Soit donc

qu'on substitue, dans l'équation précédente en y, \z-\-l\h au lieu dey, on aura, après avoir fait disparaître le radical par l'élévation au carré et ordonné les termes suivant les puissances de -, une équation en z du même degré v, laquelle aura nécessairement une racine réelle

positive si son dernier terme est négatif. Or, puisque v est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris négativement; ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de z est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de h soit positive.

Puisque

z = r 2 — fih et r = u-h-t

on aura

z = u*+ — aA— H — -) u 1 \ u)

Or u a pour valeurs tous les produits qu'on peut faire en multipliant ensemble une moitié des quantités a, p, y, . . . , et nous avons déjà vu

que les valeurs de - sont les produits qu'on peut faire en multipliant

ensemble l'autre moitié des mêmes quantités; donc les valeurs de

u seront deux à deux égales et de signe contraire; par conséquent,

on aura toutes les valeurs différentes de z en ne donnant à u que la moitié de ses différentes valeurs, et il est évident que le produit de

toutes les valeurs de z sera positif si le produit des valeurs de m

peut être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients a, b, c, . . . , car alors son carré sera nécessairement une quantité positive.

S'il n'y a, par exemple, que quatre quantités a, p, y, S, toutes les valeurs de u seront

aj3, 07, ad, (3y, (M, yd,

et les valeurs différentes de u seront, en ne prenant pour u que

les trois premiers produits,

«P-y*, ay-P3, «3-(3y;

le produit de ces trois quantités, étant développé, donne

a 3 (3yô -h afi*yd -h a$y*è 4- af3y<$ 3 — a*(3 2 y a - a 2 |3 2 <» 2 — a 2 y*d 2 — (3 2 y*<î 2 ,

où l'on voit que la partie positive et la partie négative sont chacune une fonction invariable et symétrique des quantités a, p, y, S , et peuvent par conséquent être déterminées en a, b, c, rfpar les formules données plus haut.

17. Généralisons maintenant ce résultat et désignons, pour plus de simplicité, par P, Q, R, ... les différents produits qu'on peut faire avec la moitié des quantités a, p, y, ... t en y conservant une même quantité a, et par/?, q, r, ... les produits formés par l'autre moitié des mêmes quantités, et que j'appellerai réciproques. Je vais d'abord prouver que les quantités P, Q, R, ... et leurs réciproques p, q, r, ... renferment toutes les valeurs de u. On a vu que ces valeurs sont au nombre de (x, et, à cause de m — 2/2, on a

in (in — 1) (2/? — 1). . An -4-1)

I • X • 3 • • • fit

D'un autre côté, comme on a supposé que les quantités P, Q, R, . . . contiennent toutes une même quantité a, il est clair que le nombre de ces quantités sera celui de tous les produits qu'on peut faire en ne prenant que n — 1 quantités sur 2/1—1 quantités; donc ce nombre sera

(*» — i)(*n— a)...(ii-4-i) fj.

Donc, puisque les quantités P, Q, R, ... forment la moitié de toutes les valeurs de u, il suffira de prendre ces quantités pour les différentes

valeurs de m, et/?, q, r, ... seront les valeurs correspondantes de -'• Ainsi il s'agira de voir si le produit

est nécessairement une fonction invariable des quantités a, p, y, auquel cas on sera assuré qu'il peut être déterminé rationnellement par les coefficients a, b, c, — D'abord il est évident que toutes les permutations qu'on peut faire des quantités p, y, 55, ... entre elles ne peuvent que faire échanger les produits P, Q, R, ... entre eux, et leurs

m NOTES SUR LA THÉORIE

réciproques en même temps entre eux, de sorte qu'il ne peut résulter de ces permutations aucun changement dans le produit

Considérons ensuite les échanges de a contre chacune des autres quantités p, y, ft, ... ; il est clair que, en échangeant a en p, celles des quantités P, Q, R, . . . qui contiennent à la fois a et p ne souffriront aucun changement; il n'y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point p. Or, si P par exemple ne contient point p, comme les deux produits P et/? contiennent toutes les quantités a, p, y, ..., il s'ensuit que p sera contenu dans p, et ainsi des autres; donc, par l'échange de a en p, toute quantité P ou Q, etc., qui ne contiendra point p ne pourra que devenir une des réciproques p, q 9 r, ..., qui sont supposées ne point contenir a; ainsi P deviendra par exemple y, et alors Q deviendra nécessairement/?; donc P—^ deviendra q — Q, et en même temps Q — q deviendra p — P. D'où l'on peut conclure en général que, par les échanges de a en p, y, . .., les différents facteurs P — p, Q — y, R — r, ; . . ne pourront que rester les mêmes, ou s'échanger entre eux, en changeant en même temps de signe.

