dr
j(iiTsrdm—SWqdm)dP= — ,
dp *
c étant la valeur de -7- lorsque P = o, c'est-à-dire la vitesse primitive
de rotation; donc, substituant dans la seconde et dans la troisième équation, au par dt.
tion, au lieu de d-j- et de -tt-^ leurs valeurs, on aura, après avoir divisé
— Ysin(a -h P)(Scyrrfm — SMr gc/mj 2B
— ?— cos(a-h P) / (SGjrrf/w— ^'qdm)dP
-+- Bc^ cos(a 4- P) -h ^VLrdm — S^pdm -z o.
-T-cos(a -h P) (Scyrrfm — S^'q dm) A
J^ sin fa -h Pj-nScrré/m- S^^d/iOdP -h Bc'sin(a -f- P) -1- Sïiqdm — S^pdm = 0,
et ces équations renfermeront les conditions nécessaires pour que le corps tourne librement autour d'un axe immobile.
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. ï^
Si les forces II, 9, H^ sont nulles, ou constante»^ ou bîeu si ellen sont proportionnelles à /^, q, r, on a
S®rc/m — SWqdm = o, SUrJm — S^'pJm = 0, ^UqJm - $w^pJm = o;
par conséquent,
c/est-à-dire que le niouvenienl de rotation est unitornie, et les equatioiiK précédentes se réduisent a
B6*^cos(a 4- P; — o, Bc^siii(a -h P) - t>,
ce qui donne B = o; on aura donc
^'(Spqdmy -h {f^prdmy -- o,
ce qui ne peut arriver, à moins que Ton n'ait ^pqdm = o, Sprdm = o. Voilà donc les conditions par lesquelles on déterminera la position de Taxe de rotation au dedans du corps. Il est clair que ces conditions sonl suffisantes pour une telle détermination, puisqu'on sait que la position d*une droite qui passe par un point donné ne dépend que de deux variables.
Soient maintenant
rfP=zo, dH = o ou rfP -o, i/y — o,
dans les équations
[Pjz=o, [Q]=o, H —o;
on trouvera, par des procédés semblables à ceux que npuh venons 4*^ pratiquer, les conditions de la rotation du corps autour de deux autres axes.
Dans la supposition de
>mrdm ^S^'qdm = o, ^Rrdm —^H:pdm z=l o, hUqdm — ^wpdétt - o.
iM APPLICATIOK DE LA MÉTHODE PMÉCÉDE3iTE
les équations dont il s'agit seront
^qrdm , a -t^ — / S/ig dm ) — ^ = o.
pour |p cas où </P = o, </R = o, et
— ' Sprdm , rf -^- Sqrdm ) —=-- =
^Sqram :d --^ ' ^/>^ am ; -^-- = o,
' S/>* <//w — S^* dm ] d —T- =: o,
pour If r;is oij rfP = o, rfQ = o.
Dans le premier cas on aura donc d -^ = o, c'est-à-dire que la rotation s^?ra uniforme, et de plus Sqrdm = o, Spqdm = o pour la détermination de Taxe de rotation.
Le second cas donnera pareillement i/<^ = o, savoir la rotation uniforme, et Sprdm = o, Sqrdm = o pour la détermination de son axe.
On trouvera donc trois axes fixes autour de chacun desquels le corps M pourra tourner librement et uniformément, en cherchant dans ce corps la position de trois droites, qui passent par son centre de gravité, et qui soient telles que
Spqdm^^o, ^prdm = o^ Sqr dm = o, Spq dm = o,
Sqr dm=:o, Sprdm =10, savoir :
Spq dm =z o, Spr dm =0, Sqr dm = o,
p, ^, r étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de chaque particule du corps par rapport à chacune de ces droites; d'où il
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. ï*r
est aisé de conclure que les trois axes de rotation dont il 8*a|^it sont
nécessairement perpendiculaires entre eux.
Au reste, quel que soit le mouvement du corps autour de son centre de
gravrté, il y aura toujours un axe instantané de rotation qui passera par
ce centre, et qui sera facile à déterminer dès qu'on connaîtra les mouve-
vements angulaires rfP, rfQ, rfR. Soient/?', q\ r' les coordonnées qui
répondent à chacun des points placés dans Taxe dont nous parlons : il
est clair que ces points devant être immobiles pour un instant, on doit
avoir
dp' = r'rfQ-h ^'rfR = o,
dq' = r'dP-p'dR = o,
dr' = -(i'd9-p'dQ=:o,
équations dont la troisième est, comme on le voit, une suite nécessaire des deux premières; c'est pourquoi on fera simplement
r'dQ-hq'dïi = o, r'd^-p'dïi=^ o;
ce qui, en regardant/?', y', r' comme variables, et rfP, rfQ, rfR comme constantes, donne une droite dont la position est aisée à déterminer par rapport aux axes des coordonnées/?', q\ r\
Dans le premier instant du mouvement on a, en faisant dP=o, dQ = o, dR = o dans les équations [Pj =o, fQJ =o, [Rj =o,
{Sr^dm -^^q'dm)d -— -h {Spq dm) d -p- —{Sprdmjd -r-
-hSwrdmdi ^SWqdmdi - o,
[Sr^dm-hSp'dnijd -^ -h {S pq dm) d -jj- -¥■ (^qrdm)d~
-^SUrdmdi - S ^'pdm di . . o,
{Sp'dm -^ Sq'dm) d — -^{i^qrdm)d -S —(^prdm)d-j-
-h-l^Uqémdt- Smpdmdi o; de plus, les équation^^
r'dQ -^ qfdlk =r o, r'rfp ^ //dt ^ a.
