî:l^-î)d9
/ ,dx , ,dr jdr r^do^\ . .dz -\- dZ . j
A présent, pour avoir la valeur de
Mttôa-f- M' II' d«' -^Wu^'àu",
on fera dans l'équation (U) de l'Article VIII toutes les quantités P, Q, R, F, Q',..., qui représentent des forces étrangères égales à zéro, et l'on aura
Mi/«a -h M' «' 4a' 4- M'u'dii' := - HM'Fd/- MM'F df - M'M'^Gd^.
3fM APPLÎC\T1ÙN DE L% MÉTHODE PRÉCÉDENTE
Or il esf tVèrilp il** trouver que
, \^ Y-^ Z =Mr--^T', / = V ^ ' -^ Y'- -,- Z' = y'"' "^ ^ "-
4r=v X'\.i-^ V'- V;=^:Z'-Z-»==vr'=-r'-2r'rPOS.9'-:5'-^'Z'-Zi»; Toii l'on tir^rj*, **n rpganlaiit toujoiirs ^ , r et Z' romme ronstanten.
fig — or— —ne — a/.
Xy^ïW \*'M\ «»es substitutions, on ajoutera ensemble les valeur:^ «le
M ^ u >>dii , et lie M// ^a — Mm 'îa — M"m ' o tf ", et Ton aura une tbrniule
intejfi'îile, <lont chaque terme contiendra une des diifêrences oç. nr, oZ, pt qui devra être égale a zéro, quelles que soient les valeurs de ces différences. On trofivera donc, en faisant séparément éjral à zéro chacun de leurs coefficients, et divisant par M ,
./•'^'v ,dx ,dy r'rsin^s' — 3i ^^ .
- // — ; ^ rMX\z*a -j rrosQ a ^ M*Ga/:=o.
df dt . dt g
(^ -k j — -cosv^-r- -*-sm2.</-r- -H-.MF*i/H M''Grf/=o.
dt dt dt tit ^ g
équations qui se réduisent à la forme de celles de l'Article IV, en supposant
.dx .dr r/sin ;;'— :j)„^^ . ,^
fit dt g
fit dt f g
j'il ^'{L^yi'r.flt^^dt, fit g
Kt ces équations sulFiront pour déterminer Torbite du corps M\ en supposant connues les orbites des deux autres corps M, M".
Qu'on fasse maintenant, dans les expressions de icls\ $ds'\ ô/', fig, les changeantes r\ 9', Z' variables au lieu des r, 9, Z; on trouvera, par des raisonnements et des opérations semblables aux précédentes, trois autres équations, qui ne différeront des équations ci-dessus que parce qu'il y aura r\ y', Z' à la place de r, y, Z et réciproquement, et vvs équations seront celles de l'orbite du corps M".
Corollaire I. — Si Ton ne connaissait pas l'orbite absolue du corps iM,
dx ftv (iz
alors, pour déterminer les valeurs des quantités -y-? ^"^ 7;' i' faudrait
aussi faire varier les trois changeantes x, y, z dans les valeurs de ds, ds\ ds'\ ce qui donnerait
ods = -jid^^dx -^ dyèdy -k- dzddz),
dds' = -rpid^-^ d{rcosc^)]àdx -h [dy -\- d{r sincif)] S dy -{- (dz -f-rfZ)drf2,
dds' = -L.ldx'^ d(r' cosf')]ddx -h [dy -^ d{r' sïïï<^')]ddx -^ {dz '\-d7J)àdz.
On substituerait ces valeurs dans l'équation générale (D; de l'Article VIII, et faisant après les réductions ordinaires les trois coefficients de ^x, îj, ^z chacun égal à zéro, on aurait trois équations, par lesquelles on pourrait déterminer les valeurs de -^t ^> -j • Au reste, ces
équations reviendraient au même que celles de l'Article X, en y faisant P, Q, R chacun égal à zéro.
