Soit l'équation générale du degré m

x m — \x m -<-ï-Bx m 2 — ...— o

dont on cherche une racine. La méthode dont il s'agit demande qu'on connaisse d'avance une valeur approchée de la racine cherchée; en désignant cette valeur par a, on fera x = a-+- p 9 et l'on aura par cette substitution une équation transformée en p qui, à commencer par les derniers termes, sera de la forme

où les quantités X, Y, Z, ... seront des fonctions de a, qu'on trouvera tout de suite par les formules du n° 8, en changeant x en a; ainsi l'on aura

Y =ma m - t — (m — i) A/î w| - 2 -h (m — 2)Ba m3 — .. .,

Comme/? doit être, par l'hypothèse, une quantité assez petite, étant la différence entre la vraie racine et la valeur supposée de cette racine,

les puissances/? 2 ,/? 3 , ... seront de fort petites quantités auprès de p\ par conséquent, les termes affectés de ces puissances seront eux-mêmes nécessairement très-petits à l'égard des premiers termes X -h Y/i, puisque les coefficients Z, V, ... ne peuvent jamais devenir fort grands, étant des fonctions sans dénominateur; ainsi, en réduisant toute l'équation à ces deux termes, on en tirera une valeur approchée

de p qui sera = — =• Appelons b cette valeur approchée de/?, on pourra

faire par la même raison, dans l'équation en /?, la substitution de b -+- q à la place de /?, et négliger ensuite dans la transformée en q les termes qui contiendront le carré et les puissances plus hautes de q;

cette transformée, étant ainsi réduite aux deux premiers termes de la

(X) forme (X) -+- (Y) q, donnera sur-le-champ q = — Tyr' Cette quantité

étant nommée c, on substituera c -+- r à la place de q dans la dernière transformée, et Ton en aura une nouvelle en r, d'où l'on tirera de même la valeur de r, et ainsi de suite.

De cette manière, on aura les approximations a, a-\-b 9 a + b-+-c, ... vers la vraie valeur de la racine cherchée.

2. Voilà la méthode telle que Newton l'a donnée dans la Méthode des fluxions ; mais il est bon de remarquer qu'on peut se dispenser de faire continuellement de nouvelles transformées, car, puisque la transformée en p est le résultat de la substitution de a + p au lieu de a? dans l'équation en x 9 et que la transformée en q est le résultat de la substitution de b -+- q au lieu de p dans la transformée en />, il s'ensuit que cette transformée en q sera le résultat de la substitution immédiate de a -h b + q à la place de x dans la même équation en x; par conséquent, elle ne sera autre chose que la première transformée en /?, en y changeant/? en q et a en a -+- b; d'où il s'ensuit qu'ayant trouvé l'expression générale de /? en a, on aura celle de q en y substituant a -f- b au lieu de a; et par la même raison on aura la valeur de r en substituant a -t- b -t- c au lieu de a, et ainsi de suite.

Donc, en général, si dans l'expression de p en a on substitue pour a

un terme quelconque de la suite convergente vers la racine cherchée, on aura la quantité qu'il faudra ajouter à ce terme pour avoir le terme suivant.

La méthode qui résulte de cette considération est, comme l'on voit, plus simple que celle de Newton ; c'est celle que Raphson a donnée dans l'Ouvrage intitulé Analysis œquationwn universalisa imprimé a Londres en 1690 et réimprimé en 1697. Comme la méthode de Newton avait déjà paru dans l'édition anglaise de Y Algèbre de Wallis en i685, et qu'elle a été ensuite expliquée en détail dans l'édition latine de 1793, on peut être surpris que Raphson n'en ait pas fait mention dans son Ouvrage, ce qui porterait à croire qu'il la regardait comme entièrement différente de la sienne; c'est pourquoi j'ai cru qu'il n'était pas inutile de faire remarquer que ces deux méthodes ne sont au fond que la même présentée différemment.

3. Maintenant il est clair que la bonté de la méthode dont il s'agit dépend de cette condition que, si a est une valeur approchée d'une des racines de l'équation proposée, a h-/? sera une valeur plus approchée de la même racine; c'est donc ce qu'il faut examiner.

Soient a, (3, y, . . . les m racines de l'équation

x m — kx m ~ { -h Bx m ~ 2 — . . . = o;

cette équation, comme on l'a vu dans la Note II, peut toujours se mettre sous la forme

Mettons a -+-/> à la place de x, et développons les termes suivant les puissances de p; on trouvera, pour les deux premiers termes X h- Y/?, ces valeurs de X et Y

Y =(a — (3)(fl — y) ... -h (a — a) (a — y) ... -h [a — a) [a — (3). ..-*-.. .,

d'où l'on tire

et par conséquent

a— oc a — p a — y a — a (3 — a y— a

Supposons que a soit la racine que l'on cherche et que a soit une valeur approchée en plus ou en moins, a — a sera le défaut ou l'excès de la valeur a sur la véritable a, et a — a —p sera le défaut ou l'excès de la valeur corrigée a -hp; et il faudra, pour la bonté de la méthode, que la quantité ce — a —p soit toujours plus petite que la quantité a — a, abstraction faite des signes de ces quantités, et, par conséquent,

que la quantité — - — — — soit toujours plus grande que __ % abstraction faite des signes.