QU- RT)^ ^(RS - PU)^ +(PT- QS

Si Ton met dans ces deux équations, aussi bien que dans celle qui a

été trouvée précédemment pour L, M, N, P, Q, R, S, T, U, leurs valeurs

dx dx dx dy dy dy dz dz dz ^ • * ^»

rfX' 5T' rfz' rfX' rfY' 17: d\' rfY' rfz' ^" ^"""^ ^^""'^ équations ge-

nérales qui ne renfermeront que les changeantes j?, v» z avec leurs différences relatives à X, Y, Z, t, et par lesquelles on pourra déterminer la position de chaque particule du fluide à chaque instant de son mouvement.

ScoLiE. — Les équations

d(Dn) ^ d(DcT) (i(Dn) d(D¥) d>' d^ dz ~~ dx

que nous avons supposées dans TArticle XLII pour simplifier les formules (A), ont lieu quand toutes les forces U,rs,W sont telles que leurs actions sur les particules du fluide se détruisent mutuellement, c'est-àdire que les particules du fluide animées par ces forces se font équilibre.

En effet, si le fluide est en repos, les vitesses «, |3, y tout nulles, et les équations (A) se réduisent à celles que nous venons de rapporter.

Au reste, pour pouvoir faire usage des équations dont il 8*agit, il n'est pas nécessaire que les quantités D, II, «, T soient uniquement des fonctions de X, y, z comme il semble qu*on pourrait le conclure de la forme même de ces équations.

Supposons, par exemple, que les quantités D, H, tsr, M' renferment outre les variables a?,/, z encore une quatrième variable s it^présenlée par une ligne quelconque, il est clair que, quelles que soient la nature et la position de cette ligne, on pourra toujours exprimer sa différentielle di de cette manière : A dar -h Bdj -h Cd^Tpar conséquent, la valeur complète

de l'expression -~ — -^ qui n'est autre cbose que le coeilicient de d v

dans la différentiation de D n, sera

d(ï)n) . od(Dn).

on trouvera de même

d(Dn) ,,d(Dn) d(DB>) ,d(Dm) d(D^) .d(l)4^) 6z as Qx Qê Qx as

pour les valeurs complètes des expressions -— — U . ^K -— — -^ substituant ces valeurs dans les équations ci-dessus, elles deviendront

d(Dn) od(Dn) d(Daj) .d(Dw)

dr d# dx d#

d(Dn) ^dfDH) d(D*) ^d(D*)

QZ (\ê 6x di

équations dans lesquelles les différeDlielles qui dépendent de cJia4'un«' des variables x, 7, z, f se trouvent séparées.

Je fais cette remarque relativement à un endroit de Teicelient TraUe de la résistance des Fluides (Article 164 j.

Si la densité D est constante, les équations

d(Dn) d(D!g) d(Dll) drpM ) dr ~ dr ' d« "~ dx

kSk APPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE

deviennent, en divisant par D,

dn dw dn dW dr "" dx dz ^ dx

lesquelles renferment les conditions de réquijibre des tluides honiofijènes.

Supposons que le fluide soit composé de diflerentes couches, dont chacune soit d'une densité uniforme, et qu'on en cherche Téquation; soient ^, v, z les coordonnées de chacune de ces couches, on aura par hypothèse

dD. dD^ dD.

-r— dx -h -^ — d r -»- j— d z = o. dx dr * dz

Or les équations

d(Dn) d(Dcy) d(Dnj d(D¥)

dy ~~ dx dz ~ dx

donnent

„dD ,,dll dD ^dcj

d>' d>* dx dx

dz dz dx dx

substituant dans l'équation ci-dessus les valeurs de -i— » -r- tirées de * dy dz

celles-ci, et ordonnant les termes, il viendra

dJ (^" ^ ïï^-^-^ n ^^) ^ ïï Hd;; - 37) ^^'^ ( d^ " dl) ^^J =^'

savoir, en multipliant par ^^

' dD,„ . . „.. , /d© dn\^ (dW dU\^

D do: ' ^ \dx dy ) ' \dx dz J

équation qui exprimera la figure de chaque couche où la densité est

uniforme.

