XX VII
(Corollaire. — Si l'on veut que les masses M, M', M",... soient infininient petites et placées k des distances infiniment petites les unes des autres, conservant les suppositions faites dans l'Article XXV, on aura en
fM SffUr.MlhS DE LA MÉTHODE PlktC£l>E3fTE
^h\ktA\ M //m, / «I ♦. .r' r = da:, y' — v = ày, s' — s = d s, et l'on tfhnyt-r^ (\uf If^ ^qii;ïfioni4 fti-df^ïwijîi <*ft changeront dans les trois sai-
dt (ÎM
fim a , - (\ ,-'dt o, dt (IM
nii hi niîHutUé* V mMn|iH; T/ïlaMlirité variable de chaque élément du fil.
Si Ton (n\i almtractiori de la pesanteur P, et qu'on suppose, outre cela, le.H (ineillatioiiH du (il infiniment petites, en sorte que Tabscisse x demeure t(Mijours la même pour chaque élément ds, la première équation Me réduira ii
dont rinlégnile est ' — ^, ce qui donne
cl* " dx'
el celte videur étani substituée dans les deux autres équations, on aura. il cause de k constant,
dm d -r d , - A'^'^t ^^^^ d -r zrr. d -— A dt. dt dj" dt dx
Soit X Tepaisseur du tiU en ssorte que dm = \Ax 'il faudrait mettre ii la rigueur </m \d5« mais comme on suppose les vibrations inliniiiieDi petites, il est clair que Av et ds seront aussi infiniment petites par npport i^ i\st\ et qu*uin$i djr sera à trt's-peu près égal k dx . on trouvera en ditVereutiant et prenant <// et d.r pour constantes, ce qui est perviis*
c/»r ^ *; d\>; c/'J * d*3 dt* " \ dx^' dt " \ djr*'
ei)U«lions conmies.
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. i05
Remarque. — Les équations trouvées pour le mouvement d'un til vibrant, élastique ou non, peuvent encore l'être d'une autre manière plus' directe, en regardant d'abord le fil comme un assemblage d'une infinité de points mobiles; c'est ce qu'il est bon de faire voir pour développer davantage l'application de notre principe général à ces sortes de questions.
Problème VI. — Trouver le mouvement d'un fil inextensible, dont tous les points sont sollicités par desfi>rces quelconques P, Q, R,
Solution. — En conservant les noms donnés dans l'Article XXV, soient, de plus, u la vitesse de chaque élément du fil, et c& le petit espace qu'il parcourt dans le temps dt\ il est facile de voir que la formule du principe général deviendra
Scfm I uds.
On fera donc, suivant notre méthode, l'équation
dSdm I uds = o,
qui se réduira d'abord, à cause que dm est constant pendant que le fil varie de courbe, à
Sdm I {uids -hduds) = Sdm j udds-^Sdm j ududt=zo.
^dmi savoir à
en mettant dt pour— •
Maintenant, si on prend pour chaque élément du fil trois coordonnées
rectangles x,y, z, comme dans le Problème I, on aura aussi
hds— -r (dxddx -h dyddr -^ dzddz) as
et
Cudds=^ nd^dx-^d^èr-hd^èz), en mettant dt pour — -, donc l'intégrale Srfm i u^ds deviendra
en transposant les signes S, / , ce qui est évidemment permis.
On changera aussi par la même transposition des signes la formule Sfl&n / u^udt en / Sdmu^udt, et Ton aura l'équation
(K) / Sdmlududt — d -^ àx — dj^ àr — d'-^èz\ =0,
Il s'agit maintenant de trouver la valeur de Sdmu^udt. Or il n'est pas difficile de voir que l'équation (U) de l'Article VIII appliquée à la question présente donne
Sdmuduz= — Sdm(Pdp-hQdq-hRdr-h...),
On aura donc, en multipliant par dt dont la valeur est la même pour tous les éléments du fil,
Sdm uèu dt = — Sdm {P 6p -h Q6q -h R6 r -h . . .) dt,
ou bien en mettant, selon les suppositions de l'Art. I, ll^x-htsàx-hW^z au lieu de Pô;> h- QJy -h RJr-f-...,
( \ ) Sdm iièiidt = — Sdm(lldtdx -h tndtàr ■+■ Wdtàz).