(Corollaire II. — Les équations qu'on trouverait par la méthode du (Corollaire précédent ne renfermeraient point les forces F, F', G, mais seulement les changeantes r, y, r\ 9' avec leurs différences; mais, pour ne pas trop charger de différentielles les équations du mouvement des
corps M', M", il sera mieux de chercher les valeurs de -i-? ^^ t^» en considérant directement les orbites absolues de ces deux corps.
Que oo\y', z\ af\y'\ z" soient les ordonnées rectangles des orbites dont nous parlons : on parviendra à une équation qui sera la même que l'équation (Ej du Problème II, et dans laquelle, k cause que les corps sont libres, il faudra faire les coefficients de Jo:, dv, Jz, r^x\ Jv',..., chacun égal à zéro. Or il est facile de trouver que
f^yl{x"-xY ^{y"-
.y -f-{z'-zJS
pour notre cas, il suffit de faire rarier ^, v, z seulement; on aura donc
^f^^^'^^x^-^^ àg = o.
On substituera ces valeurs dans l'expression
et à cause de
x' — X = \ = r cos 9, j' — >• z= Y = r sin 9, z' — 2 = Z,
^"->^=:X'=r'cos9', 7"~j=Y'r=r'sin9', z"-z = Z',
on aura
Mudu-hMu'&u' -^ M" u' eu"
^, /M'Frcos9 M"Fr'cos9'\ . „/M'Frsin9 M"Fr'sin9'\ ,
Mettant cette valeur de
dans l'équation (E), et faisant égal à zéro séparément chacun des trois coefficients de 8x, $y, 8z, il viendra, après avoir divisé le tout par M,
et mis dt à la place de — ^
,dx /M'Frcoso M"F'r' coscp'X .
.dz /M'FZ M"F'Z'\ .
Par là, fes valeurs de w, n, 4^ de l'Article XIV deviendront, après quelques réductions fort simples,
(M -h M')^ -+- M" p[r- r' cos((p' -^)]-h^ r' cos(9' - cp)| = H,
ProblÈiME IV. — Un corps M étant sollicité par tant de forces quon t)oudra P, Q, R,..., et tirant après lui deux autres corps M', W par le moyen de deux fils de longueurs données, trouver le mouvement de chacun de ces trois corps. On suppose, pour plus de simplicité, quils se meuvent tous trois dans le même plan.
Solution. — Soient/,/' les longueurs données des fils, c'est-a-dire les distances invariables des corps M', M" au corps M; a?, j les coordonnées recta'ngles de la courbe décrite par le corps M, et 9, y' les angles que les lignes/,/' forment à chaque instant avec Taxe des x\ prenant x\ y\
■T'^y" pour les coordonnées rectangles des autres corps M', M", on aura
r' = jr — /ros9, y' = r — /sinç, x" = X —f rosçi ", r" = r — /' sin9',
^/f'- — dx'- H-rf>''- — é/jt^ -j- dfr'— ^/(sinci </jr — cosqJv) i/q -^f^do-. d.f'' — dx"'-»- dy-^'— dx'^dr'^ :»/' sinc«'//x — cos:^' dr)do' -^-f^dz^'-.
d'où Ton tire fid$ =i -j dxodx -h dy o rf^-u
-îé/j — Zïi i^^ -*~fsïïUjdr^odx -h(d[>— /cos9</9,oc/>' -^/rf9(ros9 //x — slnz dr) 09 -i-/:sin9 rfx — ces 9 dy -1-/^9] ÔJ9],
0^* — -j-7 ;//x -i-y sino'^9'; odx -K !df> — /' cos9'</9')orf>*
■^f'dz,' cosz>'dx — sin9'ri>)o9' -ny sin::^ rfx — cosQ'dy -i-f dQ')odo].
