Soient

les racines réelles d'une équation quelconque, et

les racines imaginaires; les carrés des différences de ces racines seront

(«-c+Pt/=7)*, («-c-pV^) 2 »

( y c+ a^r7)«, (y c a /zï)» f

(y d + 8 sf^Ti)\ (y - d - i {=-,)*,

[«-y-Hp-a)^]*, O-y-lP-*)^] 2 .

[«-y + jp + ajv/— ]», [«- y -(p + a),/=ï]\

lesquels seront, par conséquent, les racines de l'équation des différences.

Soit m le degré de l'équation proposée , qui est égal au nombre des racines

a, b f c, ..., a -h Pv^"~ f » a — ? ^— ! » y 4-3^— ! > y — à^— i, ...;

celui de l'équation des différences sera (n° 8)

Soit/? le nombre des racines réelles a, b, c et aq celui des racines imaginaires

a-h(3^/^7, « — (5/^Tï, y + àj—tf y — à*/—*, •••>

en sorte que m =p -+• ay ; il est facile de voir, par la Table précédente, que, parmi les n racines de l'équation des différences, il y en aura nécessairement PW~~ 1 ' de réelles et positives, q de réelles et négatives , et iq (p -+- q — - 1) d'imaginaires.

6h DE LA RÉSOLUTION

33. Qu'on fasse maintenant le produit de toutes ces racines, et il est

visible que le produit des P\P~~ l > racines positives sera toujours posi-

tif; que celui des q racines négatives sera positif ou négatif, suivant que le nombre q sera pair ou impair; qu'enfin le produit des zq{p H- q — i) racines imaginaires sera toujours positif; en effet, ces dernières racines étant deux à deux de la forme

(A + Bt/=TÏ)\ (A-Bv^ï) 2 , leurs produits deux à deux seront de la forme

et par conséquent positifs; donc le produit de toutes ces racines ensemble sera toujours aussi positif.

Donc le produit total sera nécessairement positif ou négatif, suivant que q sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d'une équation est, comme l'on sait, égal au produit de toutes ses racines avec le signe -4- ou — , suivant que le nombre des racines est pair ou impair.

Donc le dernier terme de l'équation des différences , dont le degré est n, sera nécessairement positif si netq sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif si l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.

34. Or, si n et q sont tous deux pairs ou impairs , n — q sera nécessairement pair, et si n et q sont l'un pair et l'autre impair, n — q sera nécessairement impair; mais, à cause de

n= — - etde m=p-\-*q,

on a

n-q = L-^ -' +iq[p + q-i) t

de sorte que n — q sera toujours pair ou impair, suivant que ^-^ — îi le sera.

Donc le dernier terme de l'équation des différences sera nécessairement positif ou négatif, suivant que le nombre P [p ~ l > sera pair ou

impair, c'est-à-dire suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée, prises deux à deux, sera pair ou impair.

35. i° Supposons que ce dernier terme soit positif, il faudra en ce cas que P {p ~~ 1 ' soit pair; donc ou

£=aA et /7 = 4^> ou

£ = îX et p=zft + J i

d'où il s'ensuit que, dans ce cas, le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4 si ce nombre est pair, c'est-à-dire si le degré de l'équation est pair; ou multiple de 4 plus i si le degré de l'équation est impair. Ainsi il sera impossible que l'équation ait a, ou 3, ou 6, ou 7, ... racines réelles. 2 Supposons que le dernier terme de l'équation des différences soit

négatif; il faudra alors que ^^~" '' soit impair; donc ou

£ = aX + i et o = 4^ + 2 f ou

P~~ l =aX + i et = 61 + 3,

d'où il s'ensuit que, dans ce cas, le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4 plus 2 si le degré de l'équation est pair, ou multiple de 4 plus 3 si ce degré est impair; de sorte qu'il sera impossible que l'équation ait en ce cas 1 , ou 4 » ou 5 , ou 8, ou 9, ... racines réelles.

36. Ainsi, par l'inspection seule des signes de l'équation des différences, on sera en état de juger : i° si toutes les racines de l'équation

vin.

proposée sont réelles ou non; 2 si le nombre des racines réelles est un de ceux-ci 1, 4» 5, 8, 9, 12, i3, ..., ou bien s'il est un de ceux-ci 2, 3, 6, 7, 10, 1 1 , . . . , ce qui suffira pour déterminer le nombre des racines réelles et des imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré , et dans toutes les équations où l'on saura d'avance que les racines imaginaires ne sauraient être plus de quatre.

Peut-être qu'en poussant plus loin cette théorie, on pourrait trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degrés quelconques , les méthodes que l'on a proposées jusqu'à présent pour cet objet étant ou insuffisantes, comme celles de Newton, Maclaurin, etc., ou impraticables, comme celles de Stirling et de De Gua , qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.