,rfR dt
étant divisées par dt et ensuite difTérentiées, donnent, à cause de dP=o, dQ = o, dK = o,
,.dQ ,.rfR ,.dP ,.dR
rd-j^+q'd-jj=o, r'd-^-p'd-j^=o;
d'où Ton lire
ces valeurs substituées dans les équations ci-devant, on a
f (SrUlm -h ^q'dm) 4 — {Spqdm)ij - %prdm\d^
-f- Smrdm dt — SWq dm dt = o,
— {Sr-dm -h Sp^dm)ij ^(^Spqdm)^ -h Sgrrfm rf-
-h SUrdmdt — SfWpdmdi = o,
-hSUqdmdt — Smpdmdt = Of
et, eu elinunant d—r-^ cit
(Sr-dm -^ Sq"" dm) p' — ( Spq dm) q' — ( Spr dm) r' SWqdm—Smrdm {S])qd~n^p~-^(^dm -h Sp'dm)q' -h (Sgrrfm)r' ~" SY/?rfm — Snr<//w'
(S/-V/m -f- Sq'dm)p' — (Spqdm)q' — {Sprdm)r' SWqdm—Stsrdm — {Sprdm}p'—(Sr'dm-^Sq^dm)q'-\-{Sqrdm)r' "^ Smpdm — SUqdm^
équations qui donnent le rapport des coordonnées/?', q\ r' entre elles, et par conséquent la position de Taxe de rotation au commencement du mouvement.
Corollaire II. — Si le corps n'est pas absolument libre, mais qu'un de ses points quelconque soit obligé de se mouvoir sur une surface donnée, alors, prenant ce point pour le centre de rotation, et supposant la
A DIFFERENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. Ml»
surface exprimée par Téquaiion
rfZ = mrfX-+-/irfY,
on ne fera que mettre, dans Inéquation (S), mHX 4- wd Y pour dZ, vi Ton aura, au lieu des trois équations [XJ = o, [ Y ] = o, [ Z | = o, «th il««ux-ri :
les trois autres ne recevant aucun changement. Mais si, pour Hiuipliii(>r les expressions de [X], [YJ,..., on veut que le centre de rotation »oi( U* centre de même de gravité du corps, suivant la Remarqui- iU* l'Article XXXV, alors on ne doit plus prendre X, Y, Z pour le» coordonna*'» de la surface proposée, mais X-hp\ Y-f-çr', Z-hr', p\ q\ r' étant U-s coordonnées qui déterminent la position du point qui m meut %\\f n-tli* surface par rapport au centre de gravité; on aura donc
rfZ -h rfr' z=^ m{d\ 'hdf/)'hn [d\ -¥- dq),
et mettant au lieu de dp\ dq[ ^ dr' leurs valeur»
r'rfQ-f-ç'rfR, r'dV-f/dK -q'dV- f/dQ,
et ordonnant les termes,
dZ = md\-hndY-h(q''^ nr')dV -h (// -f^ mr')di} h- (mr' -^n//}dH;
on trouvera par on raisonnement semblable
'îZ — moX-f-ziâY -f-Cg'-f- nr')df -^{// -h mr'}dQ-h (mq" — n//)dh;
donc, substituant cette valeur de JZ dan« Téquation S;, et faisant les t^oefficients des difTérenees restantes chacun égal à zéro, on aura les cinq équations
et pour la sixième écpiation (» j^en^a cette (ffif^m » r^ow^ée cî-t#eïwn«^,
',\ - - • 'ij- r '». ^^ = - • -:P-/fl. --Z = f îF-X^Q.
^. '^ -•^i^^r* ««tiiis^i'j^-^-ï 'X^ok^ /nnLai*j& S . j« àrowcraii, eo faisant ^ .>f.' "'.".- î- ?P. îQ. îl -aAr^ia ^ç^ à irf*... i^rs. tnÂ> équations
xxxnn.