On substituera «es valeurs dans les intégrales
j uods, I u'ods', j II" ods"
de l'équation D de TArticle VIII, et taisant les transformations et les réduetions ordinaires, on trouvera
j n6ds=-j (^-^o^x^rf^'or).
r '>j^ r\ jdx —fsinod:. ^ .dy—fcosz^d^^
i ros5 rfx -I- s'inzf dy - . , sino Jx — rosQ rfr —fdz ^\ , j
Et Ton aura pour l u'ods" la méine expression que pour | uods\ en
marquant seulement d'un trait les lettres 9 et/, comme il est aisé de s'en assurer par le calcul.
Pour avoir maintenant la valeur de
Muoii -t- M' ti' 0 tt' -*- M" li" 6 //' ,
on aura recours à TéquatioD générale (U) de rArticle VIII, laquelle donnera pour le cas présent
Miidii-4-M'ii'3ii'-hM''ii''3ii'' = — M(Pd/P-4-Qdç-hR3r) = — M(n8x-hiiy3r),
en faisant les mêmes suppositions que dans TArtiele I.
Il n'y a plus qu*à mettre ces différentes transformées dans Féquation 'D); or, si Ton fait, pour abréger,
M (i/^ ^Udt\ -h M'rf r~ (rfx -h/sin9rf9)l -f^ M'i/ [^^(rfx ^f sin^'i/ç')! = [x], M(rf^-4-©rf/WM'rf[^^(dfr-/cos9rf9)| -HMvf- (rfr -/'cos9'rf9')l =: [r],
' — 4t-^ (cos9rfjr -+- sin9£/r) — M'rf 1 ^(sin9</x — cos9rfr-f-/#/9) |=[9l. ^ ^^^^ (cosQ'rfx ^ sin 9'rfr) - MV f^ (sino'rfr - cos9'rfr h-/'</9')1 = [9'].
on trouve
(H) -f([^]àjr^lr]dr-[9]ào-[9'Wj=^o,
d'où Ton tire par notre méthode
quatre équations qui suffiront pour déterminer le rapport des indéterminées or, v, 9, 9' au temps /, et par conséquent le mouvement de chacun des trois corps M, M', M".
. Corollaire I. — Si le corps M était mû dans une rainure courbe représentée par Téquation
dr=^mdXf
alors il n*y aurait qu'à mettre, dans Téquation (H;, mUa: pour !iy, et iT 5o
faire ensuite ehariin des trois coefficients de îa?, îy, if' égal à zéro; te <|iii donnerait |)()Mr les équations du mouvement des corps
Si le corps M était, outre cela, obligé de se mouvoir avec une vitesse dont la loi à cha(|ue point de la courbe fut donnée, alors, comme le mouvement de ce corps serait entièrement donné, on aurait 5^ = o et $j = o; c'est pourquoi il faudrait supprimer les équations \x'] = o et \jj = o, et mettre dans les deux autres [<pj = o, fy'J =o, au lieu de
-^9 V-' leurs valeurs données.
(]()ROLLAiHi: II. — Supposons que les trois corps M, M', W, au lieu de se tenir par des tils, soient attachés à une verge inflexible, en sorte que l'angle des lignes/,/' soit constant et égal à «; on aura donc en ce cas
'/ == 9 -h a el (5(p' = 5(p ;
ainsi, il ne faudra qu'écrire, dans l'équation (H), 9-+-« pour 9' et Jç pour $9', etftûsant ensuite les coefficients de ix, §v, $0? chacun en particulier égal à zéro, on aura
(Corollaire III. — Si Ton veut de plus, dans le cas du Corollaire précédent, (|ue le corps M se meuve dans une rainure courbe dont l'équation soit dy = mdv, mettant, comme dans l'Article XVIII, mix au lieu de $j, et faisant chacun égal à zéro les coefficients de rix et 5^, on aura simplement h»s deux é(|Malions
[x]-k- tt}\r]~o, et [(p]-h[9'] = o.
Mais si la vir(»sse du eorps iM est aussi donnée, en ce cas, ix et îjétanl
nuls, il ne restera que l'équation
dans laquelle il faudra mettre, au lieu de -^t ^^ leurs valeurs données.