Otte valeur substituée dans l'équation f K), il viendra
(L) ^ Csdm[|d^-^Udtyx-h^^d^^mdt\lr'^-{dp^'hW
Présentement, comme chaque élément du fil, ds=^dœ^-h dr^-i- dz^, est supposé inextensible, on a, comme dans TArticie XXV, l'équation
. ddx . ddy . ddz dt dt dt
On a de plus, par la même raison.
^ v^dx' -h dr' H- dz^ — o, ce qui donne
dx^dx -h dK8d>-i- dzodz = o,
savoir, en transposant les deux caractéristiques J, d,
dxdàx -h drdôr-i- Azdèz =0;
d'où l'on tin»
et, en intégrant.
.. drd5>-i- dzddz
dx
cj^ * ^x Qd>dor-+- dzdoz
Sdd j: = dx = 5 V — S — ^ :
dx
^'x dénote la valeur de ^x lorsque l'intégrale marquée par S est zéro, savoir la valeur du ^x k la première extrémité du fil- La substitution de cette valeur de ^x dans l'équation fL) changera l'expression intégrale
^dm(d^ -^lldt)àx (*n celle-ci
Or la différence ^"x, étant constante, peut être dégagée du signe d'intégration; donc si Tûfo exprime la valeur totale de l'intégrale
l'expression Sdmld--7^ -^-Tldn^'x se réduira à celle-ci plus simple, Tdt$'x. Il s'agit maintenant de faire disparaître les diflerences de $j et
«z dans rautre expression rSifoi(rf^ ^ "*) ^(J^d^J-^s^d*^)}
rVst de quoi Ton viendra aisément à bout par la méthode de rArtiele IX du Mémoire précédent. Suivant cette méthode, on trouvera que, si Idt représente, comme ci-devant, la valeur totale de Tintégrale
Sdm[d^ -^Udt),
et qu'on fass^, pour abréger,
Jdt-Sdm[d^-^Udi) =Lrf/.
on aura
>am [d -r- -hUat] b-^ aor = — 3 — - or— ^d — 3 — —6y\ ^ at f ax ' ax ' ax -
et de même
^dm a -j- -h na/) b-^—Qoz = — ^ oz — hd — 1 oz,
^ at J ax Qx éx
où les termes qui se trouvent hors du signe d'intégration S doivent être pris avec les conditions énoncées à la fin de TArticle I du Mémoire précédent: or la valeur de \^dt qui répond au dernier point du fil est nulle,
parce que Sdm(d -^ -*- Hrf/) devient alors égal à Tûfe, et, pour le premier point, cette valeur est égale à Tdi, parce que S^foi [d-^ -h H rf/J est égal à zéro; donc, si Ton marque par 'or, V, 'z les coordonnées qui répondent à ce point, on aura ^, — - 5 V pour la valeur exacte du
L•rf/d>^ ^ Trf/dz^, 11 j r . • Vdidz ^
terme -—5 — - 0 v, et j-; — 0 z pour celle de I autre terme -— i 6z
(\x ^ d z ^ djr
Par ces substitutions, on aura donc
et l'équation (L) se changera en celle-ci :
d'où Ton tire pour tous les points du fil en général
et ces équations, avec celle qui a été trouvée précédemment
serviront pour déterminer le mouvement du fil.
Si Ton fait dans ces équations n = — P, tar = o, ¥ = o, elles reviendront au même que celles de l'Article XXV, comme il est facile de s'en assurer par un calcul fort simple.
ScoLiE 1. — xMainlenant, pour satisfaire au reste de Téquation (M), on fera encore
équation qui appartient uniquement au premier point du fil.
Supposons d'abord ce point absolument fixe : il est clair qu'on aura ^'x = o, J y = o, J '^ = o, ce qui rendra nuls tous les termes de l'équa- . tion dont il s'agit; donc les équations trouvées à la fin de l'Article précédent suffiront dans ce cas pour résoudre le Problème.
Mais si l'autre bout du fil est aussi fixe, ii faudra faire alors quelques I. 52
changements k ces équations. Pour cela soit reprise Téquation,
on trouvera, en intégrant par parties avec l'addition des constantes nécessaires,
^ M dr ^ dz ^ d^y ^,
Sx=zd'x— -/-ày— ^—dz-h :rr-d'r -h dx ^ dx d X '
Pj-'H^'fjy-'rJ'y
Désignons par x\y\ z' les valeurs de ^,r, 2 qui répondent à l'extrémité du fil, et rapportons l'équation qu'on vient de trouver a ce point, on aura, en transposant,
^ , dy' , dz' , ^ , d >• ^ , d '2 ^ ,
\ da; *^ ax j
l'intégrale
étant prise pour toute la longueur du fil. Cette équation étant vraie pour tous les instants du mouvement du fil, on peut la multiplier par rf/, et en prendre l'intégrale relativement au temps t-, on aura donc, en affectant tous les termes du signe / ?
