Newton n'a appliqué sa méthode qu'à l'équation

x* — ix — 5 = 0,

que nous avons résolue (n°25). Il suppose d'abord, dans le Chapitre IV, a = 2, et, substituant a + p à la place de a?, il a la transformée

o = — i -f- iop-\-6p 2 -hp* 9

d'où il tire p = — = o, i ; il fait ensuite p = o, i -+- q , il a la nouvelle transformée

o = 0,061 -t- ii, i3q -t-6,3j 2 4- q* 9

d'où il tire g = - — l - = — o , oo5A ... ; il continue en faisant

q = — o,oo54 4- r, il vient la transformée

d'où il déduit r = ^— ^ — ~-^ — = — o , ooooA853 . . . , et ainsi de

suite.

Ainsi les valeurs convergentes de ce sont

dont la dernière est exacte à la dernière décimale près (numéro cité). Dans ce cas, la série est, comme l'on voit, très-convergente. On peut, en effet, s'assurer a priori, par ce que nous avons démontré, que cela doit être ainsi.

Car nous avons vu (numéro cité) que les deux autres racines de cette

équation sont imaginaires, et qu'en les représentant par orhp^— i on a à très-peu près

9 ~4^7~37 el ro -"8p*-H4""""47rrr~""44î ;

donc» puisque, outre la racine a que Ton cherche, il n'y a que ces deux racines imaginaires, on aura dans ce cas

__ ^(gt— a)

(gj — a) 2 -Hp 2

Or, a étant = 2, on a

mais, a étant à très-peu près 2,0945. . . , on a

d'où Ton voit d'abord que R et ce — a sont de signes différents, et qu'ainsi, pour que la première correction de a soit juste, il faut que la condition

ait lieu. Or on trouve

R = — 0,6575 et de là i[ol — a)R = — o,ia44>

de sorte que la condition dont il s'agit est amplement satisfaite. Ainsi on est assuré que la première valeur corrigée 2, 1 approchera davantage de la vraie valeur de la racine. En prenant cette valeur pour a, on a

ol — a =■ — o,oo55 ... ;

donc, a — a et R étant maintenant de même signe, les corrections suivantes approcheront toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine cherchée.