Corollaire IV. — Si les corps M', M" étaient liés par un même til, de longueur donnée, le long duquel l'autre corps M put couler librement par le moyen d'un anneau, on pourrait résoudre le Problème de la même manière en faisant les quantités/,/' variables dans les (expressions de ds\ dsl' et de leurs différences ^ds\ 8ds".
Pour cela, il n'y aurait qu'à augmenter la valeur de f/s'^ trouvée» cidessus (Article XVII) de la quantité
— 2{cos9rf:c -{-sm(^dr)df-h df^,
et ensuite celle de ^ds* de la quantité
(sin9 dx — coscp dy -\-fd(^)d^èf— (cos<p dx -h sinç dy ~ df)odf
-h (sin 9 dx — cos 9 dy) dfdc^ — cos 9 df^dx — sin 9 df^dy
divisée par rf/; c'est pourquoi la valeur de la formule intégrale / afids' serait augmentée de
ri .cosodf^ .s'in <£fdf^ df,, , , .
I J d — -^-^ àx 4- d — -j-^ oy -V- -^ (sm 9 dx — co^o dy)à^
-f- -^[sxvi^if dx — cos(pdy-hfd(^) ^d ^{cosc^^dx -f- sinor/r — ^7/*) jâ/j.
Kt l'autre formule intégrale / u"^ds" serait aussi augmentée de la
même quantité, en marquant seulement d'un trait les deux lettres 9 et/. Par la, l'équation fH) deviendrait de cette forme :
(I) - f[(^)àx -h {r)«r- (?)*? - (9')«?'-^- (/)5/^-(/') V] ^- «•
HW APPLICATION DE LA «ITHODK PRK»:EDC»TK
<i»nM laqui>lli'
'it éit
dt dt
s - H' i^ sin s dx -
dt
*os "^ dy
/ - W -T^ -îin S ^ — '»oss /ifv— ///s, — ¥'/ j ^..Mi?§:i/iLr -î--«n3rfr — #// - / H" ^ sin> //.r-^oss /ir-/ 7s - W^// f^ r.,w:i .ir -^ «us «/>- - '(T^l
.H:îinfi>n;*nt, l#^s «l#»»ix «'nrps M . M" tétant ^ictai^he» fixement èxa exH^ mit>^!) du til qui »*»r siippo?4«> inexU^iUHble, il font «{ue la 34>mme îles Ii^«»s f ^X f -«oïl iN^nalant*»: ^)it «'etti* :*4)maie. «•Vst-ÂHlin* la ion^ear lotal*» dn til. *>^lê i) a. on î^iir.)
on fera don«; oes .^ubAtitutions danâ rêquatioo I . et mettant ensuite rba#^on égal iai zéro les roefficients des différences restantes 3x. ôr. 05.
^c', 'î/, on aura les cinq équations
jr := o, r=o, 5=^0. 5 =0. y* — /' =0.
lesquelles donneront le rapport des rinq indéterminées x^y, ç. 5\/ au temps /.
OiROLLAiRE V. — Si le corps M était fixe* ou, ce qui revient au même, si le fil qui joint les deu\ corps M\ M' passait à travers un anneau immo-
^*] On a réuhti. dans ces formules, k^ noasi^es M ec M" «^ui sont oinise!> dans le texte pri-
bile, on aurait pour lors dx, dy et ^x, $y chacun égal à zéro, et les équations du mouvement des deux corps seraient
{9) = o. (<p') = o et (/)-(/') = o,
savoir, à cause que dx = o, dy = o et/' = a — /,
,f'd<D ia—f)'do'
Les deux premières équations, étant intégrées, donneront
et, ces valeurs substituées dans la troisième, on aura Arf/ Brf/ .rf/
laquelle étant multipliée pa»*^» et ensuite intégrée, devient
d'où l'on tire
di =
df
yJ^^W^^
ff
XXIIl. ,
Corollaire VI. — Si dans le cas du Corollaire précédent les deux corps M', M'' étaient attachés à une verge droite et inflexible, alors on aurait 9' = « et $9' = $5, et les équations (y) = o, (9') = o n'en feraient
(*) Dans cet Article et dans le suivant, Lagrange ne tient pas compte des masses: il en résulte que les formules obtenues se rapportent au seul cas oà les masses M' et M' sont égales entre elles. ( Nnle '«le l'Édilriir.)