Si l'on a

dn dro dn ^dW djr dx dz dx

A DIFFËRJSNTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. kS6

c'est-à-dire si les forces II, or, ¥ sont par leur nature telles, qu'elles puissent tenir en équilibre une masse fluide homogène, alors Téquation précédente se réduit à

ce qui donne

u dx

II d:r -+- rodr -+- V dz = o,

équation générale des couches de niveau, comme il est aisé de le voir, d'où il s'ensuit que, dans ce cas, chaque couche de niveau sera nécessairement d'une densité uniforme dans toute son étendue.

Tel devrait donc être l'arrangement de différentes parties de la terre si elle avait été primitivement fluide; car il est aisé de prouver par le calcul, et M. Clairaut l'a démontré à l'Article LIV de sa Théorie de la figure de la Terre, que les forces II, w, ¥, résultantes de toutes les attractions que les particules exercent les unes sur les autres, ont d'ellesmêmes les conditions

dll dro dn dy dr dx dz &x

Cependant un grand Géomètre a cru qu'il n'était pas toujours nécessaire que les surfaces des différentes couches fussent de niveau, et il a donné un autre principe pour connaître la figure de ces surfaces (*). Mais les équations que son principe fournit ne sont elles-mêmes dans le fond que celles des couches de niveau. Pour le démontrer d'une manière générale, soit un sphéroïde composé de couches de différentes densités, et dont le rayon soit exprimé généralement par r-haZ, r étant une quantité constante dans la même couche, Z étant une fonction quelconque de r et d'un angle z variable pour tous les points de chaque couche, et a marquant une petite quantité constante. Qu'on réduise l'attraction totale que ce sphéroïde exerce sur chaque particule d'une couche quelconque, à deux forces, l'une verticale, c'est-à-dire perpendi-

(*) rnrez l'Appendice qui est à la fin de V Essai sur la résistance des Fluides cité ci-dessus, et la Iroisième Partie des Recherches sur le système du Monde, p. 226 et suiv.

i56 APPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE

culaire à la couche, et qui pourra sans erreur sensible être supposée égale à la pesanteur qui tend au centre du sphéroïde; Tautre horizontale, savoir dans la direction même de la couche, laquelle est à peu près perpendiculaire au rayon; et soit nommée la première II, et la seconde tr. Par le principe de l'illustre Auteur dont nous venons de parler, il faudra multiplier la force horizontale rs par ^rdz, A marquant la densité du fluide qu'on suppose être une fonction de r seulement, ensuite la différentier en ne faisant varier que r; de même il faudra multiplier la force

verticale II par A idr -♦- « -^ dr\ et différentier ensuite en ne faisant

varier que z; après quoi on égalera les deux diflerentielles, ce qui donnera l'équation

dr dz

savoir

d^ drts . \ ~" / A

-T- rm H j— A = -j A.

dr dr dz

Or, en faisant le calcul, on trouvera toujours que les quantités n, tr, Z seront telles que

dz " dr '

donc il ne restera que l'équation *

qui donne w = o, savoir la force horizontale nulle, et par conséquent chaque couche de niveau.

Corollaire IV. — Je viens maintenant à Téquation (/)! Par la nature des expressions dont cette équation est composée, il est manifeste qu'elle appartient uniquement à la surface postérieure du fluide. Or* si

A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. iS7

Ton suppose qu'il n'y ait point de parois qui soutiennent le fluide, les valeurs de 8'œ, $y, 8'z demeureront absolument arbitraires, et l'équation (/) ne pourra se vérifier qu'en faisant généralement T = o, savoir

la valeur totale de l'intégrale Sdo^D [d-^ -^ n^/n nulle.

