T = AA VI , S — BA V ~ 2 , R = CA V " 3 , ...; VIII

ainsi, en substituant av à la place de \l et réunissant les termes également éloignés du milieu, l'équation en u deviendra

14. C'est la forme générale des équations qu'on appelle réciproques, et qui peuvent toujours s'abaisser à un degré moindre de la moitié. En effet, en divisant l'équation précédente par h\ elle devient

M v + i; A ( M v-, + ^ij +B («v-. + ^!)c(«-- f .^;) + ...=o.

Or, si l'on fait

on aura

J iï À '

d'où l'on tire

tt*

- ih,

et en général

Par le moyen de ces substitutions, l'équation en u du degré av sera transformée en une équation en v du degré v, laquelle sera de la forme

en supposant

(A) = À, (B)=B-vA,

(C)=C-(v-i)ÀA f

(D)=:D-(v-a)AB^ v(v "" 3) /i 2 >

Ensuite on aura w en j par l'équation laquelle donne

15. Maintenant on voit qu'il suffit de calculer directement la moitié des coefficients A, B, C, ... de l'équation en u, ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l'exposant p. est dans le cas présent un nombre de la forme ai, i étant impair, le nombre v sera impair, et par conséquent l'équation en y aura nécessairement une racine réelle.

Mais, pour que u ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la valeur de y soit réelle , il faut encore que y 1 — l\h soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque h a une valeur négative; ainsi, dans ce cas, le polynôme du degré a? est résoluble par deux polynômes réels du degré a*~'. Mais, si A a une valeur positive, il faut voir de plus si l'on peut toujours trouver une valeur réelle de y f telle que