VIII

laquelle, à cause que i est la valeur approchée de deux racines, aura nécessairement (n° 19, 2 ) deux racines plus grandes que l'unité.

J'essaye d'abord si je peux trouver les valeurs approchées de ces deux racines par la substitution des nombres entiers o , i , 2 , . . . , et , comme il n'y a que le terme ky* de négatif, il suffira (n° 13, i°) de pousser les substitutions jusqu'à ce que l'on ait j^^S c'est-à-dire jusqu'à jk = 4; or, en faisant y==o t 1, 2, 3, 4> j'ai les résultats 1, 1, — 1, 1, i3; d'où je conclus que les racines cherchées sont, l'une entre les nombres 1 et 2, et l'autre entre les nombres 2 et 3, de sorte que les valeurs approchées de y seront 1 et 2.

On fera donc :

i°y=i + -, et l'on aura

équation qui n'aura plus qu'une racine réelle plus grande que l'unité (n° 19, 2 ) ; ainsi l'on supposera successivement 2=1,2,..., jusqu'à ce que Ton trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire; or on trouve que z = 2 donne — 1, et z = 3 donne -h 7; donc 2 sera la valeur entière approchée de z.

On fera donc z = 2 H — ? et, substituant, on aura, en changeant les signes ,

On supposera de même u = 1 , 2 , . . . , et l'on trouvera que la valeur entière approchée de u sera 4-

On fera u=A-i — > et ainsi de suite.

^ iV

2 On fera y = 2 + -> et, substituant dans l'équation précédente eny t on aura, après avoir changé les signes,

cette équation n'aura , comme la précédente en z 9 qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité, de sorte qu'il n'y aura qu'à faire

z = i, 2, . .., ce qui donne les résultats —1,7; d'où Ton conclut que 1 est la valeur entière approchée de z.

On fera donc z = 1 -4- -> et Ton aura, en changeant les signes»

d'où Ton trouvera, de la même manière que ci-dessus, que la valeur entière approchée de u sera 4-

Ainsi on fera u = 4 H — > et ainsi de suite.

Donc les deux racines positives de l'équation proposée seront

d'où Ton tirera, si l'on veut, des fractions convergentes, comme dans l'exemple précédent (n 01 23 et 24).

Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative, on reprendra l'équation

x % — yx — 7 = 0,

dans laquelle on a déjà trouvé que la valeur entière approchée est 3;

ainsi l'on fera x = 3 4- - > ce qui donnera , en changeant les signes ,

y* — *o/ a — qx — 1 = o,

et comme cette équation ne peut avoir qu'une seule racine réelle plus

grande que 1 (n° 19, 2 ), on en trouvera la valeur approchée en

faisant y = i f 2» .... jusqu'à ce que l'on rencontre deux résultats

consécutifs de signe contraire, ce qui arrivera lorsque y = 20, 21; de sorte que la valeur dont il s'agit sera 20.

On fera donc y = 20 h — > etc.

De cette manière , la racine négative de l'équation proposée sera