y^»«>LL&:2£ III. — Im^iiMQ> «|u»r r* -r^jq^ 2^»ii puâe sur un plan ou •*^r :r«^ ^nrf^r^ i];ii^if>>Qqu*' ^c: 1-.*q^ dr ia^wiellr* ii paisse glisser libre- TH^ii. -Q Ti'umaDt -mr ia2-4n*rflit- d'iukr maniera qurlci^oque; soient/?', y . r #-4 - ••.•r*i-»QD»*»-> «i^ i^ 5«uprrtirî»* d'i •■'■rps. r-i
^m -^UiiC'.'Q d'iifer^-ûiieiltr. il r^i clair :
' *^»* -^n^iis '|Ui^ ir- •:"rp> ^ m-> JiTrf> mouTffm^nts rfX, rfW dZ^ "iV. 'i<2- <^R- •haqut- p->ijiî d»- Si! >urfavr panrourt les espaces
ij«o» i;t ilirHTtiMQ des ruvrdMnn^rrs X. Y. Z ;
2"^ Que le point d'attouchement, étant mobile sur cette surface, parcourra de plus dans les mêmes directions les espaces dp\ dq\ dr\ savoir dp\ dq\ Mdp' -f- Nrfi^', d'où il suit que les espaces entiers parcourus par le point touchant seront
d\^r'dQ-hq'dK-hdp\ d\ -hr'dP-p'dR-hdq\ rfZ -q'dP- p'dQ -h Mdp' -h N^^'.
Or, ce point devant aussi se mouvoir sur une surface représentée par
Téquation
dZ = md\^nd\,
ou bien
dz = mdx -h n dy\
en appelant x, y, z les coordonnées de cette surface pour les distinguer des X, Y, Z qui appartiennent au centre de gravité du corps, il faudra mettre dans cette équation, au lieu de dx, dy, dz, les quantités qu*on vient de trouver, ce qui donnera après les réductions
r/Z = md\ -h ndY -h (ç'-f- /ir')rfP -h (p'-hmr')dQ -h (mq' — np')dH
-+- (m ~ M)dp'-h{n — N)rfg'.
Cette équation appartiendrait en général à tous lès points dans lesquels la superficie du corps pourrait rencontrer la surface proposée; mais dans notre cas, où l'on veut que les deux surfaces se touchent, il faudra de plus supposer qu'elles aient les mêmes tangentes dans leurs points de rencontre, c'est-à-dire que m = M, /i = N; donc l'équation rrouvée se réduira à
rfZ = mrfX -h ndY -h (q' -h nr')dV -h {p' -h mr')dQ -h (mq' - np')dK.
Par les mêmes raisonnements, on trouvera, en considérant les différences marquées par J,
az = môX -f. ifiY H- (g' -h iir')iP 4- (p' -♦- nir'jiQ -*- (mg' - n/i'jdR.
'•» %PPLIi:ATIO!i DE LA METHODE PlSGÉDE3fTE
n n'v Hun donc- plu.s qu'à substituer i-ette valeur de dZ dans Téquation S . et a égaler ensuite a zéro chacun des eoeffieients des differem'e< ^X. 4 Y. 4P. 4Q, iR. ce «|uî donnera les cinq équations
\"^m Z =0. 'Y]^ii Z]=Ot
P — //— /ir' Z - o, Q ^ f/^mr' Z =0, R — «i^— ii/i')[Z] =0,
|psqiip||ps étant jointes aver- l'équation ci-dessus.
//Z ^/wrfX — «rfY— q —nr' rfP— ....
'^••rvironl a determin»fr k mouvement du corps.
Si r*>n voulait que le l'orps n'eut à chaque instant qu'un mouvement ^ut««ur du point tourh;int. «^'est-à-^lire qu'il n'eût aucun mouvement p4>ur ;:iisser le lon^ df la surface sur laquelle il se meut* alors il est •dair que l*fs e:»paces p;ircourus par le point d'attouchement sur la surtare dont nous parlons et sur celle du corps devraient être exactement les m^'mfs: il f;iudniit donc que
d\ — r dQ--q'dR--dp =dp\
d\ ^r d? — p dBi—déf =dq ,
dZ -q'dP—pdK^dr =dr\ '>ifV«Mr
•/\ - r di^^qdK—o. d\ ^r dV — p </R=:o. dZ — ç'rfP — />'rfR=:o,
-«r pareillement
-îX — r -îO-- 7'ôR = 0. ôY — r 6P— /»'gR=o. oZ — ^oP — f>'iR = o,
r*!!! i''>n durait pour o\. $Y. oZ les mêmes valeurs que dans le second *-:fî» df l'Article XXXVU- et ces valeurs substituées dans Téquation (Sj fiinneraient par conséquent aussi les mêmes équations pour le mouvement du rorps. mais avec cette différence que les coordonnées />', q\ f '-«^p'indrairnt ici non plus a un point fixe, mais à un point mobile qui •hAtiç^rr r.^ritjnucllement de place tant sur la surface du corps que sur '••'tj*' !•* l'injr de laquelle le corps se meut.
ScoME. — Les expressions [XJ, [Y],..., sont en général
[\]r^Md^-hs(d^ ^ Udi\ dm, [Y] = Md^ ^s(d^ ^fsdt\dm, [Z] = Md'^ -^^(dj^ -^ '¥dt\dm,
[P] = {Srdm)d^ ^(Sqdm)d^
^s(d^ -hfDdt\ rdm - S idj^ + 'Vdt\qdm,
[Q]=:(Srdm)d'~^-(Spdm)d^
^ S (rf^^ -f- nr/A rdm - S (rf^ -+- Wdt) pdm,
\K]={Sqdm)d^- {Spdm)d^
^s(d^ -hUdi) qdm - S (rf^ -f- xndt\ pdm.