Soient rapportées les équations (g) à la surface postérieure du fluide, en y mettant \r, y, 'z au lieu de x, y, z, et supposant l'intégrale

Sd.rD(rf^ -h Wdt\ nulle/ce qui rend U =T, on aura

d(Trf/) dV

donc

CVsl la valeur de la différentielle de T prise dans la surface dont nous parlons; donc, puisque la quantité T y doit être généralement égale à zéro, sa différentielle le sera aussi, et l'on aura par conséquent l'équation

( rf ^ + n dt\ d .r + (rf ^V 'm dt\ d y -h (rf ^' -h '^dt\ d z = o,

qui sera celle queia surface postérieure du fluide doit avoir.

On trouvera une équation semblable pour la surface antérieure du fluide; car nommant a;', y', z' les coordonnées pour cette surface, et U' ce que devient U quand a?, j, z deviennent a:\y\ z\ on aura en général, comme on Ta déjà ren^arqué. Article XL, U' = o; donc aussi

^,,, dl' , dU' , dU' , dx' dr * dz'

^.(Ix^-Ddx </^ -hUrf/ ,

allât) uxljdr jÀ àLdt. w^ijàz «-.^v

<loiir

^[d^ -K *'#//) dz' 1=0.

Donc, en (i^énéraU quand le fluide est libre de tous côtés, sa surface extérieure doit être déterminée par l'équation

[j^^nrf/Jdor-h (rf^'^cjrf/jdv^ (r/^ ^^dt\éz^o.

Supposons maintenant que le fluide soit soutenu par des parois Axes de fl(j:ure quelconque, et dont Téquation soit

Si l'on considère les trois expressions intégrales de l'équation (/j, on voit qu'elles renferment chacune deux intégrations qui se rapportent à j et z dans la première, à a? et z dans la seconde, à a? et j dans la troisième. Or, puisque la relation des trois variables a-, v, z est donnée par l'équation dz = /nda7-hndy, ces différentes intégrales pourront être ramenées toutes a la même forme, c'est-à-dire être rapportées à deux seules changeantes x et j; il n'y aura pour cela qu'à mettre. dans la première, au lieu de dz, sa valeur en x, màx^ et dans la seconde sa valeur en j, này; par là l'équation (/) deviendra celle-ci

S'djtd/(m(îjr -f-/io>'-h 5z)Trf/ = o.

Mais puisque

dz = md:r-+- /id>', on doit avoir aussi

oz^=z màx -\- này\

donc l'équation sera identique et ne fournira aucune condition; ainsi

tout se réduira à faire en sorte que les équations générales (6), (e) satisfassent, après leur intégration, à l'équation donnée

d ^ =: m d jr -»- n d r.

Remarque. — Je ne m'étends pas davantage sur cette matière, pour ne point passer tes bornes que je me suis prescrites dans le présent Mémoire. Au reste, par les formules et les méthodes données dans ce Problème et dans les précédents, on pourrait encore trouver la solution de plusieurs questions qui concernent les fluides : comme le mouvement d'un fluide enfermé dans un vase mobile, les oscillations d'un corps qui flotte sur un fluide, la résistance qu'un fluide fait à un corps qui s'y meut, et d'autres Problèmes de cette espèce.

Problème X. — Trouver les lois du mouvement des fluides élastiques.

Solution. — Par notre principe général, il faut que la quantité S^ €lm j uds soit un maximum ou un minimum; donc, en faisant les mêmes raisonnements que dans le Problème Vl, on trouvera l'équation

Çs»dm(ududt-d^dx-~d'^èr^d^^E\=o.