m$ \yPUi.MUP> DE L% METHODE rSECEDEB^TE
plnn <|ij urM? 4i?ij)i?. iMvoir ç^ — -s^' = o: ou ;ïiijraiil doiM- simpleiDeol les
/// /// dt
y. f— a d'^ . éif
^/* - yoif -^ yf' o- — y.af ^ y.f- dz,
(>llif <M|ij;jtiori l't^Jiit multipliée (i;ir . — "^^^ -x^? ^t ensuite intégrée,
♦•fi n'^;inl»iit //-p roffinrif ronst^iril^, deviendra r-elle^-i
.> //=* — 7.af ■*- 7.p) à- — yâf-^ 7tf^ -d^ A' '
i\\\\ .M' réduit à
, 7/a' — jaf^ -y.pr — \* «» — 2a/-.- ?/')
Pkoblémk V. — Trouver le fnouvemeni d'un fil fixe en une de ses écriremités, et chargé de tant de corps pesants quon voudra M, M', M",
S<>Li noN. — Ayant pris, comme dans rArtielc IX, x, v, z^ .r', v , r .
xf\ y", z ",... pour les coordonnées rectangles des corps M, M', M' on
a d'abord l'équation ^E . Soit maintenant /la portion du fil interceplei entre l'extrémité fixe et le corps M; soient aussi/',/",... les portions du même fil interceptées entre les corps M et M', M' et M", et ainsi de suite: on aura les équations
/ — V jr^ -h >•' -+-V%
l'origine des abscisses x^ x\ x'\,., étant à l'extrémité fixe du fil. On tire
de là
et par conséquent
âjT = -^l,yàx-\-zàz),
èx' = dx - ^^ [(/' - r) {$x' - dx) + (V - 2) (3^' - di)]
\jc — X X I .ar — x \^ — X xj X — X
àx" = èx- - ^^r^ [{y" -y') {ày" - iy') + (z" - z')(iz' - iz')]
\X' — X X)^ Xx-' — X- X'-X) -^ x" — !' ■'
t»l ainsi de suite.
Maintenant, si on suppose, ce qui est absolument arbitraire, l'axe des .r, x' , x'\,., vertical, et que P exprime la pesanteur absolue des corps, il Faudra mettre dans l'équatioa (U) de l'Article VIII 9x, ^x', Jo:",... au lieu de 0/?, 5/?', $/?",..., — P au lieu de P, P', F,..., et toutes les autres forces Q, R, Q',... égales à zéro; on aura donc
Wudu -h M a du' -f M''ii"a«" 4-. . .= P(MÔ:r -h M'6x' -4- M"dx" -h. . .)•
Faisant ces substitutions dans l'équation f E) citée ci-devant, et ordonnant les termes, elle deviendra de la forme suivante :
j ' [y] 0 )• -+- [r'] ày' -h [y" ]dy^, + ...-i-[z]àz -h[z']dz' +\z']iz" -i-...) = o.
dans laquelle on aura, après avoir mis au lieu de —■> -^t -^i--- leur
M* \rrUKATl<fJi bf. LJk VETIObE rftECEkETTE
«ft l#r* %'3ileuf* de s , V , V^..-- sen>Dt les mêmes que celles de 'v],
y , y eny metUml >implement -. z , r' au lieu de v, v, v'
On fersi dorK-, suivant noti^ mélhiide.
