Considérons l'équation générale du second degré

E|.r 2 — itx — E — o,

dans laquelle E 9 E, et e sont supposés des nombres entiers, tels que ê 2 -4- EE< > o, pour que les racines soient réelles ; cette équation, étant résolue, donne

e-We 2 -+-EE, * = % '

où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive, et soit >., le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la valeur de x; on fera donc

et, substituant cette valeur dans l'équation proposée, on aura une équation transformée dont l'inconnue sera x K : or, si, après avoir fait la substitution, on multiplie toute l'équation par x\, qu'ensuite on change les signes et qu'on suppose, pour abréger,

et = Xi Ei — e,

E a = E-+-aeXi — E,X 2 ,

on aura la transformée

Eî-r 2 — ii\X\ — E| = o,

laquelle donnera

e < -4-v/€ 2 4-E l E 2 Xk ~ ï? ;

8fc DE LA RÉSOLUTION

on cherchera donc le nombre entier \ 29 qui sera immédiatement plus petit que cette valeur de x K , et l'on fera

X\ = Ào H *

et ainsi de suite.

Maintenant, je remarque que la quantité e a 4- E, E 2 , qui est sous le signe dans l'expression de x n devient, en substituant les valeurs de e, et de E 2 , et ôtant ce qui se détruit, celle-ci e 2 4- EE lf qui est la même que celle qui est sous le signe dans l'expression de x; d'où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de x y x l9 x 29 ....

Donc, si Ton suppose, pour abréger,

et qu'on fasse (le signe < dénote qu'il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre)

A|< rr^— > 2|=A 1 E| — 6,

E 2 = E -hie h — EiAJ, X 2 < £l p ? C2 = AîE2— ei,

E3= Et -+- 261X2 — EîXij, X 3 <C-^-é; > ea^ÀsEs — £ 2 ,

Ej = Ea4- 2 6 2 X 3 — E3X3, X*< -^— ^ > £1 — A4E4 — £3»

on aura

x = — =Ai+ — 1

d'où

# = XiH

Quant au radical \fB 9 il faudra toujours lui donner le même signe qu'on lui a supposé dans la valeur de la racine cherchée x. On peut observer encore que, comme on a trouvé

on aura

£7-hE,E 2 = e 2 -+-EE, = B,

et de même

— — i? » fi * — ~" û 9

il. 2 r«3

Ainsi l'on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu'on a données plus haut, pour avoir les valeurs de E 2 , E 3 , ....

53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de x sera toujours nécessairement périodique.

Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l'équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En efFet, nous avons vu dans le n° 19 qu'on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n'ait qu'une seule racine plus grande que l'unité, après quoi chacune des transformées suivantes n'aura aussi qu'une seule racine plus grande que l'unité; soit donc

au m -+- bu m - { -h cu m ~ 2 -+- . . . -+- k = o

une de ces transformées qui n'ont qu'une seule racine plus grande que l'unité , et soit s la valeur entière approchée de u ; on fera, pour avoir

la transformée suivante, u = s h — ? ce qui, étant substitué, donnera

une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera

(as m -h b$ m ~* -+- cs m " 2 -+■ . . . -t- k) w m ,

et que le dernier sera a. Or, puisque la vraie valeur de u dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci : u = s et u = x> , entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de u (hypothèse), il s'ensuit qu'en faisant ces deux substitutions dans l'équation en u, on aura nécessairement des résultats de signes contraires; car il est facile de concevoir qu'il n'y aura, en ce cas, qu'un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d'une valeur de u à l'autre (n° 5). Mais la supposition de u = <x> donne le résultat au m (tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient a; donc il faudra que la supposition de u = s donne un résultat de signe contraire à a; mais ce résultat est égal à

as m -+- fa m -< -+- cs m ~ 2 -f- ... H- k ;

donc, puisque cette quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l'équation transformée en w y dont le dernier terme est a, il s'ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différents.

Et l'on peut prouver de la même manière que cela aura lieu, à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.

Cela posé, puisque l'équation proposée

E| a: 2 — izx — E = o

donne les transformées (n° 52)

Ea^î — iz\X\ — E{ =o,

il s'ensuit de ce que nous venons de démontrer qu'on parviendra

nécessairement à des transformées comme

Ey+.| Xy 1 £y Xy Ey = O,

Ey+2-Zy-M — ^€y+-l Xy+t — Ey^-i = O f

dont les premiers et derniers termes seront de signes différents ; de sorte que les nombres

Ey, Ey-H> Ey+2> "•'

seront tous de même signe. Or on a (n° 52)

B = £y •+• EyEy-H = £y^| 4- Ey+i Ey+2 = . . . ;

donc, puisque E yt E Y+ ,, E Y+ . 2 , ... sont de même signe, les produits EyEy,,, E yM Ey^, ... seront nécessairement positifs; d'où il s'ensuit :

i° Que l'on aura

c'est-à-dire (en faisant abstraction du signe)

et ainsi de suite à l'infini;

2° Que l'on aura aussi, à cause que les nombres E, E,, E 2 , ... sont tous entiers,

Ey<B, Ey+|<B, Ey+2<B,

et ainsi de suite. Donc, comme B est donné, il est clair qu'il n'y aura qu'un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que B et que yB; de sorte que les nombres

Ey, Ey-H» Ey+2> • • •» £y» £y-M> Ey*- 2 » * * *

ne pourront avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes, et qu'ainsi dans l'une et l'autre de ces séries, si on les pousse à l'infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité

de fois; el, par la même raison, il faudra aussi qu'une même combinaison de termes correspondants dans les deux séries revienne une infinité de fois; d'où il s'ensuit qu'on aura nécessairement, par

exemple,

Ey+$+v = Ey-h$ et ey+s+v = £/-f-3,

ou bien, faisant y + 3 = p,

■kfi+v = JBi|ji et £|JL+-V == 6jiî

donc, à cause de

on aura aussi

mais on a

B — £jx"+* E|iEpn-< — e^+v-h E|t-*-v Eja-kv-m ,

Ejh-v-ki — &\l+\ ;

X V- — — û el *|H-v — — r; ;

donc a?n j. v = a?^ ; donc la fraction continue sera nécessairement périodique (n°48).

54. En effet, on voit, par les formules du n° 52, que si l'on a

on aura

et ainsi de suite; de sorte qu'en général les termes des trois séries

qui auront pour exposant [/. •+- /iv -h tr, seront les mêmes que les termes précédents dont les exposants seront \l -\- u, en prenant pour n un nombre quelconque entier positif.

Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes E^, e^, \+ K9 et leurs périodes seront de v termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l'infini.

55. Nous venons de démontrer qu'en continuant la série des nombres E, E,, E,, ... on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu'ensuite la série doit nécessairement devenir périodique ; or je dis que, dès que, dans la même série, on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme E Y , E Y+ .,, qui soient de même signe, on sera assuré que l'un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.

En effet, comme E Y et E Y <, sont de même signe, il est clair que la transformée

. Ey+i *y — ^Y^Y — E Y = O

aura nécessairement une racine positive et l'autre négative, de sorte qu'elle n'en pourra avoir qu'une seule qui soit plus grande que l'unité; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différents (n° 53) ; par conséquent, tous les nombres E Y , E YM , E Y4 2 , ... seront de même signe, de sorte que chacun d'eux sera moindre que B, et que chacun des nombres c Y , e Y4 ,, e Y4 2 , ... sera moindre que yB (numéro cité).