Dans les formules de rArticle XXXIV nous avons mis à la place de p, q^ r leurs valeurs tirées de l'équation (Q), et cette substitution a introduit les quantités Sp^dm, Sq^dm, Sr^dm, Spqdm^ Sprdm, Sqrdm qui ne peuvent être déterminées que par l'intégration des équatiçns données dans l'Article XXXV. Or, pour éviter cet embarras, il n'y aura qu'à exprimer les coordonnées /?, q, r par d'autres variables, dont les unes dépendent uniquement de la situation du corps et soient par conséquent les mêmes pour chacun de ses points, et les autres au contraire -soient différentes pour tous les points du corps et demeurent toujours les mêmes pendant qu'il change de situation. Pour cela, ayant imaginé deux axes perpendiculaires l'un à Tautre, qui passent par le centre de rotation et qui demeurent toujours fixes au dedans du corps, on remar- L 55
*• «-Il *:ri-» f-<: tlU-iii.rt-* J Z ' U- -r^tai fllK ttr* '••nrrif»!l=- U* ^-^ JlfUlK^
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*^- .^ '^ i m. •^'•'j»*'-*^nifnî ;« 3»-*ni.a m • •«* i -nafin*? JiâC4ac.
••^*- r tn-'^* 4 .- Il"-- »-• ^^.fir* f**-» ÙT^-r^af'** îj. ?r- î"*. >u»hii «^fi
•- -nfinfï»» ' .»'iM»*ï!^r»^-
M - Dr? — £ l'j — Fr3.
',v c\ -'., ^->V-D':P- E^y-FîR- .;:-— >Z---r -cZ — GcP — HcQ — I5R.
StihMfitfi;«iif f:*r> v^lt'ur» d;îQ^ rrr«]Udtion L , oD aara une équalion chf U m^m^ foniK' r|ue S , d:iDâ laquelle les quaDbtés '~X • [¥]• [Zj
seront exprimées cOirime ci-dessus, et les [P], [QJ, [RJ auront les valeurs suivantes :
fP]:=(SArfm)(/^-f-(SDrf/w)rf^ -h(SGrfm)r/^
-^ sUd^ -h ndt^ \ ^ (d^^ -h tndt) l) -h (d^^-hWdt) g] dm.
!Q] -(SB^m)rf^ -h{SEdm)d^ -^{SHdm)d^
-hi^Ud^^ -hUdt\\i-h (dp- -hT^di) E-h (^d^'-^-h^dt\ u\dm,
[R] ^{Si:dm)d^ -h{SFdm)d^ -h{Sldm)d^J^
^^Ud^ -hndt\C-h(d^ -htsdt^F -h (rf^^H'-rf/) llrfm.
Je laisse au lecteur le détail de Tapplicalion de cette équation, qui n'aura aucune difficulté, après ce que nous avons dit dans les Corollaires précédents.
Problème IX. — Trouver les lois du mouvement des fluides non élastiques.
Solution. — Il est visible que Téquation (L), qui a servi pour résoudre le Problème précédent, a encore lieu ici, cette équation étant générale pour un système quelconque de corpuscules dm, agités par des forces quelconques P, p, R
Soit D la densité de chaque particule du fluide rf/n, on aura
dm = Ddx d rdif et Téquation dont il s'agit sera
f^Axàx^znUd^ -^VLdt\ox-^ i^d^^-^mdt\àY
Je mets l'exposant ^ au signe S, pour exprimer les trois intégrations que ee signe renfermé, relativement aux trois variables a?, j, z, intégrations que nous aurons souvent occasion dans la suite de considérer chacune en particulier.
Maintenant, comme le fluide est supposé incompressible, il faut que le volume de chaque particule dm, lequel est exprimé par AxAyAz, reste toujours le même; on aura donc
djdz rfd^ H- (la; dz rfd/H- da; dj rfdz — o, savoir
dùx dur ddz
dx dj (Iz
ou, en mettant d^au lieu de dd,
,., ddx ddy ddz
dx dy dz
On aura par la même raison
dy dz ôd^H-da; dz à dy -h dx dyàdz = o, ou bien
djdz dàx'\-dxdzddy-h djrdj dàz = o,
ce qui donne
.. , (dàr d$z\
ddJ7=: — da; l-r^ -h -i— )?
\ dr dz /
et par conséquent
{€) Sdèx = dx = d'x^Sdxi^ -^^]',
\dr dz / ^
8'x est la valeur de Ja?, quand l'intégrale Sd;r (-p- -H "j- ) est nulle;
or, comme cette intégrale doit être prise en variant seulement x^ il s'ensuit que la quantité i'^r sera constante par rapport à x, mais variable par rapport à j et 2, c'est-a-dire que cette quantité sera une fonction de y et z.
