Cela posé , supposons que Ton ait trouvé, par exemple
JTjH-V == Xy. ,
c'est-à-dire que la racine de la ((/. -f- v) ième transformée soit égale à celle de la transformée {/. ième ; alors on aura aussi
et en général
donc aussi
Ajl4-V-»-l
— ty-M >
Ajn-v+2 — ^(14-2 f
et en général
A(l4-WV-f-CJ = Apn-U l
<le sorte que Y
on
aura
Aji, -+■
A|JL+-
Maintenant, si Ton suppose en général
il est facile de voir que les deux équations (B) du numéro précédent deviendront
XX\ Xi. . ,Xy. X Xy.+\ <£|i-t-2 • • •«Z'il-f-GJ X («Z'ii-M ^"ji-h2» • • Xp,+.v) n = *p «^|M-BT "+" *p— 1 y JT| X2 • • .^"ji X «#|l-f-l «fc"|M-2 • • • «^TfJL-HCT X (Xji.4-4 ^Tjjh-2» • .Xjjl-hv) 11 = LtpX^^rn H - Lip -|«
Or, en faisant dans les mêmes équations p = (/., on a
XX\X<1*. Xy. = Ijjl X|JL-4- «|JL| y
De plus, à cause de
1 T T Xy. — Ajj,+ | H » ^Jl-f-l = /|JH-2 H » • • ' »
il est clair que , si Ton fait
/12 ~ Aji^oAi -h /', H2 = A|i^2Hi f
riz = ^(i-t-s'^ + "i > H3 = X1H-3H2 4- Ht ,
A4 = AJJL4.4 A3 -h II* , H4 = V-»" 1 ^ 3 ~*~ ^ 2 »
on aura en général
( #|M- 1 #14+2 • • • X^jfj = Hff Xy^-a -+- Hff | .
Donc on aura
et , à cause de x^ = a> (hypothèse) ,
2*|M.f ^"pt+2 • •^(L-hV — Hv ^Tjjl H- Hv 1 .
De sorte qu'en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura
(Lji^ji-h ï-pt— 1 ) (Hct«*V+.ct -h Hcj-i ) (Hv^|i-f- Hv-i ) w = Lp JTpL+o -h Lp i . 49. Or les équations (D), étant divisées Tune par l'autre, donnent
(E) Xy L =
d'où l'on tire
Donc, faisant a = ct, on aura
Hct-i jT(i — A CT i
et de là
Hwj *ctHct i — Hbt/Jct|
mais il est facile de voir, par la nature des quantités h, /* 4 , A 2 , . . . , H,, H 2 , H 3 , . . . , que l'on a
H<A — AiH = i, H s Af — A 2 Hi = — i, H3A2 — A 3 H2 = i, ...,
d'où l'on aura en général
AcjHrr-i — HgjAgj-i = db I,
le signe supérieur ayant lieu lorsque a est un nombre pair, et l'inférieur lorsque n est impair.
Donc, faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent, on aura
±(/ji av-h/n-i )(Hv^+H v i) /l = (/p H CT « — /p f H w )x|i+(/ p i Ac— / p A CT ,),
:h(L| 1 .rj J H-Ln i) (Hv2 , |H-Hv-i) /1 = (LpHBj-! — Lp iH CT )j:|| l -i-(Lp i A CT — hph VJ - i ) %
les signes ambigus dépendant du nombre n, comme nous l'avons vu ci-dessus.
Maintenant, si dans l'équation (E) on fait a = v, on aura, à cause de a?^ v = Xp (hypothèse) ,
d'où Ton tire l'équation en x^
(F) Hv** — (Av — H v -O r ïi— Av-i =o,
laquelle donne
//v— Hv-i -4- \/(Av— Hv-ii^-f- dHvAy.!
Soit, pour abréger,
» = t iir J ' = P ' + T7'
en sorte que l'on ait
substituant cette valeur, on aura
± (/(iP H- V-i + 1* yfQ) (HvP ■+• Hv, + Hv v/QJ"
= (/pHB-,-/p,H w )(P + ^Q) + (/p.,A G ,-/ p A B ,),
db (L^P + L,»-, 4- L,. v^Q) (H v P + B,, + H v fâ)*
= (L p H n , - L p , H«) (P -+- v/Q) + (L p , h a - LpA , ) ,
d'où , à cause de l'ambiguïté du radical y'Q, on tirera quatre équations, par lesquelles on pourra déterminer / p , / p 2 , L p , L p ..,.
