Supposons

Z = uv- — AkP- 1 -+- Buy--* — Cid 1 - 3 -+-. . .± V,

en sorte que Z = o soit l'équation qui détermine la valeur de u; cette quantité Z, étant regardée comme une fonction de a, donnera les équations dérivées

Mais, pour pouvoir distinguer dans ces fonctions ce qui est du en particulier aux variations des quantités a, b, c 9 . .., h et w, nous représenterons en général, à l'imitation de ce qu'on pratique dans le

calcul qu'on appelle aux différences partielles, par (-?)> (â 7 '' ("7r " les coefficients des fonctions dérivées a\ b\ c\ ... dans l'expression de Z', par (-^)» (-j?)' (frï)' '" ' es coefficients des quantités a' 2 ,

a'b\ b' 2 , ... dans l'expression générale de Z", et ainsi de suite, et nous appellerons de même ces fonctions /onctions dérivées partielles. Lorsque a est la variable principale dont les autres sont ou peuvent être censées fonctions, on aura a' = i ; mais nous retiendrons la lettre a' sous les lettres Z', Z", . . . pour représenter en général les coefficients des termes de Z', Z", ... qui contiendraient cette même lettre, si a était une fonction quelconque d'une autre variable principale, et pour dénoter par conséquent ce qui est dû en particulier à la variation de a.

Cette notation est plus nette et plus expressive que celle que j'ai employée dans la Théorie des fonctions, en plaçant les accents différemment, suivant les différentes variables auxquelles ils se rapportent. En la substituant à celle-ci, l'algorithme des fonctions dérivées conservera tous les avantages du Calcul différentiel, et aura de plus celui de débarrasser les formules de cette multitude de d qui les allongent et les défigurent même en quelque façon, et qui rappellent continuellement à l'esprit l'idée fausse des infiniment petits.

10. On aura ainsi, en regardant toutes les quantités a, b, c, ...,

h et u comme les fonctions quelconques d'une variable primitive,

et, prenant de nouveau les fonctions dérivées,

et ainsi de suite.

Donc, faisant

, u ,, m — i .- mfw — i^ . , "* — ij a =i, a =o, ..., o = a f o= — i — - — ? u = o, c = u, ...,

comme nous l'avons trouvé ci-dessus, on aura les équations Z'=o, Z" = o, . . . , savoir

/Z*\ /Z"\ro — i (V\(m — i \*

et ainsi de suite, dans lesquelles les fonctions dérivées partielles

seront des fonctions connues de a, 6, c, ... , h.

La première équation donnera donc la valeur de /, la seconde donnera celle de s, etc., en fonctions rationnelles de a, b % c, . . ., m, à moins

que la fonction partielle ( —) ne devienne nulle, auquel cas la première

équation ne contiendra plus /, ni la seconde s, etc. Dans ce cas donc, il faudra tirer la valeur de / de la seconde équation, dans laquelle / monte au second degré, et les équations suivantes donneront alors les valeurs de s, r, . . . par des fonctions rationnelles. Si la fonction dérivée \-tA était aussi nulle, l'équation en t ne serait plus que du premier degré, et, si la somme des fonctions qui multiplient / était nulle en même temps, la quantité / disparaîtrait de la seconde équation et ne pourrait être donnée que par la troisième, où elle monterait au troisième degré, et ainsi de suite.

Or, la fonction partielle ( — ] est égale à

put-* — [{JL — i) AkI*- 2 -h (u — i) Bu!*- 3 — . . . ,

et Ton voit que l'équation

renferme les conditions de l'égalité des racines de l'équation

D'où il s'ensuit que, si cette équation a des racines égales, et qu'on emploie pour la valeur de u une des racines égales, en sorte que la

fonction ( —j devienne nulle en même temps que Z, le coefficient t

dépendra alors d'une équation particulière du second degré, et, par conséquent, tous les autres coefficients du polynôme diviseur dépendront à la fois de la résolution des deux équations en u et en /. Nous en avons donné ci-dessus (Note précédente, n° 13) la raison métaphysique tirée de l'égalité des racines; mais on en a ici une démonstration analytique rigoureuse.

11. Une conséquence essentielle qui résulte des formules précédentes, c'est que, tant que la fonction ( — j ne sera pas nulle, tous les

coefficients t, s, r, ... seront donnés en fonctions rationnelles du coefficient u, et que, par conséquent, cela aura lieu nécessairement lorsque l'équation en u n'aura point de racines égales, ou du moins lorsqu'on n'emploiera pour la valeur de u que des racines inégales.

Or, j'observe qu'on peut toujours faire en sorte que l'équation en u n'ait point de racines égales, à moins que le polynôme donné n'ait lui-même des facteurs égaux; mais, comme on peut éliminer ces facteurs d'avance, on pourra toujours supposer que tous les facteurs de ces polynômes soient inégaux. Cela supposé, si l'on substitue dans ce polynôme x — \ à la place de a:, ce qui changera les coefficients a,

h, c, ... en

a -+- ml,