Donc, mettant dans l'équation fa), à la place de ix,h valeur qu'on
vient de trouver, l'expression intégrale
S» dx dy d« D (rf^ H- Hdt\ ix sf changera en celle-ci :
»ûxirûzTiid^+ndt\i'x
JVrris d'abord le premier membre transformé ainsi :
S^ d^dî SdxD (d^ -h ndt\ i'x,
expression qu'on voit bien être équivalente à la proposée. Or, soit la valeur totale de
Sûxï^(d^-^ndt\
exprimée par Trf/, il est clair qu'on aura, à cause que $'x est constant par rapport à a?,
S donc
d^D (rf^ H- ndi\i'x = d ^orSdorD (d^ -*- Hdt\ = i 'xTdt;
S'dardjdzD (d^ 'hndt^d'x = S'd}ûzTdti'x.
Je mets de même le second membre sous la forme suivante :
j'opère sur l'intégrale
suivant la méthode de rArticle IX, Mémoire précédent : j'aurai, en sup-
posant, pour abréger,
la transformée
\ dr dz /
où il n'y a plus qu'un seulsigne d'intégration; la formule proposée deviendra donc
\ dr dz / ou, ce qui est la même chose,
S»dxd,dzUrf/(^+^),
dans laquelle il ne s'agit plus que de faire disparaître les différences de ôv ei 8z,
Pour cela il est nécessaire de distinguer d'abord les intégrations relatives à la variabilité de y et de s, en mettant cette intégrale sous la forme suivante :
^^dx dz Sdr — -, — - -h^'dx dr S dz - -5
d}' dz
Or, par la méthode ordinaire des intégrations par parties, on trouve
Sdv — 1 — — =r U dtor — Sd7- -■ , oy.
dr ' ' d,)^
J'écris Sdy— ^-p— ôv au lieu de Sd(Urf/;ôy qui lui est égal, pour
dénoter que cette intégrale, de même que la différentielle dUrf/, doit être prise en ne considérant (jue la variabilité de j seul. Soient mainte-^
nant y la valeur de y lorsque l'intégrale Sdj— ^-^ — -8y commence, el
y' sa valeur lorsque cette intégrale finit; et soit exprimé par U ce que devient U en y mettant V à la place de y, et par U' ce que la même quantité devient en faisant / = /'; on trouvera, par la Remarque faite à la tin
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. '*d9
de l'Article I du Mémoire précédent, que la valeur complète du terme II dt 0 j sera li'dt 8y — 'Vdt8 y.
Mais pour peu qu'on réfléchisse sur la nature de nos formules, il ««si
(i-n -^ nî/| est nulle,
et que quand U = U', cette intégrale est précisément égale k Tdt; c'est pourquoi l'on aura 'U = Tet ir = o; donc enfin
^ ^r d j ^ ~ Tû y - S d r ^^^. ox-
On trouvera par des opérations et des raisonnements semblables
Sdz :i = — To'z — Sdz— ^ -$z;
dz 6z
donc
s»d^drdzUrf/(^-^^\ \ d r dz /
se changera en
- S' dx ûz T dt dy-S'dx dz Sdr^^F^^^a>-
-^ S» d^ dr T rf/ d ^z - S» do; d r S dz^^^^ dz. ^^ dz
ou, en réduisant,
-^S'dxdzTrf/dy--S^dxdzTrf/5^z~S>da:djdz(^-^^^^ donc S» d.r d r dz D (rf^ -f- ndt\ f^x = S» d^ dzT dti'x^ S* dx dz T dt d > -S^d^drTrfM^z^S»d:rdrdz(li^^ô>^^i^
donc l'équation (a) deviendra
I (S' d >• dzTdià'x-hS^dxdzTdt à'r-^S'dx dy T ^// a z)
rf) j +Js'dxdrd.j[i(M)-f-D^rff +«,rf/)]3r
rd(U<//) ^ / .rf^ „. . \ K (
kkO APPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE
d'où l'on tire pour le mouvement de chaque particule du fluide en général
jl^'.o(.|...,)=..
Ensuite, pour satisfaire au reste de l'équation, on fera (/) S' dr dzTdiè'x-h S' Ax dzTdtd \r -+- S^ dx dr Trf/ o z = o.
CoROLL\iRE I. — La valeur de II dt est
Trf/-Sda:D(rf^ -hUdtU
l'intégrale étant prise en variant seulement oc; on substituera donc cette valeur dans les équations 'ej : mais, pour pouvoir faire disparaître le signe S, on prendra les différentielles de ces deux équations en supposant X seul variable, ce qui donnera, en mettant pour -^j sa valeur
— D ( rf ^ -f- n rf/ j » deux équations
1 d) ~ ■ dx
(ÏX
qui jointes à l'équation b trouvée ci-dessus feront connaître les valeurs de jr. y. :; pour un temps quelconque.
