Faisons, pour abréger

on aura, par la formule trouvée ci-dessus, pour la valeur dep,

donc

D'où je conclus que, si la valeur de R est du même signe que celle de a — a, la valeur de a — a—p sera encore du même signe, et que la condition dont il s'agit aura nécessairement lieu.

Mais, si les deux quantités a — a et R sont de signes contraires, alors, pour que la condition ait lieu, abstraction faite des signes, il faudra que Ton ait

or, de l'équation précédente on tire

[a-a—pY~~ [* — «)* (a — a)»R (a — a) 4 R a '

donc il faudra que

soit une quantité positive et, par conséquent, que Ton ait la condition

2(«— fl)R+ i>o.

Comme la valeur de R dépend des autres racines (3, y, ... qui sont inconnues, il est difficile, peut-être même impossible, de trouver a priori un caractère pour juger si la condition dont il s'agit est remplie ou non.

Il est aisé d'ailleurs de former a posteriori des équations où cette condition n'aura point lieu, en prenant les racines p, y, ... de manière que quelques-unes des différences p — a, y — #> • • • soient fort petites et de signes différents; et, si (3 et y, par exemple, sont imaginaires et de la forme CT-hpV— i et ct — p \/ — i , il n'y aura qu'à prendre xs peu différent de a et p fort petit. Alors la valeur corrigée a-\-p, au lieu d'être plus près de la vraie valeur de la racine a que la valeur de a, s'en éloignera au contraire davantage.

5. Il n'y a donc que le premier cas où l'on puisse établir un caractère certain pour le succès de la méthode; car il est visible que, si la quantité a est à la fois plus petite que chacune des racines a, (î, y, ... de l'équation proposée ou plus grande que chacune de ces racines, en regardant, comme on le doit, les quantités négatives comme plus petites que les positives et les plus grandes négatives comme plus petites que les moins grandes, alors la quantité R sera nécessairement de même signe que la quantité a — a; et si, parmi ces racines, il y en a d'imaginaires de la forme o-t-py — j, o — p y — i > il en résultera

dans R les termes

s(sy — a) (Gj-a)*-hp 2 '

quantité qui sera aussi de même signe que a — a, si a est en même temps plus petit ou plus grand que xs.

D'où l'on peut conclure, en général, que l'usage de la méthode dont il s'agit n'est sûr que lorsque la valeur approchée a est à la fois ou plus grande ou plus petite que chacune des racines réelles de l'équation et que chacune des parties réelles des racines imaginaires, et que, par conséquent, cette méthode ne peut être employée sans scrupule que pour trouver la plus grande ou la plus petite racine d'une équation qui n'a que des racines réelles, ou qui en a d'imaginaires, mais dont les parties réelles sont moindres que la plus grande racine réelle ou plus grandes que la plus petite de ces racines.

Pour que les valeurs corrigées successivement approchent toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine, il faudra prendre pour première valeur approchée une quantité plus grande que la plus grande des racines si c'est celle-ci qu'on cherche, ou plus petite que la plus petite racine si l'on cherche la plus petite; alors toutes les valeurs corrigées successivement seront aussi plus grandes que la plus grande ou plus petites que la plus petite des racines, et la condition nécessaire pour la convergence aura constamment lieu pour toutes ces valeurs, puisque R et a — a seront toujours de même signe, en prenant pour a chacune de ces mêmes valeurs.

6. Lorsque toutes les racines de l'équation sont réelles, il est facile de reconnaître si la première valeur approchée a est plus grande ou plus petite que chacune des racines; car, en mettant l'équation sous la

forme

[x ■— oc) [x — (3) [x — y) . . . =o,

et substituant a -hp pour ar, elle deviendra

où a — a, a — p, a — y, ... seront, dans le premier cas, des quantités positives, et, dans le second, toutes négatives; donc, dans le premier cas, on aura une transformée en p dont tous les termes seront positifs, et, dans le second cas, cette transformée aura ses termes alternativement positifs et négatifs.

Réciproquement, si les termes de la transformée en p sont tous positifs, il est évident qu'il n'y aura alors aucune valeur positive dep qui puisse satisfaire à l'équation; par conséquent, les valeurs réelles dep seront nécessairement négatives; donc, les racines de l'équation en p étant a — a, (5 — a, y — a, . . . , il faudra que ces quantités soient toutes négatives ou imaginaires; donc la quantité a sera nécessairement plus grande que chacune des racines réelles de l'équation, quand même elle aurait des racines imaginaires.

On prouvera de la même manière que, si les termes de la transformée en/? sont alternativement positifs et négatifs, la quantité a sera nécessairement plus petite que chacune des racines réelles, soit qu'il y ait des imaginaires ou non.

7. Mais, dans le cas où l'équation a des racines imaginaires, on ne pourra pas s'assurer de la même manière que la quantité a sera en même temps plus grande ou plus petite que chacune des parties réelles de ces racines; je ne vois pas même qu'on puisse s'en assurer autrement que par le moyen de l'équation dont ces parties réelles seraient racines. Or, si

P = 5j + p^/-i et ymcy — p^— i,

on a

ainsi l'équation dont xs sera une des racines ne peut être que celle qui aura pour racines les demi-sommes des racines de la proposée, prises

deux à deux, et qui, par la théorie des combinaisons, montera au de-

Ayant formé cette équation par les formules que nous avons indiquées plus haut (Note III), on y substituera a -+- z à la place de l'inconnue; et, si la transformée a tous ses termes positifs ou alternativement positifs et négatifs, on sera assuré que le nombre a sera plus grand ou plus petit que chacune des valeurs de ct, et par conséquent aussi que chacune des parties réelles des racines imaginaires.