;nj
équation qui doit avoir lieu en même temps que l'équation générale (M j en faisant ^x', ây', Ô2', d'à?, $y, ô\z égaux à zéro conformément à l'hypothèse, ce qui la réduit à
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. Ml
je multiplie donc cette équation par un coefficient indéterminé k, et je l'ajoute à l'équation (M); j'ai, à cause de d'à?, 5 y, d'z égaux à zéro.
\ àx dt àx I j
d'où jt* lire pour le mouvement du fil
d — j — ^ -h dm Id-^ -f-Gjrfn -hd-^kdt^o,
et la troisième équation sera la même que dans l'Article préeédenl.
ScoLiE II. — Lléquation (N) étant multipliée par un eoefïieienl indéterminé k, et ensuite ajoutée à l'équation (M), on a en général
n (djc ôjc -4- d r'o.r' -+- dz'az')^ - (d a: a V -+- d y ôy + d ^z 3'2)î^
^'s[(dH:^Vd^)^rf/^rfmrf^Vrfminrf/)ar
\ ax ax dt / J
Les termes affectés du double signe / S fourniront d'abord pour le mouvement général du fil les mêmes équations que dans l'Article précédent: ensuite les autres termes affectés simplement du signe l donneront Téquation
dx'ox'-f- dv'or'-t- dz'oz'j^T— — »d 'jto'jt -hd V5'r-f-d'2d'^)-p; — dt =r o,
ax ' * d X
d'où Ton tire les conclusions suivantes :
i"" Si le fil est fixement arrêté à ses deux extrémités, les différences
i'jr, 5'v, $'2, &x\ dy\ dz' sont nulles par elles-mêmes, et l'équation dont il s*agit ne fournit aucune coiidition nouvelle; c'est le cas de l'Article précédent.
2® S'il n'y a qu'une des extrémités du fil qui soit fixe, alors on aura simplement d^Xy cJy, à^z ou dx' y dy\ dz' égaux à zéro; dans le premier cas, il restera l'équation
à laquelle on ne peut satisfaire qu'en mettant it = o; dans le second, l'équation restante sera
— (d 'X 0 ^x -h d y a >• -h d ^2 6 'z) ^-^ dt — o, laquelle donnera nécessairement
A -h T = o, savoir T = — A .
3** Si le fil est attaché d'un côté à une verge fixe le long de laquelle il puisse couler par le moyen d'un anneau» et que l'équation de la' verge soit en général
dz = mdx -^ n dy, alors on supposera
^'z^='md'x -h'nd [y, ou 6z' = m' 0 x' -\- n' d y\
selon que ce sera le premier ou le dernier point du fil qui décrira la courbe donnée; et substituant dans l'équation ci-dessus la valeur de â'z ou de &z' on en tirera pour le premier cas les deux conditions
d 'x -h 'md \3 = o, d y -f- 'n d '2 = o,
et de plus it = o, si l'autre bout du fil est libre, et pour le second cas on trouvera de même
dx' -h m'ôz' = 0, dy' -h n'dz' = Of et de plus T + it = o, si le premier point du fil est libre.
4^ Si les deux bouts du (il coulent le long de deux courbes représentées par les équations
d'z = 'md'x -h ^n rfy, dz' — m'dx' -h n' dr' ,
on mettra 'm5'a?-+- 'n Jy pour J'2, et m'^x' -h n'ôj' pour ^z\ et Ton fera en conséquence
d 'j: -h 'md'2 =r o, dy -h 'nd 'z = o, d:r' -h m'dz' = o, dj' -+- n'dz' = o.
5^ Si les deux bouts du fil sont attachés Pun à l'autre, en sorte qu'il en résulte une courbe rentrant en elle-même, on aura dans ce cas
x' = 'x, y' = y, z' = '2, et l'équation générale se réduira à
— {d'x $'x -h dy dy -h d'z ^'^)3-r- =«;
d'où T = o comme dans le premier cas du n*^ 1 .