Corollaire II. — Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer en général le mouvement d'un fluide non élastique soUieité par des forces quelconques P, Q, R qui agissent suivant des direc-
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. Ul
tions quelconques, ou bien par des forces n, w, V dirigées suivant les lignes 07, j, z; comme il est aisé de le voir en examinant les valeurs de ces quantités n, w, W (Article I).
Pour mieux connaître les équations dont il s'agit, exprimons par oc, ^, 7 les vitesses de chaque particule du fluide parallèlement aux coordon-
dx fiir fiz
nées X, y, z, c'est-à-dire les valeurs de -tt^ 4t'> -t- • on aura, en divisant par dt,
'^i^w) ^ d(Dn)^''(°^) ^ d(D^)
dj dr dx dx
^(°^) , d,n„''(''4?) , d,DT,
dz dz dx dx
dot dû dy dx dx dz
On voit par ces équations que les quantités oc, ^, y sont nécessairement des fonctions des variables x, j, z qui déterminent la position des particules à chaque instant, et du temps écoulé depuis le commencement du mouvement; or, dans l'instant dt, il est clair que les variables x, v, z deviennent x-hocdt, y-h ^dt, z-^ydt\ donc les variations des quantités a, /3, 7 dans cet instant ne seront pas seulement -^^> rf/ ^^' W^^' mais
dx
dx
xdt
dy
xdl
et telles seront les valeurs de rfa, rf^, dy; donc, si on substitue ces valeurs dans les équations (A), et qu'on suppose pour plus de simplicité les forces II, tsr, ¥ nulles ou telles que
d(Dn) ^ d(Dny) d(Dn) d(Dy) dj^ ~ d* ' Az dx
iz iz il Èx, iy •tr tr *ir ic àr
r-.- ^ tT'^- ' rfv • -iriz ùr
ri i-i . ri i'i
tr Lr Lr' Lr t*' Lr tz
il ix tl i« 'il tr XX àr ix ir
tz ix il ix iv tz tr iz is. IZ
tz Lr tz r-' tz iz Lr
t » iz iy El i'/ tjc tr ti' fx IZ
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tr Lr ^ Lr' ' Lr /v ' Lr iz
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il ^ il — il^'LL
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— ^ Lt^'Lz^ Ai il ^ Il ^ ^ ^7 '^ * ^y
Ktr '.ir ^-^ "'' /;: ^ .iLr A- 'is A- ^ S^^'''
'/r ^ 4x ^ .^v "'^ ./ j ^ Lr .ir ér 'iz Jr dx " '**
tz il 'iz 'i'i it i-}
•i-' 'lr iz Lr -is liy-
'*>immf^ il t^T. fthnl*^ «i»^ i>n ^*»ari^f : «^r b tn>Î!Hefiif* »ie i:t» euaditioa:» fsl
re^^lkmrfit qa«^ «i^^ai itoaditiocM 2 i^mplîr. [«^oeile» pxuroat **expri- (vw^r plu.^ .^im^«^m»^Dt »^ik dUânt que 2cLr ^ ^âh ^-^ds dint «crif ujur
TêifQ^kûrin 1 . ^^voir. «^n •'.h;in^eaQt «i en d^
*ix dt «^7 ^ ^ ^ *
serviront à déterminer les mouvements du fluide dans plusieurs cas particuliers.
Ces cas se réduisent à ceux où Ton suppose que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce qui arrive quand les rapports des vitesses a, /3, y sont indépendants du temps /, c'esl-à-dire quand les quantités ce, jS, y sont simplement des fonctions de x, j, z multipliées par une même fonction de /. Car, soit mis dans les équations générales (h) 6a, Ofij Oy à la place de a, |3, y (ô étant une fonction quelconque de /, et a, j3, y étant maintenant regardées comme des fonctions indéterminées de X, y, z sans /), on trouvera, après avoir divisé par 6^,
0^ lit dx ^ dr 'Hz \dx dyj dy dz dy 2r
Or, comme les termes Ë "^' z; ^tt sont les seuls qui renferment /, il
faut nécessairement qu'ils soient égaux a zéro séparément de tous les autres, pour que les équations soient possibles; on aura donc fx = o, V = o, ce qui satisfait encore au reste de l'une et de l'autre équation, comme on l'a vu plus haut.
Il y a pourtant un cas oii les équations précédentes peuvent être vérifiées sans supposer jj. =^o et v = o; c'est celui où l'on aura
c'est-à-dire où
I dQ
^ = a — 6/ ei B= j~ ?
a et b étant deux constantes quelconques; car alors les termes ^ ^,
V dB ., • 1 * 1 1 . .
g^ ^ se trouveront entièrement indépendants du temps /, ainsi que tous
les autres.
Au reste, en combinant les équations fi. = o, y = o avec réquation (i),
on peut séparer les indéterminées a, jS* 7* et l'on aura
d^oL d^oL d^x __ d^'^dJ^'^'SF-'''
1^'^ dx' 'Jz^" '
d^y d^y d^y __ Ix^'^dF'^'dF^'''
XLin.