«fqudtiori qui, avec celles quVin a trouvées plus haut, suflBroot pour réwiudre le Pnihlème.
i'jf9hOLLAihK. — Soient les corps M, M', M*,... infiniment petits, et placés à des distances égales les uns des autres: marquant par la lettre d la différence de deux coordonnées consécutives quelconques, on aura en général
x' — X âx x^ — x' x^ — X dx
S^iit dm chaque petit poids dont le lil est chargé; soit, de plus» dési-
gnée par Tdt la somme des valeurs de dm iPdt — d-4^\ pour toute la
longueur du fil, et la somme indéfinie des mêmes valeurs prise relativement à l'abscisse x, marquée par la lettre S, de cette manière
^dm(pdt-d^)x
il est facile de voir que les équations [rj = o, ^y'^ =o, [r"j = o,... se réduiront toujours à celle-ci générale :
""■[4-3lH-^S)|-'^["'-«"»'(-'"-'^)|=-
<|uede même les équations \z\ = o, \z'j = o, [V =o,.,. se changeront eu
(> seront donc ces deux équations qui serviront à déterminer le mouvement du. fil; mais il y faudra encore ajouter une troisième équation qui se déduira de ce que chaque élément du fil, dont l'expression générale est Vdo?^ -4-dr^-4- ds^, doit demeurer constant, pendant que le fil varie de courbe. Cette équation sera donc
dt
savoir
, (ddx\ . iddr\ . iddzx
Dans le cas des oscillations infiniment petites on a ^ = o, parce
qu'alors chaque point du fil répond toujours à tr^s-peu près au même point de l'axe; de plus, si on regarde le fil comme uniformément épais, et que l'élément de sa courbe v^da?* -+- d v* -h ds* soit dénoté par d^, on
aura rf/n = d5, et la formule intégrale SdmlPdt — d-^\ se réduira a
S?i\sdt = ?sdt, à cause de Vdi constant* 5. étant la longueur de la partie I. 5i
il *^ »•! iiii-t 7 = ^ . >r. .1*» 6»îr: )P'*îni»*r»îî*' •^ipiuaiiaif o^j'iMun^^aJ:
tr tr tr iyy.r.ci^ — -^i. ît^s- i-])^ /. / . ^Z"' -çn- r.tcçpiiMi'fi dLeîf ««turp* M. îf . M'
f ""f •" Jr — X -iX* — IX — y — r -jr' — I»- — X — X 1* — XX -
f ^^f -- r' — r -ijr' — -ix- — *■' — »- ^r-'— ii- — x' — x ix' — -ix .
f M^x-M -ir ^M -:x^'— r':/-F-:r-rir -.. .
^>ft tn^itr^ Ahn€:. daiD« r^ltif expn?56ioD At
;*•! Ii#r« d^ ^/, i/ . ^/* les valeurs qu'oo vîeDt de In.iuver, et un la
MilMituera eri»ui|p dan> Tequalion E de TArtiele IX: ce qui donnera,
;«|ir^ a%'oir ordonné les termes et mis i// à la place de — -r- —r-- •
une équation de cette forme :
C[{x) ôx + (x') $x' H- (x") $x" ^- . . . -I- (7) èr ■+■ ix') (î/ -+- (^) dr* -4- . . .
+ (z) dz + (z') iz' -t- (z") iz" -I- . . .] = o, dans laquelle
ix) = M (rf J - Prf/) + (j F - ^^ F') <".
(^') = M' (rf ^ - Prf/) + (^^ F' - "^^^ F") t/^
(X") = M" (rf ^' - Prf/) + iff^'- ^" - ^''^ ' **) ''''
r ) -- M rf ^ -h (^ F - ^^^ F') dt,
y") = wd'^ ^ [^ F" - y^^ F-) dt.
et les autres expressions (2), (s'), {z") seront les mêmes que les f vj, ( v), fj'y,..., en changeant seulement V en z, y' en z\y' en 2'',....
De cette équation on tirera donc, suivant notre méthode, leJi équations particulières
{x)=zo, {x') = o, (x") = o,..-.,
(2)zr:0, (2')=:0, (z" ) =: O, . . . ,
qui seront celles du mouvement des corps M, M', M"