Toutes ces équations, au reste, devront se vérifier au moyen des constantes qui se trouveront dans les équations générales de l'Article précédent après leur intégration.
xxxn.
ScoLiE III. — Imaginons que le fil soit emporté par un corps de masse finie M' attaché à son extrémité et animé par des puissances quelconques P'» Q'f R'» Il est clair que dans ce cas la formule, qui doit être un
maximum ou un minimum, ne sera plus simplement Sdm j uds, mais
Srfm / uds -h M' / u'ds',
en nommant u' la vitesse du corps M' et dï l'élément de la courbe qu'il décrit. Or cette dernière formule, étant traitée comme celle du Probïème I, donnera pour sa différentielle
- M' f[U^ ■+■ n'rf/) àx' + (d^ ^fs^dt\ir' ^(f^-^ "y' A ^A'^
- r r-rfr :
— • .1 •»llkJ»»* ^- "'M'
■ il - -*«
w^TH-'^i»;
ir ~ ».
tt «r
Ce sont les équations qui serviront h déterminer le mouvement du corps M'.
Si ce corps était contraint de se mouvoir sur une surface donnée p«r l'équation
dz' = m'dx' -h n'dy' ,
on mettrait, comme à l'ordinaire, rndx' -^riiy' au lieu de iz\ (»t Ton en tirerait les équations
M' id^ -h \Mdt\ ^kdt^\vL'(d^'\- Tdt\- ^^hdt\m' = o, M{d^-..'dt)-'£kdt^[M'(d^^W'dt)^
A l'égard des termes
{d'xd'x ^ ûy dy -^ d'z d'z)^-^ dt,
qui appartiennent au premier point du til, ils fourniront les mêmes conditions que dans l'Article précédent, selon les différentes circonstances du mouvement de ce point. iMais si Ton imaginait de plus en ce point un autre corps \\i, animé des puissances T, 'Q, 'R,..,, en sorte que le fil fut emporté par deux corps 'M, M' fixement attachés a ses extrémités, alors on aurait, pour la formule du maximum ou du minimum,
Sdm I uds -^ M' I u'ds' -h 'M 1 'ud's,
et l'on trouverait, en faisant le calcul de la même manière que ci-desvsus, que le premier membre de l'équation (P) serait augmenté des termes
-^M rr(rfî^4-^nrf/]d^*+(rf^^-^iorflUy-f-(rf^ H-'H^£/;W«|, ce qui ne changerait rien aux formules trouvées pomr le mouvement du
-rfr
Pso&iiifE Vit. ^ Ré^J90iuÙT le Prohkiii^ précèdent, em tuppoêamt que k
fil WMi t.xtef*sMe ^t *,lastique,
^^^L? 7ro5, — S.'it F \r f>r5ê»>rt- •:'e>l-à-*lir^ la t>K* A? cvnlrkrtion de *\ui\fï^ ^>tntrtii fia til- on âuri, eo geaerkl. pir rei|a;ktif>o l" de TAriKir VIII.
'^^ qfii dôfjûr. rû rijultipliaot p^</!r. c*t metUnt Il^x — Wv — H*^r du li^o d^ P^/> — Q^y — R^r — — el di;ÉU lieu de/.
V ^dmuimdt=—7^dm Drf/ox — ïtiZ/v- — H'rf/oj — SFiZ/odj.
Or
dj =: %dx- — d»"^ — dj-.
don*
. dx -sd r ^4r cdr — drodr dxdox — drdor — dzdôr dj - QS
donr. (ft^-ttkiii rette valeur dans SFcfr^di. el îolegrant par parties avei* \f^ t'hUhVêXiXf'ifi u^i'f'^fi^'in'S. on aura
^r///-.di -^^5' ^Jf^">^^<*»"'^»"'-<l-^- -4^ d*xa'xH-dy«V-t-d'*«'x^ df' d J -^ •
- ?> d - . ox — d —j^ o v — d -i — QZ I a/, dj dj • dj /
Maintenant, pour résoudre le Problème, il n'y a plus qu'à mettre dans l'équation (K) de l'Article XXIX, au lieu de Sebnuâudt, la valeur qu'on vient de trouver, et l'on aura, en ordonnant les termes,
- r [(dar'dx' -I- Ar'^r' ■+■ dz'82')^ — (d'x « V + dy «y + d"« ô'z)-^ j
-h (A^fdl - dm rs dt - dmd ^\ èy -h (A^dt - dmW dl - dmd ^\ oz\=o, d'où l'on tire, pour les équations générales du mouvement du til, d !^ rf/ - rfm (nrf/ + rf^W o, A^ldi-dmLdt-i-d^\=o,
ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé dans l'Article XX VII, en mettant tsr et ^ = o, et — P au lieu de n . On aura de plus l'équation
qu'on traitera ainsi qu'on a fait ci-devant l'équation (Pj, et qui donnera par conséquent des conclusions semblables sur le mouvement des deux extrémités du fil. J'en laisse le détail au lecteur.