Remarque. — Quand on aura trouvé, par le moyen des équations de l'Article précédent, les valeurs générales de a, ]3, y, il faudra de plus déterminer ces valeurs, en sorte que les particules contiguès aux parois du vase dans lequel le fluide se meut puissent couler le long de ces parois; soient x\y\ z leurs coordonnées, et
dz' = p dx' -h q dy'
l'équation qui représente la figure du vase donné, en mettant, au lieu de dx\ dy\ dz\ leurs valeurs a' A, /3' A, 7 A; a, j3', 7' dénotant les valeurs de a, /3, 7 lorsque x^ v, z deviennent x\ y\ z\ on aura l'équation
y=pa'^q?\
(jui devra être vraie indépendamment de /.
Dans le cas où le temps / n'entre point dans le rapport des vitesses a, /3, 7, il est clair qu'il n'entrera pas non plus dans l'équation
mais alors les valeurs de oc, /3, 7 étant beaucoup moins générales, il pourra arriver que cette équation ne se vérifie qu'en supposant que les quantités p, q aient certaines conditions, c'est-à-klire que le vase ait une certaine figure; c'est ce que M. d'Alembert a déjà remarqué dans un excellent Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, imprimé dans le premier volume de ses Opuscules mathématiques. Mais ce savant Géo-
A DIFFERENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. ii5
mëlr« prétend de plus que, lorsque le vase aura une autre figure quelconque, le mouvement du fluide ne pourra plus être soumis au calcul ; c'est de quoi je ne saurais tomber d'accord avec lui; car il me semble que tout ce qu'il faudrait conclure alors, c'est que la supposition particulière de (jL = o et V = o cesserait d'être exacte, et que par conséquent les valeurs de ûc, j3, y dépendraient de la résolution générale des équations (i).
Il est vrai que M. d'Alembert prétend que les équations jj. = o, v î= o sont les seules vraiment exactes pour déterminer les lois du mouvement des fluides; il se fonde sur ce que le rapport des vitesses a, j3, y doit être indépendant du temps / dans les particules qui coulent le long des parois du vase; d'où il infère qu'il doit l'être aussi en général dans toutes les particules du fluide; mais cette conséquence, si j'ose le dire, ne nie parait point assez juste. En effet, on peut très-bien imaginer, ce me semble, des fonctions de x, j, z telles, que la variable / ne disparaisse de l'expression de leur rapport que lorsque x,y, z deviennent x\ y\ z\ et sont liées par l'équation
dz' = p dx* -h q dy' .
En général, il me parait certain qu'en résolvant les équations (Aj, fiy par des méthodes analogues k celles que j'ai expliquées dans les Recherches sur le Soriy imprimées ci-devant, on aura une solution applicable a tous les cas possibles, et par laquelle on pourra déterminer le mouvement des fluides qui se meuvent dans des vases de figure quelconque, et qui ont reçu au commencement des impulsions quelconques.
Il ne pourra y avoir de difliculté que dans les seuls cas où le fluide se divisera en se mouvant et cessera de former une masse continue; mais alors, ayant trouvé par le calcul, ce qui est toujours possible, les endroits où le fluide doit se diviser en plusieurs portions, on considérera ensuite chaque portion à part, et on en déterminera le mouvement en la regardant comme une masse isolée.
Nous avons observé dans l'Article précédent qu'il y a un cas où les équations |x = o, v=o ne sont pas indispensables dans l'hypothèse
que les rapports des vitesses a, /â, 7 soient indépendants dn temps i. >l. d'Aleinïiert a fait aussi cette remarque dans TArticIe X de son Mémoire rite ci-dessus; mais il trouve, par ses formules, que le cas dont il s'agit est celui où
au lieu que, suivant les nôtres, ce cas est celui où
a -ht
Or cette différence vient d'une légère méprise qui s'est glissée dans les calculs de M. d*Alembert, mais qui n'influe d'ailleurs en rien sur le reste de ses ingénieuses recherches.
Pour faire sentir la vérité de ce que nous avançons ici, examinons les équations que M. d'Alembcrt donne dans l'Arlicle I du Mémoire cité pour les fluides pesants qui se meuvent dans un plan. Ces équations sont:
±^- il.
dz ax
ci g— hep — \eq — qJ, d—^qk — SpB— pT) dz ~^ dx *
g est la gravité, 0 est une fonction quelconque de/ comme ci-dessus; 5q^ 6p expriment les vitesses que nous avons nommées a et 7, et les quantités A, B, A', B', T sont telles, que
dlOq) = qTdt'he\dx-h Ohdz, d(ep) = pT dt -^ 6k' dx -h OB' dz.
