f- (m — ijflln - 'X

les facteurs du nouveau polynôme seront

c'est-à-dire que les quantités a, (3, y, . . . deviendront

a-4-X, (3-hX, y-4-X,

Donc les racines de l'équation en u seront tous les produits possibles de n quantités prises parmi les m quantités a-f-X, p H- X , Y H- X , . . . , et il est clair que deux de ces racines ne sauraient devenir égales, à moins qu'il n'y ait deux produits égaux de deux ou de plusieurs dimensions, formés de ces différentes quantités. Or il est visible que, tant que les quantités a, p, y, ... seront inégales, on pourra toujours prendre > de manière qu'aucune de ces égalités n'ait lieu; car, en considérant, par exemple, les deux produits

(* + X}(jÎ4-Jl) et (y-hX)(3-+-X),

qui se réduisent à

i 2 + (a + p)l+a? el Ï* ■+- (y -\- $)ï + y8 ,

on voit qu'il n'y a qu'une valeur de X qui puisse les rendre égaux, et que par conséquent il y en aura une infinité qui les rendront inégaux, à moins que l'on n'ait

a -+■ (3 = y -h S et <z$ = yd f

ce qui emporterait l'égalité de a et (î avec y et fc.

Il en sera de même des produits d'un plus grand nombre de facteurs, d'où l'on conclura, en général, qu'on peut toujours transformer ainsi le polynôme primitif, en augmentant l'indéterminée x d'une quantité quelconque, de manière que l'équation résultante en u n'ait point de racines égales.

12. Nous venons de donner non-seulement la manière, mais les formules mêmes par lesquelles on pourra toujours trouver un diviseur d'un degré n d'un polynôme quelconque du degré m, et nous venons de démontrer par ces formules que ce diviseur ne dépendra que de la racine d'une seule équation du degré |x, savoir

Il suffira donc que cette équation ait une racine réelle pour que tout le diviseur soit réel; mais, comme il n'y a, en général, que les équations d'un degré impair, ou celles des degrés pairs dont le dernier terme est négatif, où l'on soit assuré de l'existence d'une racine réelle, il reste à voir quelles sont les valeurs de n pour lesquelles ces conditions auront nécessairement lieu.

Quel que soit le nombre m 9 il est toujours réductible à la forme a p i, i étant un nombre impair. Supposons n = 2 p ; on aura

ou bien, ce qui est la même chose,

qP|(qP|--0 (i p /— tQ...(ïP/ — gP-4-iî ^~~ 2 P (* P — i)(* p — *)...(* p — * p -f-i)

et, divisant le haut et le bas de cette fraction par a p , ensuite par 2, par 4» etc., on aura

Gomme le numérateur et le dénominateur ne contiennent plus que des facteurs impairs, et que le nombre [/. est par sa nature un nombre entier, il s'ensuit qu'il sera nécessairement impair.

Il s'ensuit de là que tout polynôme du degré 2 p i peut toujours avoir un diviseur réel du degré 2 p ; le polynôme restant après la division sera donc aussi réel et du degré 2 p * — a p f savoir 2 p (i — 1); or, 1 étant un nombre impair, 1 — 1 sera un nombre pair, qu'on pourra représenter par 2°£, k étant un nombre impair; le polynôme restant sera alors du degré iï^k et aura un diviseur réel du degré 2 p * ff , et ainsi de suite. Comme de cette manière tout nombre entier peut être décomposé en un certain nombre de puissances croissantes de 2, comme 2 p -+- 2P+* -+-..., il s'ensuit que tout polynôme d'un degré quelconque pourra être décomposé immédiatement en un pareil nombre de polynômes dont les degrés seront ces mêmes puissances de 2.

13. Il reste donc à considérer les polynômes dont le degré est une simple puissance de 2. Faisons dans la formule générale de \l

m =■ v et n = — = v ;

on aura

divisant le haut et le bas de cette fraction par 2 p l et ensuite par 2,

par 4. etc., on aura

Comme tous les facteurs du numérateur, à l'exception du premier 2, ainsi que tous les facteurs du dénominateur, sont impairs , il s'ensuit que le nombre (x, qui est d'ailleurs entier par sa nature, sera nécessairement de la forme 21, 1 étant un nombre impair.

Considérons dans ce cas l'équation en u; puisque le degré du diviseur est la moitié de celui du polynôme, les racines de cette équation seront tous les produits qu'on pourra faire en prenant la moitié des quantités a, p, y, . . . , dont le nombre est supposé pair. Donc, puisque le produit de toutes ces quantités est A, il s'ensuit que, si u est un de

ces produits partiels, - en sera un autre; par conséquent, si u est une

racine de l'équation dont il s'agit, - en sera une aussi. Cette équation

devra donc demeurer la même, en y substituant - pour u. Par cette substitution, l'équation

uv- — AuV--* -+- Bal 4 " 2 — Cirt*" 3 -f- . . . — Rk 3 4- Sa 2 — Ta -h V = o

deviendra, après avoir été multipliée par ti* et divisée par V, .. *T „ , A'S n 9 A»R „ , At^»C , Ai*-»B , At*-«A Ai*

et, comme ces deux équations doivent être identiques, on aura

A /iT A*S r A»R

A =-y-' B ~~VT' L==: ~\~' ■■'»

mais on a trouvé ci-dessus V = A\ v étant = ^— = - (à cause de m = 2/i, dans le cas présent), et par conséquent impair; on aura donc