Problème VUl. — Tromper le mom^ement d'un corps de figure quelconque animé par des forces quelconques.
Solution— Soient nommées dm chaque particule du cprps, u sa vitesse I. 53
tin %prLii:%rio^ or l\ wtTHiiiiE précédente
-^ d$ t >^paf p 'fiiVtl#» parronrt Un» l<i^ rtf^mpfldir: oo »iiia. riMune dans ' \rf'M'l^ XXfX. ri/ùn j u/fs ^mr !;* r'ormnf** (\m ♦loii etn» un maximam
ifi (in rninimiim.
Rn <fiiv;inr h rm*rho#*#* -xplirjii^^ lan» ••**r A^tirll^. •lo parnendn de
/// 1/ dt J
-t il ri\ Anr^ plus ({ii'^ ^nttntitiit'r 'iam «-(^ttt^ ^'tfuatioD les valeurs de ilx.
/v, ^/:: .-t '^ r. 'iv, &z «onv^nables h i-haifne partiraie du rorps donne. poijr tri)iiv«>r «f s v;»|ptirs. i»* prends «ians rinierieur du <*oqps un point
jn^^fr-rififfij»* fixe ijue j'appelle le rentre de rotation et dont je sup|K»se
fij*» U pM-'irion s«Ht repref*entt*f* par ies «niirtionnees rectangles X, Y, Z: ■ t* nppnrte i* '•*• «potre rhaenn iJes autres p«>ints du rorps par le moven • f*» rroi<4 nniiv**||es 'Offrdonnees p, y. r prises dans les mêmes axes que >H X. V. Z: j'^i ainsi
itur •'•n^^'fjuenf
fir - d\ ^ dp, dr =zd\ — fiq, 'iz r= fiZ -^ //r, ••f 'le rn**me
Il ^'-i^ït inainlén;4nl de ln)uver les valeurs des dilTérenees de p^ q. r ^nr '-hîiqne point du forps: pour eela il faut considérer le mouvement «fu «-orpfl autour de son «-entre et déterminer les variations qui en résulîenr 'lan*^ i-hanjne des lignes /i« q. r. Or il est facile de voir que, quel que -oit re mouvement* il peut toujours être regardé comme formé de trois ooiiv*»ment?i «le rotation autour de lr«>is axes perpendiculaires entre eux. .'f pskH^^^nt p^r le rentre dont nous parlons: donc, si Ton prend pour les ^x*^ ite rot;«rion reux des eoonlonnees /i^ q^ r, on trouvera par un caleol r^-^-^imple i|ue, tandis que le rorps tourne autour de Taxe des r dTiu o^nvf-m^nt ;«ngDlaire //R, la ligne p croîtra de la quantité fé^^ et b
ligne q décroîtra de la quantité pd^; que de même, en nommant ^Q Tangle de rotation autour de Taxe des q, les lignes p ei r deviendront par ce mouvement/) -h rrfQ, r--pdQ; et qu'enfin Fangle de rotation autour de Taxe des p étafîït é/P, il en résultera dans la ligne q un accroissement égal à rdV, et dans la ligne r un décroissement égal à qdV. Donc, en ajoutant ensemble toutes ces différentes variations des lignes p, q, r, et exprimant les variations totales par dp, dq, dr, on aura, en général,
(0) dp=^rdQA qdK, dq = rdV - pdV^. dr z:^ - qdP - pdQ,
et par conséquent aussi, en changeant d en &,
op^rdQ-hqd^, àq = rdP — po^, dr = — qd^ — pèQ.