La première de ces équations résulte de l'incompressibilité des particules du fluide, et revient par conséquent au même que l'équation (1/ ci-dessus en y faisant /S = o. A l'égard de la seconde, l'Auteur la tire de cette considération, que les forces verticales et horizontales, perdues à chaque instant par les particules du fluide, doivent se faire équilibre; ces forces sont, selon lui,
g^ ^ep ^ kOq — qT, — Oqk' — 9/?B' — pT,
ce qui donne, par les lois générales de Téquilibre des fluides» réqualiou dont nous parlons. Or Je dis que» suivant les hypothèses de M. d'Aleuiliert» il faut écrire 5^ au lieu de S dans les expressions des fondes en question. Car il est faoile de voir.que ces forces sont en général
savoir :
cVst-k-dire
mais
dx = adt=:Bq dt, dz ^ydt = ôp dt;
donc ces quantités deviendront
g—gJ'-e'Kq — Q'np, — pT - Q'K'q -6'B'/i.
Ainsi Ton aura à la rigueur Téquation
d{g^B6'p-\e'q-qT) rf(~ O'^V - 0'/; B^ ~/>T) dz ~^ dx ^
de laquelle le temps t ne disparait que quand S^ est proportionnel a T,
c'est-à-dire
Tdi de
d'où l'on tire, comme ci-dessus,
au lieu que, selon l'équation de M. d'Alembert, cela doit arriver lorsque
j = consi.,
ce qui donne, en intégrant, comme cet Auteur Ta trouvé.
Corollaire IH. — Si, au lieu de considérer les vitesses a» j3, 7, on veut considérer les variables x, v, z ejles-méines, on remarquera que ces variables ne peuvent être que des fonctions du temps t et des valeurs qu'elles avaient au commencement du mouvement quand / = o, valeurs qui doivent être entièrement arbitraires, pour que la solution du problème ait toute la généralité possible.
Dénotons ces valeurs par X, Y, Z, c'est-à-dire supposons que les variables X, y, z, qui représentent la position de chaque particule du fluide, après un temps quelconque /, soient au commencement du mouvement X, Y, Z; les différences de x, j, z s'exprimeront en général de la manière suivante :
différ. a: = L rf X + M rf Y H- N rfZ -I- « rf/.
différ.r = P rfX + Q </Y -+- RrfZ -H (3rf/,
différ. z=%d\ + 'ï dY + Mdl + ydt,
de sorte que
dx = »dt, dx=^dt, dz = ydl.
et
da: = LrfX+-MrfY-HNrfZ.
d.r=P</X-f-QrfY + RrfZ
dz = SrfX-f-TrfY-f-UrfZ.
Substituant dans les équations {g)^ (é), a, |3, 7 au lieu de ^» ^^ ^? et supposant d'ailleurs, pour simplifier le calcul, D constant, et
d(Dn) ^d(Dgy) d(Dn) ^ d(Dy) d)^ djT dz dj:
on trouvera, après avoir divisé les deux premières par Ddt, et la troisième par dty
'^ dt
Ax '
^ dt
dz
da d^
dz
A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. Uïl
Or -j-;- exprime, comme on sait, le coeflicienl qiraurail v dans la dil-
férentiation de -^^ supposé que a fut exprimât* par une ronelion de j\
V. z. /: et ainsi des autres expressions semblables. I)one« puiM]ue les quantités a, ]3, 7 sont, par hypothèse, des Tonctious de X« Y, Z. il faudra substituer dans a, ^, 7, à la place de^s variables X, Y, Z, leurs valeurs en •r, V, :;, et différentier ensuite en prenant a\ v, s pour variables, ou bien, <'e qui revient au même, différentier d*abonl les quantités a, /3, 7. en faisant varier X, Y', Z, et substituer ensuite au lieu de rfX, r/Y, r/Z leurs valeurs en da?, dj, dz.
Des expressions de Ax, dj, ds, données ci-dessus, on tin^ par b's règles communes de l'Algèbre
iv (QL -RT)(ix-*-(NT-MU)d) -*-(MH- Ny)«l5
RS-PU)(ix -^(LU-NS)(l.v -i-(NP- \A\)i\z
^7^ (PT-QS)dx -4-(JWS-LT)dr -*-(l-0- MP)dz^ — - ... - -^ . .
K étant mis, pour abréger, au lieu de
LQU - MPL -*- MRS - NQS -*- NPT - LRT.
Or da est la différence de a, qui naît des différences d^, dy, Az, on bien des différences rfX, d\, rfZ; donc on aura en général
on aura de plus, à cause que la différence de x est une différentielle complète.
dx__dL d^dU dx d^
dX" dt' d\ "~ W d'L^ dt''
•Jour
on trouvera de méine
rfS .^ rfT .„ rfO., dy = -^rfX+^rfV+^rfZ;
substituant, au lieu de </X, </Y, dZ, les valeurs trouvées ci-devant, il viendra
(QU-RT)^+(RS-PU)^+(PT-Q8)^ d«= ^ dx
(NT-MU)^+(LU-NS)^ +(MS-LT)^ -H j^ d r
(MR-NQ)^ +(NP- LR)^ +(LQ-MP)^ + ^ d.. ••
(QU-RT)^+(RS-PU)^+{PT-QS)^ d?= j^^ d^
