APPLICATION DES METHODES PRECEDENTES A QUELQUES EXEMPLES
25. Je prendrai pour premier exemple l'équation que Newton a résolue par sa méthode, savoir,
x* — ix — 5 = o.
Je commence par chercher, par les formules du n° 8, l'équation en y qui résulte de cette équation ; je fais donc
m = 3, A = o, B = — iy C = 5;
j'aurai
Ai=o, A 2 = 4> Ai = i5, A 4 =8, A 3 = 5o, A« = 9i;
donc
a,=ia, a 2 = ^, a 3 = — «497»
et de là
a = ii, 6 = 36, c=— 643;
de sorte que l'équation cherchée sera
u 3 — iiv* + 36l» 4-643 = o.
Comme cette équation n'a pas les signes alternativement positifs et négatifs, j'en conclus sur-le-champ que l'équation proposée a nécessairement deux racines imaginaires, et par conséquent une seule réelle (n° 16).
Ainsi les nombres à substituer à la place de x seront les nombres naturels o, 1, 2, 3, ... (n° 6).
Je suppose d'abord x positif, et je cherche la limite des valeurs de x par les méthodes du n° 12; je trouve ^2 -h y 5 < 3; ainsi 3 sera la limite cherchée en nombres entiers , de sorte qu'il suffira de faire successivement x = 0, 1, a, 3, ce qui donnera ces résultats : — 5,
— 6 f — 1 , + 16; d'où l'on voit que la racine réelle de l'équation proposée sera entre les nombres 2 et 3 , et qu'ainsi 2 sera la valeur entière la plus approchée de cette racine (n° 2).
Je fais maintenant, suivant la méthode du Chapitre III, x= 2 -+- -;
j'ai, en substituant, et ordonnant les termes par rapport à y, l'équation
dans laquelle j'ai changé les signes pour rendre le premier terme positif.
Cette équation aura donc nécessairement une seule racine plus grande que l'unité (n°19), de sorte que, pour en trouver la valeur
approchée, il n'y aura qu'à substituer les nombres o, 1, 2, 3
jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire.
Pour ne pas faire beaucoup de substitutions inutiles, je remarque qu'en faisant y = o j'ai un résultat négatif, et qu'en faisant y = 10 le résultat est encore négatif; je commence donc par le nombre 10, et je fais successivement y= 10, 11, Je trouve d'abord les résultats
— 61 , -+- 54 , ... ; d'où je conclus que la valeur approchée de y est 10; donc q = 10.
Je fais donc y= 104--; j'aurai l'équation
et supposant successivement 5 — 1,2, . . . , j'aurai les résultats — 54, -I-71, ... ; donc r = 1 .
Je fais encore z = 1 -\ — : j'aurai
54m 3 ■+■ 25 1* 2 — 8qu — 61 = o,
et , supposant u = i , a , . . . , j'aurai les résultats —71,-1- 293 , . . . ; donc s = 1 , et ainsi de suite.
En continuant de cette manière, on trouvera les nombres
de sorte que la racine cherchée sera exprimée par cette fraction continue
d'où l'on tirera les fractions (n° 23)
lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x.
La dernière fraction ' 4 ' est plus grande que la racine cherchée ; mais l'erreur sera moindre que - , ~. ït (n° 23, 2 ), c'est-à-dire moindre que 0,000 000 016 3; donc, si l'on réduit la fraction ~l— en fraction
décimale, elle sera exacte jusqu'à la septième décimale; or, en faisant la division , on trouve 2 , 094 55 r 486 5 ... ; ainsi la racine cherchée sera entre les nombres 2, 094 55 1 49 et 2,094 55i 47.
Newton a trouvé par sa méthode la fraction 2,094 55 147 {voir s* Méthode des suites infinies), d'où l'on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact; mais on aurait tort de se promettre toujours une pareille exactitude.
26. Quant aux deux autres racines de la même équation, nous avons déjà vu qu'elles doivent être imaginaires; néanmoins, si l'on voulait en trouver la valeur, on le pourrait par la méthode du n" 17.
Pour cela, on reprendra l'équation en u trouvée ci-dessus, et, en y
5fc DE LA RÉSOLUTION
changeant u en - ^, et changeant ensuite tous les signes , on aura
iv 3 -h iiw 2 -+- 36w — 643 = o,
et il ne s'agira plus que de chercher une racine réelle et positive de cette équation. Or, puisqu'elle a son dernier terme négatif, elle aura nécessairement une telle racine , dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée par la substitution successive des nombres naturels o, 1, 2, 3, ... (n° 3). En effet, en faisant w= 5, on aura le résultat —38, et en faisant w = 6,onaura 4-221; ainsi la valeur entière la plus approchée de la racine positive de cette équation sera 5.
On fera donc maintenant «> = 5h- -» et, en substituant, on aura,
après avoir changé les signes,
Faisant successivement u = o, 1, 2, .. . , on trouvera, pour u = 6 et u = 7, les résultats —271, 4-1 525; donc 6 sera la valeur entière approchée de u.
On fera donc u = 6 h — » et l'on aura, en substituant et changeant les signes ,
En faisant successivement x = o, 1 , 2 , . . . , on trouvera des résultats négatifs jusqu'à la supposition de x = 6, qui donne 8837 pour résultat, de sorte que 5 sera la valeur entière approchée de x.
On fera donc x = 5 -h -; substituant et réduisant, on aura
io53 jr* — 68iiy 2 — 2760^ — 271 =0,
et l'on trouvera G pour la valeur approchée de j, et ainsi de suite.
De cette manière, on approchera de plus en plus de la valeur de w, laquelle se trouvera exprimée par la fraction continue
d'où l'on tire ces fractions particulières
5 3i 160 qqi
- j -77-9 -rr— » — — 1 i b ii 191
Connaissant ainsi w, on aura (n° 17) p = — ; ainsi on connaîtra p.
On substituera maintenant a -f- p y '— 1 à la place de x dans l'équation proposée, et, faisant deux équations séparées des termes tout
réels et de ceux qui sont affectés de y/^- 1 , on aura les deux équations
On cherchera le plus grand commun diviseur de ces deux équations , et
l'on poussera seulement la division jusqu'à ce que l'on arrive à un reste
où a ne se trouve qu'à la première puissance (numéro cité); ce reste
sera