On aura donc par là
èx = d\-hrdQ-hqdH, àr = à\ -hrèP — pdR, ^z = 6Z-qèP- pdQ;
dx
dt ~
d\ rfQ dt ^'dt
rfR
dr dt -
rfY rfP
dt ^'dt
rfR Pdt'
dz
dt ~
dl rfP dt ^ dt
P dt'
d'où l'on tire
.dx ,d\ ,dQ . dii .rfR . rfR
''di = ''-dr^'''Tt ^'^'Si ^^''-di ■^'^iji'
savoir, en mettant pour dq, dr leurs valeurs,
,dx ,d\ .rfQ ..rfR ^rfPrfQ rfQ' rfPrfR rfR»
d -r- =^d —r- -4- rd -^ -hqd -n ft — y—^ — p— y^ ■+- r — , p— 5— ;
dt dt dt ^ dt ^ dt ^ dt dt '^ dt ^
on aura de la même manière
jdr .rfy jrfP .rfR rfP» rfPrfQ rfQrfR rfR'
.dz .rfZ .rfP .rfQ rfP*^ rfPrf» rfQ' rfQrfR
Substituant ces valeurs dans Téquation (L) ci-dessust et faisant sortir hors du signe S les quantités rfX, rfY, rfZ, cJX, cJY, (^Z, rfP, rfQ, rfR, c^P» c^Q> (^R qui sont les mêmes pour chaque point du corps, enfin ordonnant les termes par rapport à âX, âY, âZ^ cJP, (^Q, (^R, on aura une équation de la forme suivante :
(S) r^[X]dX-h[Y]3Y-h[Z]ÔZ-+-[P]dP-h[Q]^0-h[R]dR) = o,
dans laquelle VI «j'^X ^ . /.dii dPdR\ . , / .rfR rfPrfQ\
Sprfm '^Q'j'^'^"' + Snrfm <//,
^ , /' rfR dVdQ\ „ . .,
— i>pdmld-T--i T— ^ I + 1> Cl am <//,
— S/»rfm \d -^ -\ ^- 1 + S'ï rfm dt,
[P]=Srdmd-j- —Sqdmd-^-i-{Sr*dm+SqUim)d-^
a j j^'Q c j /*R c y dQ'-dW ^ , dPdQ -4- bpqdmd -j- — hprdmd —j- -i- i>qrdm — -^— ^ bprdm — .
— Spqdm — -3- h[Sq'dm—6r'dm)-—T- hSmrdmdt—^^'qdmdt,
. [Q]=Srdmd^-&pdmd'^-h{Sr'dm-t-Sp^dm)d^
c j j^/P ^ j j'^R c 7 </P'-</R' ^ . dPdQ -hopqdmd-T- -+-bqrdmd—Tr -t-bprdm -t- bqrdm — .
■+■ Spqdm '^^J^ + {Sr'dm - Sp'dm) ^^^ " -hSïlrdmdt-SWpdmdt,
[R] = S9rfmrf^~S/>rfmrf^ -h{Sp'dm -hSq'dm)d^
-\^Sqrdmd -^ — Sprdmd -^ — h Spqdm -^ — — -h^qrdm —^ —
-hSprdm-^ h(S/>'rfm — S^'rfm) — -j-^ -^SUqdmdi — Smpdmdt:
M exprime la valeur de Sdm, savoir la masse entière du corps.
Cette équation donnera la solution du Problème en faisant, comme à l'ordinaire, les coefficients des différences marquées par c^, chacun en particulier égal à zéro, comme on va le voir dans les Corollaires suivants.
Remarque. — On peut simplifier les expressions de [Xj, [Yj, [ZJ, [PJ, fQ], [Rj en faisant tomber le centre de rotation dans le centre de gravité du corps. Car alors les intégrales Spdm, Sqdm, Srdm, qui expriment la somme des moments de toutes les particules du corps p^ir rapport à ses trois axes de rotation, deviendront nécessairement égales à zéro, par la propriété connue de ce centre.
A regard des autres intégrales Sp^dm, Sq^dm,,.., il faut observer que leur valeur dépend de la position instantanée du corps, et qu'elle varie par conséquent avec le temps /.
