Reprenons l'équation

x m — A*"»- 1 +Bx m -*— Cx m -* + . .. = o,

dont on a désigné les racines par a, p, y, ... ; on aura (Note II), par la nature de ces racines, l'équation identique

x m Ajw-i -+- Bx m ~* — Cx m ~* -f- . . = ( x — a) (x — j3) (* — y) [x — 3) . . . ,

laquelle doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de x.

L'identité de l'équation subsistera donc encore en mettant x -h i au lieu de x, quelles que soient les valeurs de x et i ; donc aussi, si après la substitution on développe suivant les puissances de * f les termes affectés de i 2 , ... fourniront d'autres équations identiques; ce seront les équations que nous avons appelées dérivées dans la Théorie des fonctions.

La première de ces équations dérivées sera

mx m " 1 — [m — i)ÀJ m - 2 + [m — i) Bx™* 3 — . . .

= (a: — fi)(x — y)...-f-(.r — a) [x — y). . .-h[x — - a)(x — (3)...-f-....

Divisons cette équation par l'équation identique ci-dessus; on aura

mx™-* — [m — i) \x m - 2 -h{m — i)Bx m -* — ... i i i

x m — Ai'"-' -+- Bx m ~ 2 — Cx'»-* -h . . . ~~ x — ai* x — ^ x — y~*~" ' '

équation qui doit être aussi identique, quelle que soit la valeur de x. Donc elle le sera encore si l'on en développe les deux membres en séries qui procèdent suivant les puissances positives ou négatives de x.

2. Développons d'abord suivant les puissances négatives; la fraction qui forme le premier membre deviendra

et, pour trouver les valeurs des coefficients P, Q, R, . . . , il n'y a qu'à

multiplier par le dénominateur x m — Ax m ~ l -+• . . . , et comparer ensuite

les termes avec ceux du numérateur maf n ~ K — [m — i) kcù

on aura ainsi

Q--AP— (m -i)A f

R=AQ— BP -*-(/» — *)B,

S = AR - BQ +- CP - ( m - 3 ) C,

où Ton voit que la suite des quantités P, Q, R, . . . devient après le m umc t erme une su }(e récurrente, dont l'échelle de relation est A,

D, vi, \j , • • • • •

Développant de même les fractions qui forment le second membre, il deviendra

Maintenant, la comparaison des termes semblables des deux membres

de Téquation donne

R=ra2 + p2 4 y2^... i

S = a 3 +(3 3 -hy 3 -+-

et, en général, un terme quelconque, dont le quantième sera p à compter de Q, sera égal à

aV- +- (31* -4- yV- -h

C'est l'expression du terme général de la série.