Or, si aucune force n'agissait entre les corpuscules dm, on aurait, conformément à la formule fX) du même Problème,

S'dm u^udt — S^dm {Udtdx -h mdtèr -i- ^diSz);

mais le fluide étant supposé élastique, on doit regarder chaque particule comme un ressort qui agit de tous côtés sur les particules contiguès. Nommant F la force du ressort et / Tespace par lequel il tend à se

tiW'At^^r. an ir<>nv»»ra, «»n ;tppriqn»nt \n h fttrmiiie C rie ^A^tilî^#^ VIH,

<^r pr^fMr»r f' n/!j(;4fivf*,m^nf a f-^n^^ qnir fHtf fon*^ ^►ll♦^ wi ii èioi^er

^u\f^hin>9f}l tPtU' yifhur fhf}^ Tf^qH^tion ri-iiessos, et mettant au lieu /!/• //w -?>! vwl^Mr fMl;/ /It^/Iî, on aura donr

/ ♦ 1^,/ Yj -h *Fr//) a^ I -h C^Ydfdt = o.

iU\ riiiiMiir rurlion (In rrssori F ronsisU» à augmenter le volume de (■lt}i(|iip iiinlinili* t/m, il ent rinir (|U*il faudra prendre ee volume même imnr \\\ vnjnnr iIp ri^Mpan» /; donr /-= d.rdyds; par conséquent,

\'\\ \\'i\s\^\\s\^{\\\\ loH Hignos tî, d : dono

y»\\f^ S\Kdvdî*Ur i Kdtaaddr-^Fdxdidos^

ydrdvdî { } dA.r ^ ^,l5r^-!^d«îU Vd,r dr as '

1'<Mi^^«li^ qn"o« |>0ïU inotiro sous tvuo fonwo:

toi - Ml.7 ■ - f>a rta

A DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. Mil

dF (j'écris àxj- au lieu de dF, pour dénoter que cette différentielle doit

être prise en ne variant que a?), et à

en complétant l'intégrale, suivant la remarque que nous avons faite à la fin de l'Article I du Mémoire précédent; on changera de même

Sdx^dix en F'd/-Tdy~Sdr^«r^

donc

Sd^':^daz en F iz' -'Fd'z -Sdz^dx; Qz dz

^ F df= S^ djdz {F'dx'-'FS 'x) -+- S» do: d^ (F dj' - ¥ d >•) '^»dxdx(F'dz'-'Fd'z)-^»dydzSdx^dx

-S^dordzSd^^dj-S^dxdrSdj^az

= S'dxdzF'èx''h^dxdzF'dx''^S^dxdxF'dx'

— ^ dx dz 'F d'x - » dx dz'F d'x — S" dx dx'F dz ^

^A A A /dï'i^ dF. dF. \ -S^éxdxdzi^^dx^^iX^^i^):

donc, substituant dans Téquation (nj, au lieu de S' Fi/, l'expression qu'on vient de trouver, on aura enfin

I [S'dxdzF'àx'-^'S'dxdzrèy'^^dxdxF'iz'

-ïy'djdz Fa X — S^dxdj Fay-S»dxdj Fa «]rf/

- /Vdxdjdsf^Drf^-hDnrfz-f-^rfAax

^(Drf^-hD«rA-^^A)ar

équation réduite à l'état qu'exige notre méthode. Supposant donc les coefficients des différences 8x, 5 v, 8z chacun égal à zéro, on aura

ip) D(rf|+mrf/) + ^rf/ = o,

et le reste de l'équation donnera

^ j -S^djdzTô^jr-S'd^dz^Fây — SMard.vTaz^o.

Corollaire I. — Les trois équations [ pj renferment les lois générales du mouvement des fluides élastiques. Pour faire usage de ces équations on supposera, comme dans l'Article XLII,

dx dy dz

'dt~''' dt^^' dt-^'"

on mettra au lieu de doc, rf|3, dy leurs valeurs trouvées dans le même Article, et marquant, pour plus de simplicité, toutes les différences par rf, on trouvera, après avoir divisé par Ddt les trois équations

Ida doc ^doL da „ i d¥

dÇ> dp .d& de> I d¥

dans lesquelles il ne faudra plus que substituer, au lieu de F et de D, leurs valeurs en a;, y, z, /.