En effet,
d{Sp^dm) = Sdip^dm) = zSpdpdm = iSprdmdQ -h ^SpqdmdH,
en mettant au lieu de dp sa valeur rdQ -h y rfR; on trouvera de la même manière
d{Sq' dm)=2{Sqrdm)d^ — 2{Spqdm)dïi, d{Sr' dm)=i — i{Sqrdm)df-'ii(Sprdm)dQ, d(Spqdm)z=z{Sprdm)dP'^{Sqrdm)dQ'h{Sq*dm''Sp'dm)dn, rf(S/?rrfm) === ~ (S/>9rfm)rfP H- (Sr'rfm — Sjp»rfm) rfQ 4- (Sfl*rfm)rfR, d{Sqrdm) = {Sr*dm-'Sq*dm)dr'^(Spqdm}d(i-'{Sprdm)dR.
ï^ VPPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE
Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les valeurs générales des quantités S/?'rfiw, Sy'rfm, Sr^dm^ Spqdm^ Sprdm^ Sqrdm qui entrent dans les expressions [Xj, [Y],... de Téquation (Sj: mais e*est de quoi il ne parait' pas facile de venir a bout, à cause de la difficulté d'intégrer ces sortes d*équations.
Corollaire I. — Or, si le corps est entièrement libre, en sorte que les différences 9x, î v, Hz, JP, JQ, JR n'aient entre elles aucun rapport déterminé, il faut, pour vérifier l'équation (S;, faire les coefficients de ces différences chacun en particulier égal à zéro, ce qui donne les six équations ''X]=o, ['Yj=o, Zj=o, rP]=o, 'Qjsro, ,rRj=o, par oîi Ton peut connaître le mouvement du corps a chaque instant. Si Ton fait dans ces équations Spdm = o, Sqdm = o, Srelm = o, selon l'hypothèse de l'Article précédent, les trois premières deviendront celles-ci :
Mr/— ^SUdmdt = o, ùt
M d -j- -^ Swdm dt =r: o,
Md -, ^^^dmdt^o. fit
lesquelles montrent que le centre de gravité du corps se meut de la même manière que si toute la masse du corps était réunie dans ce centre.
Les trois autres équations ne contiendront que les variables rfP, rfQ, //R d'où dépend le mouvement de rotation du corps autour du centre de gravité; ainsi ce mouvement sera tout à fait indépendant de celui du centre de gravité.
Imaginons que le corps ne tourne qu*autour d'un seul axe, on supposera, dans les équations 'Pj = o, [Qj = o, [R]:=::o, deux quelconques des trois variables </P, </Q, </R égales à zéro. StHenl d*abord </Q, ^R
é}çales à zéro, on aura
dV
{Sr^dm -h Sq^dm)d -j- -f- Swrrfmrf/ — SH^'^rf/w dt = o,
rfP rfP'
iSpqdm)d-j- -^{Sprdm)-^ -^ SUrdmdt — SW pdm dt = o,
dP rfP^
— (Sprdm)d -r- -f- {Spgdm)--7-- -h SUqdmdt — Smpdm rf/ = o.
On trouvera, de plus, par les formules données à la fin de TArticle précédent,
rf(SH dm) -h d(%q^dm) — o,
d(^pqdm)z=z(^prdm)dV,
d{Sprdm]= — {&pqdm)d?, d'où
I" ' •8r*rfm-f-Sç'rfm=:con9l.,
constante que j'appellerai A; ,
d(Spqdm) d(^prdm)
Sprdm ^ Spqdm '
savoir :
{Spqdm)d{Spqdm)=: — (Sprdm) d (Sprdm),
ce qui donne, en intégrant et réduisant,
[Spqdmy ■+- (Sprdmy := const.;
soit cette constante égale à B^, on aura
Sprdm = y/W^Spqdmf,
donc
d(Spqdm) ^p )/B^ — (Spqdmy
d'où
Spq dm = B sin (a -h P),
a étant un angle constant telf que Bsina:=sS/>9^, au êommencemenl
(le h rotation du rorps; par conséquent,
S/>rrfm = Bcos(a-f- P);
donc, si Ton substitue ces valeurs dans les trois équations ci-dessus, on aura
dP 4 fl -j- -hSw r dm dt — S^:q dm dt = o,
dp dP'^
Bsin(a-f-P)rf-^ -f. Bcos(a 4- P}-^ -hSUrdmdi — SWpdmdt = 0,
dp dP?
— Bros^a-h P)rf-7- -h B sin (a -f- P) -^ -^SUqdmdt — Svspdmdi = 0.
rfP La première de ces équations étant multipliée par -j-» et ensuite intégrée, donne
ArfP^ r,o . o,. , . ^^ Ac
