ARTICLE PREMIER

Sur la manière de reconnaître si une équation a des racines

imaginaires.

28. J'ai donné , dans le n° 8 , des formules générales pour déduire d'une équation quelconque une autre équation dont les racines soient les carrés des différences entre les racines de l'équation proposée. Or, si toutes les racines d'une équation sont réelles , il est évident que les carrés de leurs différences seront tous positifs ; par conséquent, l'équation dont ces carrés seront les racines , et que nous appellerons dorénavant, pour abréger, équation des différences, cette équation, dis-je, n'ayant que dès racines positives , aura nécessairement les signes de ses termes alternativement positifs et négatifs; de sorte que, si cette condition n'a pas lieu, ce sera une marque sûre que l'équation primitive a nécessairement des racines imaginaires.

29. De plus, comme les racines imaginaires vont toujours deux à deux, et qu'elles peuvent se mettre sous la forme

a et p étant des quantités réelles (voir la Note IX), il s'ensuit que la différence de deux racines imaginaires correspondantes sera nécessairement de la forme 2 p \/— 1, de sorte que le carré de cette différence

sera —4P 2 » c'est-à-dire une quantité réelle et négative. Donc, si l'équation proposée a des racines imaginaires, il faudra nécessairement que l'équation des différences ait au moins autant de racines réelles négatives qu'il y aura de couples de racines imaginaires dans la proposée.

30. Mais il est démontré (voir la Note VIII) qu'une équation quelconque ne saurait avoir plus de racines positives qu'elle n'a de changements de signes , ni plus de racines négatives qu'elle n'a de successions du même signe. Donc le nombre des racines imaginaires dans une équation quelconque ne pourra jamais être plus grand que le double de celui des successions de signe dans l'équation des différences.

31 . De là et de ce que nous avons dit ci-dessus, il s'ensuit que, si l'équation des différences a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, l'équation primitive aura nécessairement toutes ses racines réelles ; sinon elle aura nécessairement des racines imaginaires. Ainsi l'on pourra toujours juger, par ce moyen, s'il y a ou non des racines imaginaires dans une équation quelconque donnée.