Voici comment on trouvera ces valeurs : F exprime la 'force du ressort de chaque particule du fluide, laquelle est ordinairement proportion-

nelle à la densité; supposons donc, pour plus de généralité* que cette force soit comme une fonction quelconque donnée de la densité, en sorte que dY = ErfD; on aura

dx ~~ dx dy ~^ dy dz H^

Ensuite, pour trouver D, on observera que la masse dm de chaque particule du fluide est Ddicdydz, et que cette masse reste toujours la même quelque mouvement que le fluide reçoive; donc sa difl^érentielle, en faisant varier /, doit être nulle, ce qui donne

savoir :

</(Dd

\xAyAz dt

dAx dt

HAydi

dAr ^ dt

Ddxdz

ddx dt

dAy dt

dAz dt

-T-dxdtdz H j—Ddraz h :7r-Ddj;dz H 7— Ddj:d>=o,.

iit '^ di * at ai

^ ' D dx dy dz

donc

ddx .dx ,

-dr = '^di='^''''

ddx dt doc

on trouve de même

dx dx''

d dy ddz

'dt dû ~3r dy

dy dy dz dî'

de plus, -1- dt exprime la variation de D dans l'instant dt; donc, si Ton suppose que D soit représenté par une fonction quelconque de x,y, s, /, on trouvera que la valeur complète de -tt dt sera

dl> i. dD . dD^. dD . dt dx dy^ dz '

k6k APPLICATION DE LA METHODE PRÉCÉDENTE

on mettra ces valeurs dans l'équation ci-dessus, et changeant les lettres d en d et multipliant le tout par D, on aura

^ rfD rfD ^ fda rfp dy\

rfD cTD ^ rfD dB j^(da d^ dy)

dt ^"^ dx ^ ^^' ^ ^ ^

rfD rf(D«) rf(Dp) d(J)y)

dt dx dy dz

équation par laquelle on connaîtra D, et par conséquent F.

Corollaire II. — Soit, suivant Thypothëse ordinaire, F = D, par conséquent E = I , et qu'on mette les équations {r) sous cette forme :

on aura

- I rfD „ I rfD ^ I rfD

Supposons encore

d(x rf(3 dy

clx dr dz

on aura (Article précédent) l'équation

donc, chassant les quantités t— » t-» ^ par le moyen des équations précédentes, divisant par D, et transposant, on aura rfD

dt rflogD - a,, „ ,.

-p = -^ = «L + |3M + yN - L,

ou, pour abréger.

rflogD

' dt '~

Or tes équations ci-dessus se réduisent à

I <^'0gP iw <^'OgJ> K- ^'Og'>.

a^ dy dz

donc, comparant ces équations avec celle cfb'on vient de trouver, on aura

rfL dJ

dM rfï

rfN rfT

dt - dx'

dt ~ dr'

dt ~ dz'

équations où la lettre D ne se trouve plus. On trouvera encore, en combinant ensemble les équations ci-devant,

dLdM rfLrfN dy dx dz dx ^

deux équations qui reviennent au même que les équations {k) de l'Article XLII. On aura donc; cinq équations toutes délivrées de la lettre D, dont trois prises à volonté suffiront pour résoudre le Problème.

Si l'on suppose que le mouvement du fluide soit parvenu à un élal

permanent, alors on aura —j- = o, et par conséquent T = o.

Corollaire III. — On peut encore représenter le mouvement du fluide par les variables X, Y, Z, /, comme dans l'Article XLIV. Pour cela on cherchera d'abord la valeur de D au moyen de Té.quation (s), laquelle, en introduisant les lettres a, ]3, y, devient celle-ci:

dt da dû dv

D ax dr dz

Or, par les formules de l'Article cité, on trouve

dx ds

km APPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE

par conséquent,

savoir :

dp rfK dt 'dt D -^-R =**'

loff IT-f- log K = consi.,

Pour (léteriuiner la constante A, on remarquera qu'au commencement (lu mouvement

dx:=d\, dy = </ Y, r/3 = dZ ; donc