18. Maintenant, si Ton cherche le nombre des produits P, Q, R, ... qui ne changeront pas par l'échange de a en p, ce nombre sera celui de ces produits où a et p se trouveront ensemble; donc, le nombre total des quantités a, p, y, ... étant in et le nombre de ces quantités dans chaque produit étant /?, le nombre des produits qui contiendront à la fois a et p sera celui des combinaisons qu'on peut faire en prenant n — 2 choses sur 2/1 — 2 choses; par conséquent, il sera exprimé par

[in — 1) (in — 3). . . ( n -4- 1) # 1 .2. . .(n — 2) '

comparant ce nombre au nombre v donné ci-dessus, il pourra s'exprimer par

in — 1

Or, le nombre total des quantités P, Q, R, ... étant v, si Ton en retranche le nombre v ^"~ 's on aura

pour le nombre des produits P, Q, R, ... qui, par l'échange de a en £, se changeront dans les réciproques/?, q,r f ... ; par conséquent, ce nombre sera aussi celui des facteurs P — p, Q — q, R — r, . . . , qui changeront de signe par ce même échange; donc, tant que n sera un nombre pair, et par conséquent tant que l'exposant m = 2/1 sera une puissance de 2 plus grande que 2, le nombre dont il s'agit sera nécessairement pair, d'où il s'ensuit que le produit total

ne changera pas par l'échange de a en P; il en sera de même des autres échanges de a en y, S,

Donc enfin ce produit sera une fonction invariable des quantités x, fï, y, . . ., et pourra, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients a, b, c, . . . du polynôme donné. Donc l'équation en z du degré impair v aura son dernier terme négatif; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (n° 3).

En prenant cette valeur positive pour z, on aura

et de là

{ u -zY=*>

donc

«* — u Jz — A = o,

et de là

quantité nécessairement réelle, puisque nous avons supposé la quantité h positive (n° 16).

Donc tout polynôme du degré 2?, tant que p sera plus grand que l'unité, soit que son dernier terme h soit positif ou négatif, pourra se décomposer, par les formules que nous venons de donner, en deux polynômes réels du degré 2?"', et l'on aura ces deux polynômes à la fois en employant la double valeur de u. Donc, en combinant cette conclusion avec celle qu'on a trouvée plus haut pour tout polynôme du degré 2*i f on en conclura généralement qu'on peut toujours résoudre un polynôme quelconque en facteurs réels du premier ou du second degré.

19. En appliquant aux équations la théorie que nous venons de donner sur la décomposition des polynômes, on voit qu'on peut toujours résoudre une équation quelconque en deux autres équations, dont les coefficients seront réels et ne dépendront que de la racine réelle d'une équation de degré impair. Or nous avons vu dans le Chapitre I qu'on peut tout de suite avoir les limites de cette racine par la simple substitution des nombres naturels i, 2, 3, ..., et que, ayant les premières limites, il est facile de les resserrer à volonté par des substitutions successives.

Ainsi, lorsque l'équation donnée est numérique, on pourra la résoudre en deux autres équations numériques dont les coefficients seront aussi exacts qu'on voudra, et, résolvant de même chacune de celles-ci en deux autres, on parviendra enfin à des équations du premier ou du second degré, lesquelles donneront par conséquent immédiatement toutes les racines réelles et les racines imaginaires. De là nait une méthode de résoudre les équations numériques qui est indépendante de la recherche des limites entre racines et qui, à cet égard, parait avoir quelque avantage sur la méthode des deux premiers Chapitres. Mais, d'un autre côté, il faut avouer que, à l'exception de quelques cas particuliers où la décomposition de l'équation est facile, cette méthode sera impraticable par la multiplicité et la longueur des opérations

qu'elle peut demander. Aussi l'objet principal de cette Note est de prouver a priori la possibilité de la décomposition des polynômes et des équations en facteurs réels du premier ou du second degré, objet qui n'avait pas encore été rempli d'une manière directe et complète.